2009年高考试题—数学理（湖南卷）解析版

2009年高考试题—数学理（湖南卷）解析版

‎2009年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)‎ 数学（理工农医类）‎ 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1． 若a＜0，＞1，则 (D)‎ A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜‎0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0‎ ‎【答案】：D ‎【解析】由得由得，所以选D项。‎ ‎2．对于非0向时a,b,“a//b”的确良 （A）‎ A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】：A ‎【解析】由，可得，即得，但，不一定有，所以“”是“的充分不必要条件。‎ ‎3．将函数y=sinx的图象向左平移0 ＜2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于 （D）‎ A． B． C. D.‎ ‎【答案】：D ‎【解析】解析由函数向左平移的单位得到的图象，由条件知函数可化为函数，易知比较各答案，只有，所以选D项。‎ ‎4．如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则 [ B]‎ A B ‎ C D ‎ ‎【答案】：B ‎【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在是连续的，可知参数，即排除C，D项，又取，知对应函数值，由图可知所以，即选B项。‎ ‎5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m [ C]‎ A 85 B ‎56 ‎‎ C 49 D 28 ‎ ‎【答案】：C ‎【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：，另一类是甲乙都去的选法有=7，所以共有42+7=49，即选C项。‎ ‎6. 已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆 在区域D内 的弧长为 [ B]‎ A B C D ‎【答案】：B ‎【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B现。‎ ‎7．正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（C）‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C. 4 D. 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】：C ‎【解析】解析如图示，则BC中点，点，点，‎ 点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选C项。‎ ‎8.设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数 ‎ ‎ 取函数=。若对任意的，恒有=，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A．K的最大值为2 B. K的最小值为2‎ C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】‎ ‎【答案】：D ‎【解析】由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 ‎9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__‎ ‎【答案】：12‎ ‎【解析】设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即所求人数为12人。‎ ‎10．在的展开式中，的系数为___7__(用数字作答)‎ ‎【答案】：7‎ ‎【解析】由条件易知展开式中项的系数分别是，即所求系数是 ‎11、若x∈(0, )则2tanx+tan(-x)的最小值为2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】由，知所以 当且仅当时取等号，即最小值是。‎ ‎12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为 ‎【答案】：‎ ‎【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率 ‎13、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数数位 50 。‎ ‎【答案】：40‎ ‎【解析】由条件易知层中抽取的样本数是2，设层总体数是，则又由层中甲、乙都被抽到的概率是=，可得，所以总体中的个数是 ‎14、在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（1）球心到平面ABC的距离为 12 ；‎ ‎（2）过Ａ，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为 3 ‎ ‎【答案】：（1）12；（2）3‎ ‎【解析】（1）由的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是，则由，可得。（2）设过三点的截面圆的圆心是中点是点，球心是点，则连三角形，易知就是所求的二面角的一个平面角，，所以 ‎，即正切值是3。‎ ‎15、将正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2)‎ ‎15.【答案】：‎ ‎【解析】当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知 即 进一步可求得。由上知中有三个数，中 有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加….，若中有个数相加，可得中有个数相加，且由 可得所以 ‎=‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 在，已知，求角A，B，C的大小。‎ 解：设 由得，所以 又因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由得，于是 所以，，因此 ‎，既 由A=知，所以，，从而 或，既或故 或。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；‎ ‎（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。‎ 解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=‎ （1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=‎ ‎(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。‎ 所以P（=0）=P（=3）==，‎ ‎ P（=1）=P（=2）= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ P（=2）=P（=1）==‎ P（=3）=P（=0）= = ‎ 故的分布是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的数学期望E=0+1+2+3=2‎ 解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，‎ i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互独立，且 P（）-（，）= P（）+P（）=+=‎ 所以--,既， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故的分布列是 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图4，在正三棱柱中，‎ D是的中点，点E在上，且。‎ （I） 证明平面平面 （II） 求直线和平面所成角的正弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解 （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面 又DE平面ABC，所以DEAA.‎ 而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。‎ ‎（2）解法1 如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD， ABDF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 又CDDF=D，所以AB平面CDF，‎ 而AB∥AB，所以 AB平面CDF，又AB平面ABC，故 平面AB C平面CDF。‎ 过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。‎ 由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=，‎ CF=，AD==，DH==—，‎ 所以 sinHAD==。‎ 即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。‎ 解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。‎ 易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有 解得x=-y， z=-，‎ 故可取n=(1，-，)。‎ 所以，(n·)===。‎ 由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。‎ ‎ （Ⅰ）试写出关于的函数关系式；‎ ‎ （Ⅱ）当=‎640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？‎ 解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，‎ ‎ 令，得，所以=64‎ ‎ 当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，‎ 所以在=64处取得最小值，此时，‎ 故需新建9个桥墩才能使最小。‎ ‎20（本小题满分13分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （Ⅰ）求点P的轨迹C；‎ ‎ （Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。‎ ‎ 解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则3︳x-2︳‎ 由题设 ‎ 当x>2时，由①得 ‎ 化简得 ‎ 当时 由①得 ‎ 化简得 ‎ 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1‎ ‎（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），‎ B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.‎ 当点P在上时，由②知 ‎. ④‎ 当点P在上时，由③知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ⑤‎ 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为 ‎（i）当k≤，或k≥，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由④知 ‎∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)‎ 由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12 - （+）=12 - ‎ 因为当 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当且仅当时，等号成立。‎ ‎（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，‎ ‎ 设直线AF与椭圆的另一交点为E ‎ ‎ ‎ 所以。而点A，E都在上，且 ‎ 有（1）知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 若直线的斜率不存在，则==3，此时 综上所述，线段MN长度的最大值为 ‎21.（本小题满分13分）‎ 对于数列若存在常数M＞0,对任意的，恒有 ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则称数列为B-数列 （1） 首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;‎ 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论；‎ （2） 设是数列的前项和，给出下列两组论断；‎ A组：①数列是B-数列 ②数列不是B-数列 B组：③数列是B-数列 ④数列不是B-数列 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。‎ 判断所给命题的真假，并证明你的结论；‎ ‎（3） 若数列都是数列，证明：数列也是数列。‎ 解（1）设满足题设的等比数列为,则，于是 ‎ ‎ 因此｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜=‎ 因为所以即w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎ 故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。‎ ‎（2）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列 ‎ 次命题为假命题。‎ ‎ 事实上，设，易知数列是B-数列，但 ‎ ‎ 由的任意性知，数列是B-数列此命题为。‎ 命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列 此命题为真命题 事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 即。于是 ‎ ‎ 所以数列是B-数列。‎ ‎（III）若数列 {}是数列，则存在正数，对任意的有 ‎ ‎ 注意到 ‎ ‎ 同理： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 记，则有 因此 ‎ ‎ +‎ 故数列是数列w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