2020届江苏省高考数学二轮复习专项强化练（十二）椭圆、双曲线和抛物线

2020届江苏省高考数学二轮复习专项强化练（十二）椭圆、双曲线和抛物线

专项强化练(十二)　椭圆、双曲线和抛物线 A组 题型一　椭圆的定义及标准方程 ‎1．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．‎ 解析：因为PF1＋PF2＝14，‎ 又PF1∶PF2＝4∶3，‎ 所以PF1＝8，PF2＝6.‎ 因为F1F2＝10，所以PF1⊥PF2.‎ 所以S△PF1F2＝PF1·PF2＝×8×6＝24.‎ 答案：24‎ ‎2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆方程为________________．‎ 解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上，知＋＝1.①‎ 又PF1，F1F2，PF2成等差数列，则PF1＋PF2＝2F1F2，即2×2c＝2a，＝，②‎ 又c2＝a2－b2，③‎ 联立①②③得a2＝8，b2＝6.‎ 故椭圆方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎[临门一脚]‎ ‎1．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式：Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)；若A＜B，则焦点在x轴上；若A＞B，则焦点在y轴上．‎ ‎2．椭圆的定义中一定满足“PF1＋PF2＝2a，且a＞c”，用椭圆的定义求解a，b，c有时比用方程简便．‎ 题型二　椭圆的几何性质 ‎1．椭圆＋＝1的离心率是________．‎ 解析：根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝＝，‎ ‎∴椭圆的离心率e＝＝.‎ 答案： ‎2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.‎ 解析：由题意可得， ＝，所以m＝4.‎ 答案：4‎ ‎3．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．‎ 解析：圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，‎ ‎∴只需⇒0<≤.‎ 答案： ‎4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________．‎ 解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝ ＝.‎ 答案： ‎[临门一脚]‎ ‎1．弄清楚a，b，c，e的几何意义，以及相关的点坐标、线的方程的表示．‎ ‎2．求解几何性质之前方程应先化为标准式，否则会混淆a，b.‎ ‎3．离心率求解主要是根据几何条件建立关于a，b，c的方程或不等式．‎ 题型三　双曲线的定义及标准方程 ‎1．F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|＝8，则△PF1F2的周长为________．‎ 解析：由双曲线的方程可知a＝3，b＝，所以c＝4，则|PF2|＝|PF1|－2a＝2，|F1F2|＝2c＝8，据此可知△PF1F2的周长为8＋2＋8＝18.‎ 答案：18‎ ‎2．已知双曲线经过点(2，1)，其一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的标准方程为________________．‎ 解析：设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，则－12＝λ，解得λ＝1，故双曲线的标准方程为－y2＝1.‎ 答案：－y2＝1‎ ‎3．(2018·柳州模拟)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最小值为________．‎ 解析：|AF2|＋|BF2|＝2a＋|AF1|＋2a＋|BF1|＝4a＋|AB|≥4a＋＝4×3＋＝16.‎ 答案：16‎ ‎4．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是____________．‎ 解析：法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，根据双曲线的定义知2a＝|－|＝4，故a＝2.又b2＝32－a2＝5，故所求双曲线的方程为－＝1.‎ 法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，①‎ 又点(，4)在双曲线上，所以－＝1，②‎ 联立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为－＝1.‎ 法三：设双曲线的方程为＋＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，经检验λ1＝32，λ2＝0都是分式方程的根，但λ＝0不符合题意，应舍去，所以λ＝32.‎ 故所求双曲线的方程为－＝1.‎ 答案：－＝1‎ ‎[临门一脚]‎ ‎1．先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2‎ 的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．‎ ‎2．双曲线的定义运用时，首先要分清楚点在双曲线的哪一支上或可能在两支上，否则会出错．‎ 题型四　双曲线的几何性质 ‎1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的离心率为________．‎ 解析：由已知得，a＝，b＝，则c＝＝3，所以e＝＝.‎ 答案： ‎2．