2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．角的终边落在　　‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】根据角的定义判断即可 ‎【详解】‎ ‎，故为第一象限角，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 判断角的象限，将大角转化为一个周期内的角即可。‎ ‎2．若扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为，半径为1， ∴ ‎ 故选B ‎3．已知角的终边与单位圆的交于点，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先求出点的坐标，再利用三角函数的定义得出的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可．‎ 详解：∵点在单位圆上，，则由三角函数的定义可得得则 ‎ 点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出的值是解题的关键．‎ ‎4．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知向量垂直得到数量积为0，从而求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 又 ‎∴，即 ‎∴‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量数量积运算法则是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎5．最小正周期为，且图象关于点对称的一个函数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据函数的最小正周期排除选项A,再利用对称中心排除选项B,C,确定选项D得解.‎ ‎【详解】‎ 由于函数的最小正周期为π，所以，所以选项A错误；‎ 对于选项B,，所以选项B是错误的；‎ 对于选项C, ，所以选项C是错误的；‎ 对于选项D, ,所以选项D是正确的.‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6．已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎7．设平面向量，若，则（ ）‎ A． B． C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，解得，则，所以，故选B.‎ ‎8．若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得， ，故选A.‎ ‎9．已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对 称，就是时，函数取得最值，求出a即可．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，‎ 其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．‎ ‎10．为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）‎ A．横坐标缩短到原来的倍 B．横坐标伸长到原来的倍 C．横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 D．横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】分析：先将三角函数化为同名函数然后根据三角函数伸缩规则即可.‎ 详解：由题可得：，故只需横坐标缩短到原来的倍即可得，故选A.‎ 点睛：考查三角函数的诱导公式，伸缩变换，对公式的正确运用是解题关键，属于中档题.‎ ‎11．设函数，若， ，则关于的方程的解的个数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，双，，所以，显然时有一个解；，，所以关于的方程的解的个数为3,故选择D ‎12．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据平移法则得到平移后的解析式，由函数在区间上单调递增且求得；因为最大负零点在内，进而求得，‎ 求交集即可得到的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 将函数的图象向右平移 可得 因为函数在区间上单调递增 所以 ，解不等式组得 ‎ 因为 所以 函数的零点为，‎ 即 ，最大负零点在内 所以，化简得 因为 所以 由可知，的取值范围为 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数性质的综合应用，三角函数的平移、单调性、零点等，涉及知识点多，综合性强，是难题。‎ 二、填空题 ‎13．函数的最小正周期是__________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先借助降幂公式将原式化简，再根据周期计算即可.‎ 详解：由题可得：‎ 所以，故答案为 点睛：考查三角函数的二倍角公式的逆运用，最小正周期计算，属于基础题.‎ ‎14．函数，，则的最小值为___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先化简函数得，再换元利用二次函数求函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 因为，所以，设，‎ 所以当t=时，g(t)的最小值=-4.‎ 故答案为：-4.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15．已知向量，，则在方向上的投影为__________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据向量的投影和向量的坐标运算即可求出．