2018-2019学年江苏省江阴市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年江苏省江阴市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 江苏省江阴市第一中学2018-2019高二下学期期中考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、填空题 ‎1．若复数，则的共轭复数是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的除法法则化简复数z,再求z的共轭复数得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 所以z的共轭复数为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的除法和共轭复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎2．同一排的电影票5张，2个老师和3个学生就座，如果学生不相邻，则有___________种不同的坐法．（用数字作答）‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先排两个老师，再利用插空法排3个学生，即得解.‎ ‎【详解】‎ 先排两个老师，有种方法，再把三个学生插入两个老师的空位中，有种方法，由乘法分步原理得共有.‎ 故答案为：12‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3．若，则的值为 　．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由可得.‎ 考点：排列数及组合数的计算.‎ ‎4．在一长为的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设“长为3m的线段AB”对应区间,“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件 A，则满足A的区间为根据几何概型的计算公式可得，‎ 考点：几何概型 ‎5．江苏省高中生进入高二年级时需从“物理、化学、生物、历史、地理、政治、艺术”科目中选修若干进行分科，分科规定如下：从物理和历史中选择一门学科后再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，或者只选择艺术这门学科，则共有__________种不同的选课组合．（用数字作答）‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先从物理和历史中选择一门学科，再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，再根据题意求解.‎ ‎【详解】‎ 先从从物理和历史中选择一门学科有种，再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合有种，所以共有种.‎ 故答案为：13‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6．将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出总的基本事件的总数，再求出点数之积为奇数的基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得总的基本事件个数为，两次点数之积为奇数的基本事件的个数为，‎ 由古典概型的概率公式得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型的概率公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7．若，则__________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项式定理，可得的展开式的通项，写出含的项，结合题意可得，即可 得，再根据通项可得，计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 的展开式的通项为，‎ 则含的项为，‎ 又由题意，可得，即，‎ 则；‎ 故答案为:40．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理求指定项的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎8．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示．若，则的值为__________．‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目条件中给出的分布列，可以知道、、和之间的关系，根据期望为0和方差 是1，又可以得到两组关系，这样得到方程组，解方程组得到要求的值．‎ ‎【详解】‎ 由题知，，‎ 由题得，‎ ‎，．‎ 则．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，通过关系列出方程组，本题的运算量 不大，解题时要认真．‎ ‎9．若的展开式中第6项的系数最大，则不含的项等于__________．‎ ‎【答案】210‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如果是奇数，那么是中间两项的二项式系数最大，如果是偶数，那么最中间项的二 项式系数最大，由此可确定的值，进而利用展开式，即可求得常数项．‎ ‎【详解】‎ 如果是奇数，那么是中间两项的二项式系数最大，如果是偶数，那么中间项的二 项式系数最大.‎ 当n=10时，展开式中只有第六项的二项式系数最大，‎ 展开式的通项为，令，可得 展开式中的常数项等于.‎ 当n=9时，展开式有10项，中间第5项和第6项的二项式系数最大，‎ 此时展开式的通项为，令27-5r=0,没有整数解.‎ 当n=11时，展开式有12项，中间的第6项和第7项的二项式系数最大，‎ 此时展开式的通项为，令33-5r=0,没有整数解.‎ 故答案为：210．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项展开式定理的应用，考查二项式系数的性质，正确利用二项展开式是关键．‎ ‎10．除以的余数为______．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为 ，所以除以9的余数为 考点：二项式定理应用 ‎11．用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有__________个（用数字作答）．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ 试题分析：首先考虑1在前2在后，22+32+22=14再考虑2在前1在后，22+32=10‎ 共有24个满足条件的偶数 考点：排列、组合。‎ ‎12．定义运算“”：（）.当时，的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由新定义运算知，，因为，，‎ 所以，，当且仅当时，的最小值是.‎ 考点：1.新定义运算；2.基本不等式.‎ 视频 ‎13．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得．类比上述过程，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 由已知代数式的求值方法：‎ 先换元,再列方程,解方程,求解(舍去负根)，‎ 可得要求的式子。‎ 令，‎ 则两边平方得,则3+2，‎ 即，解得，m=3，m=−1舍去。‎ 故答案为3.‎ ‎14．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：‎ 图1 图2‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数．