河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试数学（理）（A卷）试题

河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试数学（理）（A卷）试题

石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一）‎ 理科数学（A卷）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知为虚数单位，，其中，则（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎3.函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5. ，满足约束条件：，则的最大值为（ ）‎ A．-3 B． C．3 D．4‎ ‎6.程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”‎ ‎（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）‎ A．82平方里 B．83平方里 C．84平方里 D．85平方里 ‎8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.在中，，，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为（ ）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎12.设，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，正方向到正方向的角度为，那么对于任意的点，在下的坐标为，那么它在坐标系下的坐标可以表示为：，.根据以上知识求得椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. ‎ ‎13.命题：，的否定为 ．‎ ‎14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ．‎ ‎15.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．‎ ‎16.已知函数，，若函数有三个不同的零点，，（其中），则的取值范围为 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.已知等比数列的前项和为，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎18.四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）点为棱上一点，若平面，，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.‎ ‎19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.‎ ‎（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）‎ 根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在时，日平均派送量为单.‎ 若将频率视为概率，回答下列问题：‎ ‎①根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列，数学期望及方差；‎ ‎②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.‎ ‎（参考数据：，，，，，，，，）‎ ‎20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且离心率为，为椭圆上任意一点，当时，的面积为1. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线，分别与椭圆交于点，，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.‎ ‎21.已知函数，，在处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求，；‎ ‎（Ⅱ）若方程有两个实数根，，且，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切；‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数的定义域为；‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值.‎ 石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 理科数学答案 一、选择题 ‎1-5: AABDC 6-10: CCDBD 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 乙 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17解：(1)‎ 法一：‎ 由得，‎ 当当时，，即，‎ 又，当时符合上式，所以通项公式为.‎ 法二：‎ 由得，‎ 从而有，‎ 所以等比数列公比，首项，因此通项公式为.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎18.（1）因为平面SDM，‎ 平面ABCD，‎ 平面SDM 平面ABCD=DM，‎ 所以，‎ 因为,所以四边形BCDM为平行四边形，‎ 又,所以M为AB的中点.‎ 因为，‎ ‎.‎ ‎（2）因为， ，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面，‎ 平面平面，‎ 在平面内过点作直线于点，‎ 则平面， ‎ 在和中，‎ 因为，所以，‎ 又由题知，‎ 所以 所以，‎ 以下建系求解.‎ 以点E为坐标原点，EA方向为X轴，EC方向为Y轴，ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系，则，，，，， ‎ ‎，，，，‎ 设平面的法向量，则，所以，令得为平面的一个法向量， ‎ 同理得为平面的一个法向量， ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ 因为二面角为钝角，‎ 所以二面角余弦值为.‎ ‎19.‎ 解：（1）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： ，‎ 乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：‎ ‎，‎ （2） ‎①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：‎ 单数 ‎52‎ ‎54‎ ‎56‎ ‎58‎ ‎60‎ 频率 ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 所以的分布列为：‎ ‎152‎ ‎154‎ ‎156‎ ‎158‎ ‎160‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以的分布列为：‎ ‎140‎ ‎152‎ ‎176‎ ‎200‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎②答案一：‎ 由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.‎ 答案二：‎ 由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案.‎ ‎20解：‎ ‎（1）设由题， ‎ 解得，则，‎ 椭圆的方程为. ‎ ‎（2）设，，‎ 当直线的斜率不存在时，设，则，‎ 直线的方程为代入，可得 ‎，，则 直线的斜率为，直线的斜率为，[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎，‎ 当直线的斜率不存在时，同理可得. ‎ 当直线、的斜率存在时，‎ 设直线的方程为，则由消去可得：‎ ‎，‎ 又，则，代入上述方程可得 ‎，‎ ‎，则 ‎，‎ 设直线的方程为，同理可得，‎ 直线的斜率为，‎ 直线的斜率为，‎ ‎.[来源:Z.xx.k.Com]‎ 所以，直线与的斜率之积为定值，即. ‎ ‎21．解：（Ⅰ）由题意，所以，‎ 又，所以，源:学.科.