‎ 详解：因为向量，，∴‎ ‎−=（-1，-1）， 在方向上的投影为故答案为 点睛：本题考查了向量的投影和向量的坐标运算，属于基础题 请在此填写本题解析!‎ ‎16．已知为上的偶函数，当时，，若函数（）有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是___________ 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 作出函数的图象如图所示，‎ ‎ 令，则由图象可得：‎ ‎ 当时，方程只有1解；‎ ‎ 当或时，方程有2解；‎ ‎ 当时，方程有4解；‎ ‎ 因为，所以或，‎ ‎ 因为有解，所以又两解，‎ 所以或．‎ ‎ 点睛：本题主要考查了方程根的个数的判定与应用问题，其中解答中涉及到一元二次方程根的求解，函数的图象的应用等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中正确作出函数的图象和合理应用的根的个数的应用是解答的关键．‎ 三、解答题 ‎17．已知，且是第二象限角。‎ ‎（1）求的值；（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：⑴依题意，利用同角三角函数间的关系式可以求得，即可求得结果 ‎⑵由⑴可知，，代入到要求的式子中即可求解 详解：（1）∵是第二象限角，∴，∴.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知，.‎ ‎∴原式.‎ 点睛：本题主要考查了同角三角函数的化简求值，属于基础题，注意角所在的象限，从而确定各三角函数值的符号。‎ ‎18．已知，且。 ‎ ‎（1）求的值；（2）若，，求的值。‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】【详解】‎ 分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由，‎ 然后两边取正弦计算即可.‎ 详解：‎ ‎（Ⅰ） ，且，，-------2分 于是 ；‎ ‎（Ⅱ）,,,结合得：， 于是 ‎ . ‎ 点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于的配凑是解第二问的关键，属于中档题.‎ ‎19．已知。‎ ‎(1)求的值；(2)求的值。‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)，利用两角差的正切展开计算即可；‎ ‎(Ⅱ)由，代入求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎20．已知，，若。‎ ‎(1)求的最小正周期和最大值；(2)讨论在上的单调性。‎ ‎【答案】（1）最大值为，对称轴 ；（2）在上单调递增，在上单调减..‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的最值以及对称轴求解即可． （2）利用正弦函数的单调增区间，转化求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）f(x)=sinxcosx-cos2x=cosxsinx-(1+cos2x)=，‎ 所以最大值为，‎ ‎ 由2x-=k+,k∈Z, 所以对称轴 x=, k∈Z ‎（2）当x∈时， ‎ 从而当， 时，f(x)单调递增 ‎ 当,f(x)单调递减 综上可知f(x)在上单调递增，在上单调减。‎ ‎21．已知平面向量、满足，，‎ ‎(1)若，试求与的夹角的余弦值；‎ ‎(2)若对一切实数，恒成立，求与的夹角。‎ ‎【答案】（1）；（2）与的夹角为。‎ ‎【解析】（1）根据平面向量数量积的定义与夹角公式，即可求出、夹角的余弦值；（2）设a与b 的夹角为θ，由|x|≥|得出不等式x2+2xcosθ﹣2cosθ﹣1≥0对一切实数x恒成 立，利用判别式△≤0求出cosθ的值，从而得出θ的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为||，||＝1，||＝2，‎ 所以||2＝4，‎ 即2﹣2•2＝4，‎ ‎2﹣2•1＝4，‎ 所以•．‎ 设与的夹角为θ，‎ cosθ. ‎ ‎（2）令与的夹角为θ，由|x|≥||，‎ 得（x）2≥（）2， ‎ 因为||，||＝1，‎ 所以x2+2xcosθ﹣2cosθ﹣1≥0，‎ 对一切实数x恒成立， ‎ 所以△＝8cos2θ+8cosθ+4≤0， ‎ 即（cosθ+1）2≤0，故cosθ，‎ 因为θ∈[0，π]，所以θπ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的数量积与夹角公式的由于问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合 性题目．‎ ‎22．已知，。‎ ‎（1）求当时， 的值域；‎ ‎（2）若函数在内有且只有一个零点，求的取值范围。‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）当时，，令，则，，‎ ‎，当时，‎ ‎，当时，，所以的值域为.‎ ‎（2），‎ 令，则当时，，，‎ ‎，‎ 在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点. 因为，∴在内为增函数，‎ ‎①若在内有且只有一个零点，无零点，故只需得；‎ ‎②若为的零点，内无零点，则，得，经检验，‎ 符合题意.‎ 综上，或.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换、函数的值域和函数的零点，涉及函数与方程思想、换元思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.第一小题利用换元思想将原函数转化为二次函数，再利用二次函数的图像即可求得值域；第二小题先利用转化化归思想将命题转化为的零点问题，再利用二次方程根的分布知识求得正解.‎