类似地，称图2中的1，4，9，16，…的数为正方形数．观察下列数：①144；②289；③1024； ④1225； ⑤1378．其中，既是三角形数又是正方形数的是__________． (写出所有符合要求的数的序号)‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果．‎ ‎【详解】‎ 由图形可得三角形数构成的数列通项，‎ 同理可得正方形数构成的数列通项，‎ 则由可排除⑤，又由，‎ 无正整数解，所以排除①②③，‎ 故答案为：④．‎ ‎【点睛】‎ 考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分 析，属中档题．‎ 评卷人 得分 二、解答题 ‎15．设，求：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）．‎ ‎【答案】（1）1；（2）243；（3）122；（4）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令x=1即得；（2）在中，令得解；（3）‎ 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·f(-1)即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎（1）令，可得；‎ ‎（2）在中，令，可得；‎ ‎（3）令f(x)=,‎ f(1)=,‎ 所以f(-1)=，‎ 所以f(1)-f(-1)=2,‎ 所以． ‎ ‎（4）‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16．复数，（其中为虚数单位，），‎ ‎（1）当时，求复数的模； ‎ ‎（2）当实数为何值时复数为纯虚数；‎ ‎（3）当实数为何值时复数在复平面内对应的点在第二象限？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）整理得，再求复数的模；（2）由题得，解不等式组即得解；（3）由题得，解不等式得解.‎ ‎【详解】‎ 由已知整理得： ‎ ‎．‎ ‎（1）当时，，∴．‎ ‎（2）当，，即，复数为纯虚数 ‎（3）当，即，‎ 即时，复数在复平面内对应的点在第二象限．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的模的求法，考查复数纯虚数的概念，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎17．(1)设是两个正实数，且，求证：；‎ ‎（2）已知是互不相等的非零实数，求证：三个方程，， 中至少有一个方程有两个相异实根．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先证明，再在两边同时乘以正数(a+b),不等式即得证；（2）利用反证法证明即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 而均为正数，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴成立．‎ ‎(2)证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，‎ 则，，．‎ 相加有，‎ ‎．①‎ 则，与由题意、、互不相等矛盾．‎ ‎∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的证明，考查反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18．网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人积极参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去淘宝网购物,掷出点数小于5的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．‎ ‎（1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；‎ ‎（2）用,分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数,记,求随机变量 的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列详见解析，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先求出每个人去淘宝网购物的概率，去京东商城购物的概率，再利用二项分布计算恰有1人去淘宝购物的概率；第二问，先写出X的所有可能取值，再利用二项分布分布求出概率，列出分布列，再利用求出随机变量X的数学期望．‎ 试题解析：依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为．设“这4个人中恰有i人去淘宝网购物”为事件，则．‎ ‎（Ⅰ）这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．‎ ‎（II）易知的所有可能取值为．‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎．‎ 所以的分布列是 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 随机变量ξ的数学期望．‎ 考点：概率、离散型随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎19．已知数列和，其中，当时，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论 ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过列举得到当时，，猜想：当时，．再利用数学归纳法证明后面的结论.‎ ‎【详解】‎ 由已知得，‎ ‎．‎ 当时，，则，‎ 当时，，则，‎ 当时，，则，‎ 当时，，则，‎ 当时，，则，‎ 当时，，则，‎ 当时，，则，‎ ‎……‎ 由此得到，当时，，‎ 猜想：当时，．‎ 前一结论上面已用穷举法证明，‎ 后一猜想用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时，上面已证．‎ ‎②假设当时，上述结论成立，‎ 即当时，．‎ 当时，要证，‎ 即证，‎ 只需证，‎ 根据归纳假设，，‎ 所以只需证，‎ 即证，‎ 即证．‎ 因为，所以此式显然成立．‎ 故当时结论成立．‎ 由①②可知，对任何结论都成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数学归纳法证明和分析法证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20．已知数列通项公式为，其中为常数，且，．等式，其中为实常数．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，且，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）6143；（2）2；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由二项式定理求出的通项，再利用分组求和法、二项式系数的性质、倒序相加法求和；（2）对所给等式的左边先分组，而后利用二项式定理求和而将方程进行化简，再利用方程所对应的函数的单调性以及估算求解方程；‎ 试题解析：（1） ‎ 比较可知；‎ 而时,‎ 所以，‎ 设 ，‎ 也可以写成 ，相加得即，所以．‎ ‎（2）当时，，结合（1）中结论可知 ‎②‎ ‎=，即 ‎③，‎ 因为②为关于的递增的式子，所以关于的方程最多只有一解，而观察③可知，有一解，综上可知：．‎ 考点：1．二项式定理；2．二项式系数的性质；‎