(2019·常州期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，直线x＋y＋2＝0经过双曲线C的焦点，则双曲线C的渐近线方程为________．‎ 解析：由题意可得直线x＋y＋2＝0与x轴的交点(－2,0)为双曲线C的焦点，所以c＝2，又双曲线C的离心率为2，所以a＝1，b＝＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x.‎ 答案：y＝±x ‎3．(2018·南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为________．‎ 解析：由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2a得b＝2a，则该双曲线的离心率e＝＝ ＝.‎ 答案： ‎4．已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．‎ 解析：由题意得E(a,0)，不妨设A，B，显然△ABE是等腰三角形，故当△ABE是锐角三角形时，∠AEB＜90°，从而＜a＋c，化简得c2－ac－2a2＜0，即e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，故1＜e＜2.‎ 答案：(1,2) ‎ ‎[临门一脚]‎ ‎1．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．根据渐近线方程求离心率时要注意有两解．‎ ‎2．在解析几何中，解决求范围问题，一般可从以下几个方面考虑：‎ ‎(1)与已知范围联系，通过求函数值域或解不等式来完成；‎ ‎(2)通过一元二次方程的根的判别式Δ的符号建立不等关系；‎ ‎(3)利用点在曲线内部建立不等式关系；‎ ‎(4)利用解析式的结构特点，如a2，|a|，等的非负性来完成范围的求解．‎ 题型五　抛物线 ‎1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是________．‎ 解析：因为抛物线方程为y2＝4x，所以焦点F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，设PA⊥l，A为垂足，‎ 所以PF＝PA＝xP－(－1)＝3，‎ 所以点P的横坐标是2.‎ 答案：2‎ ‎2．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．‎ 解析：由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.‎ 答案：x2＝12y ‎3．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．‎ 解析：如图，根据对称性：A，B关于x轴对称，故∠AOx＝30°.‎ 直线OA的方程y＝x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐标为(6,2)，所以AB＝4.故正三角形OAB的面积为×4×6＝12.‎ 答案：12 ‎4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为________．‎ 解析：∵抛物线方程为y2＝6x，‎ ‎∴焦点F，准线l的方程为x＝－.‎ ‎∵直线AF的斜率为－，‎ ‎∴直线AF的方程为y＝－，当x＝－时，y＝3，由此可得A点坐标为.‎ ‎∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为，∴PF＝PA＝－＝6.‎ 答案：6‎ ‎[临门一脚]‎ ‎1．一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．‎ ‎2．抛物线标准方程形式要记清楚，求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置和开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．‎ ‎3．求解几何性质时，首先要把方程化为标准方程，其次抛物线方程的p几何意义要明确．‎ B组 ‎1．(2019·扬州期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．‎ 解析：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±，又该双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即y＝x，所以＝，a＝2b，则c＝＝b，则该双曲线的离心率e＝＝＝.‎ 答案： ‎2．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为________．‎ 解析：依题意得AC＝5，所以椭圆的焦距为2c＝AB＝4，长轴长2a＝AC＋BC＝8，所以短轴长为2b＝2＝2＝4.‎ 答案：4 ‎3．抛物线y2＝2px(p＞0)的准线截圆x2＋y2－2y－1＝0所得的弦长为2，则p＝________.‎ 解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，而圆化成标准方程为x2＋(y－1)2＝2，圆心坐标为(0,1)，半径为，圆心到准线的距离为，所以2＋1＝()2，解得p＝2.‎ 答案：2‎ ‎4．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，若1·2＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为________．‎ 解析：因为1·2＝0，tan∠PF1F2＝，所以1⊥2，sin∠PF1F2＝，cos∠PF1F2＝.所以PF1＝c，PF2＝c，则PF1＋PF2＝c＝2a，所以e＝＝.‎ 答案： ‎5．