网Z.X.X.K]‎ 若，则，与矛盾，故，.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，‎ 设在(-1，0)处的切线方程为，[来源:Z§xx§k.Com]‎ 易得，，令 即，，‎ 当时，‎ 当时，‎ 设， ，‎ 故函数在上单调递增，又，‎ 所以当时，，当时，， ‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 故，‎ ‎，‎ 设的根为，则，‎ 又函数单调递减，故，故， ‎ 设在(0,0)处的切线方程为，易得，‎ 令，，‎ 当时，，‎ 当时，‎ 故函数在上单调递增，又，‎ 所以当时，，当时，， ‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 设的根为，则，‎ 又函数单调递增，故，故， ‎ 又，‎ ‎. ‎ 选作题 ‎22（1）由题意可知直线的直角坐标方程为，‎ 曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得：；可知曲线C的方程为， ‎ 所以曲线C的极坐标方程为，‎ 即. ‎ ‎(2)由（1）不妨设M（），，（）‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 当时, ，‎ 所以△MON面积的最大值为. ‎ ‎23. 【解析】‎ ‎（1）由题意可知恒成立，令，‎ 去绝对值可得：，‎ 画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为； ‎ ‎（2）由（1）可知，所以， ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ 当且仅当，即等号成立，‎ 所以的最小值为. ‎ 石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 理科数学答案 一、 选择题 ‎（A卷答案）‎ ‎1-5AABDC 6-10CCDBD 11-12 BA ‎ ‎（B卷答案）‎ ‎1-5BBADC 6-10CCDAD 11-12 AB ‎ 二、 填空题 ‎13. 14. 乙 15. 16. ‎ 三、解答题(解答题仅提供一种或两种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分）‎ ‎17解：(1)‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ 法一：‎ 由得………………2分 当当时，，即………………4分 又，当时符合上式，所以通项公式为………………6分 法二：‎ 由得 ………………2分 从而有 ………………4分 所以等比数列公比，首项，因此通项公式为………………6分 ‎（2）由（1）可得…………………8分 ‎………………………10分 ‎……………12分 ‎18（1）因为平面SDM,‎ 平面ABCD,‎ 平面SDM 平面ABCD=DM,‎ 所以……………………2分 因为,所以四边形BCDM为平行四边形，又，‎ ‎,所以M为AB的中点。…………………4分 因为 ‎………………5分 ‎（2）因为， ，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面，‎ 平面平面，‎ 在平面内过点作直线于点，‎ 则平面，………………6分 在和中，‎ 因为，所以，‎ 又由题知，‎ 所以 所以， …………………………7分 以下建系求解。‎ 以点E为坐标原点，EA方向为X轴，EC方向为Y轴，ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系，则，，，，，…………………………………………………………8分 ‎，，，，‎ 设平面的法向量，则，所以，令得为平面的一个法向量，…………………………………………9分 同理得为平面的一个法向量， ……………10分 ‎， ‎ ‎ ‎ 因为二面角为钝角 所以二面角余弦值为…………………………………………12分 ‎19.‎ 解：（1）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： …………………………2分 乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：‎ ‎………………………4分 （2） ‎①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：‎ 单数 ‎52‎ ‎54‎ ‎56‎ ‎58‎ ‎60‎ 频率 ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 所以的分布列为：‎ ‎152‎ ‎154‎ ‎156‎ ‎158‎ ‎160‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎-----------5分 所以----6分 ‎-------7分 所以的分布列为：‎ ‎140‎ ‎152‎ ‎176‎ ‎200‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎-----------8分 所以-----------9分 ‎-------10分 ‎②答案一：‎ 由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案。--------12分 答案二：‎ 由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案。--------12分 ‎20解：‎ ‎（1）设由题，--------------------2分 解得，则，‎ 椭圆的方程为.-------------------------------------------4分 ‎（2）设，，‎ 当直线的斜率不存在时，设，则，‎ 直线的方程为代入，可得 ‎，，则 直线的斜率为，直线的斜率为，[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎，‎ 当直线的斜率不存在时，同理可得.----------------------------5分 当直线、的斜率存在时，‎ 设直线的方程为，则由消去可得：‎ ‎，‎ 又，则，代入上述方程可得 ‎，‎ ‎，则 ‎ 7分 ‎ 设直线的方程为，同理可得 ----------------------------9分 直线的斜率为----------------11分 直线的斜率为，‎ ‎.[来源:Z.xx.k.Com]‎ 所以，直线与的斜率之积为定值，即. -----------------12分 ‎21．解：（Ⅰ）由题意，所以，‎ 又，所以，…………2分[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ 若，则，与矛盾，故，…………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，…………5分 设在(-1，0)处的切线方程为，[来源:Z§xx§k.Com]‎ 易得，，令 即，，‎ 当时，‎ 当时，‎ 设， ，‎ 故函数在上单调递增，又，‎ 所以当时，，当时，， ‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 故………… 7分 设的根为，则 又函数单调递减，故，故，………… 8分 设在(0,0)处的切线方程为，易得 令，，‎ 当时，‎ 当时，‎ 故函数在上单调递增，又，‎ 所以当时，，当时，， ‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎………… 10分 ‎ ‎ 设的根为，则 又函数单调递增，故，故，……… 11分 又，‎ ‎………… 12分 ‎ ‎ 选作题 ‎22（1）由题意可知直线的直角坐标方程为，………… 2分 曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得：；可知曲线C的方程为，…………4分 所以曲线C的极坐标方程为，‎ 即 …………5分 ‎ ‎(2)由（1）不妨设M（），，（）‎ ‎ …………7分 ‎ ‎………………9分 ‎ ‎ 当时, ‎ 所以△MON面积的最大值为. ………………10分 ‎ ‎23. 【解析】‎ ‎（1）由题意可知恒成立，令，‎ 去绝对值可得：，‎ ‎………………3分 ‎ 画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为； ………………5分 ‎ ‎（2）由（1）可知，所以， ‎ ‎ ………………7分 ‎ ‎………………9分 ‎ 当且仅当，即等号成立，‎ 所以的最小值为. ………………10分 ‎ ‎ ‎