【数学】2021届一轮复习人教A版二倍角的正弦余弦正切公式课时作业

【数学】2021届一轮复习人教A版二倍角的正弦余弦正切公式课时作业

‎3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎【基础练习】‎ ‎1．(2019年河南安阳模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点(－4,3)，则sin 2α－cos 2α＝(　　)‎ A．－　 B．－　‎ C．－　 D． ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由三角函数的定义，可得sin α＝，cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝cos2α－sin2α＝，sin 2α－cos 2α＝－.故选B．‎ ‎2．对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是(　　)‎ A．f(x)在上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】因为f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)是奇函数，即f(x)的图象关于原点对称．故选B．‎ ‎3．(2019年安徽马鞍山模拟)已知cos＝，则sin的值为(　　)‎ A．　 B．　‎ C．±　 D．－ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】因为cos＝，所以cos＝，sin＝±.所以sin＝sin＝2sincos＝2××＝±.故选C．‎ ‎4．若sin＝，则cos＝(　　)‎ A．－　　 B．－　　 ‎ C．　　 D． ‎【答案】B　‎ ‎【解析】cos＝2cos2－1＝2cos2－1＝2sin2－1＝－1＝－.‎ ‎5．(2017年福建莆田一模)已知sin＝，则cos 2α的值是(　　)‎ A． B．－ C． D．－ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】∵sin＝，∴cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.故选B．‎ ‎6．(2019年广东佛山期末)已知tan＝2，则tan＝________.‎ ‎【答案】－　‎ ‎【解析】由tan＝2，可得tan＝＝－，则tan＝tan＝＝－.‎ ‎7．已知sin(α－45°)＝－且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】由于sin(α－45°)＝－且0°＜α＜90°，则－45°＜α－45°＜45°，cos(α－45°)＝＝，‎ ‎∴cos α＝cos(α－45°＋45°)＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°＝×－×＝，则cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.‎ ‎8．已知＝1，求证：‎ ‎3sin 2α＝－4cos 2α.‎ ‎【证明】因为＝1，所以tan α＝－.‎ tan 2α＝＝－，即＝－，‎ 所以3sin 2α＝－4cos 2α.‎ ‎9．已知cos α＝，cos(α－β)＝且0＜β＜α＜，求：‎ ‎(1)tan 2α的值；‎ ‎(2)β的大小．‎ ‎【解析】(1)由cos α＝，0<α<，‎ 得sin α＝＝＝.‎ 所以tan α＝＝4，‎ 于是tan 2α＝＝＝－.‎ ‎(2)由0<β<α<，得0<α－β<.‎ 因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝.‎ 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，所以β＝.‎ ‎【能力提升】‎ ‎10．(2018年四川模拟)若1＋sin 2x＝2cos2，x∈(0，π)，则tan 2x的值构成的集合为(　　)‎ A．{}　　　　　 B．{－，}‎ C．{－，0，}　 D． ‎【答案】C　‎ ‎【解析】∵1＋sin 2x＝2cos2，∴2sin xcos x＝2cos2－1＝cos x．∴cos x＝0或sin x＝‎ .又x∈(0，π)，∴x＝，，.∴2x＝π，，.∴tan 2x＝0或±，则tan 2x的值构成的集合为{－，0，}，故选C．‎ ‎11．已知cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为(　　)‎ A．　　　 B．　　 ‎ C．　　 D．－1‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝.‎ ‎12．已知θ∈(0，π)且sin＝，则tan 2θ＝________.‎ ‎【答案】－　‎ ‎【解析】∵sin＝(sin θ－cos θ)＝，∴sin θ－cos θ＝.∴1－2sin θcos θ＝，2sin θcos θ＝＞0.依题意知，θ∈，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝，∴sin θ＋cos θ＝.∴sin θ＝，cos θ＝.∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，∴tan 2θ＝＝－.‎ ‎13．已知函数f(x)＝2sincos＋2cos2(a＞0)，且函数的最小正周期为.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值．‎ ‎【解析】(1)函数f(x)＝2sincos＋2cos2(a＞0)，化简可得 f(x)＝sin＋cos＋1‎ ‎＝－cos 2ax＋sin 2ax＋1‎ ‎＝2sin＋1.‎ ‎∵函数的最小正周期为，即T＝，‎ ‎∴T＝＝，可得a＝2.‎ ‎∴a的值为2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝2sin＋1.‎ x∈时，4x－∈.‎ 当4x－＝－时，函数f(x)取得最小值为1－；‎ 当4x－＝时，函数f(x)取得最大值为2×1＋1＝3，‎ ‎∴f(x)在上的最大值为3，最小值为1－.‎