(2019·海门中学模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F2，过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线交于M，N两点，T是双曲线的左顶点，若△TMN为直角三角形，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ 解析：由题意可得△TMN为等腰直角三角形，且∠MTN为直角，故MF2＝TF2.由－＝1，解得y＝±，所以MF2＝.因为TF2＝a＋c，所以＝a＋c，得b2＝a2＋ac，即c2－a2＝a2＋ac，得c＝2a，所以b＝a，所以该双曲线的渐近线方程为x±y＝0.‎ 答案：x±y＝0‎ ‎6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，则此椭圆的方程为____________．‎ 解析：由△FMN为正三角形，得c＝OF＝MN＝×b＝1.解得b＝，∴a2＝b2＋c2＝4.故椭圆的方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎7．(2019·如皋中学模拟)已知双曲线C：－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且两条渐近线的夹角为60°，过点F1作x轴的垂线，交双曲线C的左支于M，N两点，若△‎ MNF2的面积为4，则双曲线C的方程为________．‎ 解析：因为双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，a>b>0，所以＝　①.易知F1(－c,0)，所以直线MN的方程为x＝－c，代入双曲线的方程得y＝±，所以MN＝，所以△MNF2的面积S＝F1F2·MN＝×2c×＝＝4　②，又a2＋b2＝c2　③，‎ 所以由①②③得a＝3，b＝，c＝2，故双曲线C的方程为－＝1.‎ 答案：－＝1‎ ‎8．(2018·镇江高三期末)已知双曲线－y2＝1的左焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．‎ 解析：由题意知双曲线－y2＝1的左焦点为(－3,0)，所以a2＝8，因此双曲线的右准线方程为x＝.‎ 答案：x＝ ‎9．(2019·常州期初)已知椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则的取值范围为________．‎ 解析：由于椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，所以解得3＜a2＜5.设椭圆M：＋y2＝1与圆C∶x2＋y2＝6－a2在第一象限的公共点P(x0，y0)，则椭圆M在点P处的切线方程为＋y0y＝1，圆C在P处的切线方程为x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－，k2＝－，＝a2，所以∈(3,5)．‎ 答案：(3,5) ‎ ‎10．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为________．‎ 解析：设点P在第一象限，由题意，p＝2c，P(，c)，即P(2c，c)，代入椭圆方程，可得＋＝1，整理可得e4－6e2＋1＝0，∵0＜e＜1，∴e＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎11.如图所示，F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．‎ 解析：连结AF1，依题意得AF1⊥AF2，∠AF2F1＝30°，AF1＝c，AF2＝c，因此该双曲线的离心率e＝＝＝＋1.‎ 答案：＋1‎ ‎12.如图，已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－a,0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，则椭圆的离心率为________．‎ 解析：法一：因为△AOP是等腰三角形，所以OA＝OP，故A(－a,0)，P(0，a)，又＝2，所以Q，由点Q在椭圆上得＋＝1，解得＝，故离心率e＝＝ ＝.‎ 法二：因为△AOP是等腰三角形，所以OA＝OP，故直线AP的方程为y＝x＋a，与椭圆方程联立并消去y得(a2＋b2)x2＋2a3x＋a2c2＝0，从而(－a)xQ＝，即xQ＝－，又由A(－a,0)，P(0，a)，＝2，得xQ＝－，故－＝－，即5c2＝4a2，e2＝，故e＝.‎ 答案： ‎13．(2018·南京四校联考)已知右焦点为F的双曲线的离心率为，过点F且与一条渐近线平行的直线l与另一条渐近线交于点A，AF＝2，则该双曲线的标准方程为____________．‎ 解析：法一：由e＝知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设直线l：y＝x－c，‎ 联立得解得A，‎ AF＝＝2，‎ 解得c2＝8，又由e＝知，a2＝b2＝4，‎ 故双曲线的标准方程为－＝1.‎ 法二：由e＝知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，且两条渐近线互相垂直，此时AF＝2＝b＝a，故双曲线的标准方程为－＝1.‎ 答案：－＝1‎ ‎14.如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，离心率为，点P为椭圆在第一象限内的一点．若S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1，则直线PF1的斜率为________．‎ 解析：由题意知＝，即a＝2c，则A(0，b)，F2(c,0)，设直线PF1的方程为y＝k(x＋c)(k＞0)，因为S△PF1A∶S＝2∶1，即S＝2S△PF1F2，即|PF1|·＝2×|PF1|，所以|kc－b|＝4|kc|，解得b＝－3kc(舍去)或b＝5kc，又a2＝b2＋c2，即a2＝25k2c2＋c2，所以4c2＝25k2c2＋c2，解得k2＝，∴k＝.‎ 答案：