2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第30练

2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第30练

第 30 练 压轴小题突破练(2) [明晰考情] 高考选择题的 12 题位置、填空题的 16 题位置，往往出现逻辑思维深刻，难度 高档的题目. 考点一 与向量有关的压轴小题 方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为 不含向量的问题. (2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解 题. 1.在△ABC 中，已知AB→·AC→＝9，sin B＝cos A·sin C，S△ABC＝6，P 为线段 AB 上的点，且CP→＝ x· CA→ |CA→|＋y· CB→ |CB→|，则 xy 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 由题设 sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A， 即 sin Acos C＝0，也即 cos C＝0， ∴C＝90°. 又∵bccos A＝9，故 b2＝9，即 b＝3. ∵1 2ab＝6，故 a＝4，c＝5， 故建立如图所示平面直角坐标系 xCy，则 A(3，0)，B(0，4)，则由题设可知 P(x，y)， 直线 AB 的方程为x 3 ＋y 4 ＝1 且 x＞0，y＞0， ∴x 3 ＋y 4 ＝1≥2 xy 12 ，即 xy≤3，当且仅当 x＝3 2 ，y＝2 时“＝”成立，故选 C. 2.已知点 O 是△ABC 内部一点，且满足 2OA→ ＋3OB→ ＋4OC→ ＝0，则△AOB，△BOC，△AOC 的面积之比为( ) A.4∶2∶3 B.2∶3∶4 C.4∶3∶2 D.3∶4∶5 答案 A 解析 如图所示，延长 OA，OB，OC，使 OD＝2OA，OE＝3OB，OF＝4OC， ∵2OA→ ＋3OB→ ＋4OC→ ＝0， ∴OD→ ＋OE→ ＋OF→ ＝0， 即 O 是△DEF 的重心，故△DOE，△EOF，△DOF 的面积相等， 不妨令它们的面积均为 1，则△AOB 的面积为1 6 ，△BOC 的面积为 1 12 ，△AOC 的面积为1 8 ，故 △AOB，△BOC，△AOC 的面积之比为1 6 ∶ 1 12 ∶1 8 ＝4∶2∶3. 故选 A. 3.(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA→ ，OB→ ，OC→ 的模分别为 1，1，2，OA→ 与OC→ 的夹 角为α，且 tan α＝7，OB→ 与OC→ 的夹角为 45°.若OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ (m，n∈R)，则 m＋n＝________. 答案 3 解析 如图，过点 C 作 CD∥OB 交 OA 的延长线于点 D. 设OD→ ＝mOA→ ，DC→ ＝nOB→ ，则在△ODC 中有 OD＝m， DC＝n，OC＝ 2，∠OCD＝45°， 由 tan α＝7，得 cos α＝ 2 10 ， 又由余弦定理知， m2＝n2＋ 22－2 2ncos 45°， n2＝m2＋ 22－2 2mcos α， 即 m2－n2＝2－2n， ① n2－m2＝2－2 5m， ② ①＋②得 4－2n－2 5m＝0，即 m＝10－5n，代入①得 12n2－49n＋49＝0，解得 n＝7 4 或 n＝7 3 ， 当 n＝7 3 时，m＝10－5×7 3 ＝－5 3<0(舍去)，当 n＝7 4 时，m＝10－5×7 4 ＝5 4 ，故 m＋n＝5 4 ＋7 4 ＝3. 4.已知 O 为△ABC 的外心，且BO→ ＝λBA→＋μBC→. (1)若∠C＝90°，则λ＋μ＝______________； (2)若∠ABC＝60°，则λ＋μ的最大值为______________. 答案 1 2 2 3 解析 (1)若∠C＝90°，则 O 为 AB 边的中点， BO→ ＝1 2BA→，即λ＝1 2 ，μ＝0. (2)设△ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，因为 O 为△ABC 的外心，且BO→ ＝ λBA→＋μBC→， 所以 BO→ ·BA→＝λBA→ 2＋μBA→·BC→ BO→ ·BC→＝λBA→·BC→＋μBC→ 2， 即 1 2c2＝λc2＋1 2μac， 1 2a2＝1 2λac＋μa2， 化简得 λc＋1 2μa＝1 2c， 1 2λc＋μa＝1 2a， 解得 λ＝2 3 － a 3c ， μ＝2 3 － c 3a ， 则λ＋μ＝4 3 － a 3c ＋ c 3a ≤4 3 －2 a 3c· c 3a ＝4 3 －2 3 ＝2 3 ，当且仅当△ABC 为等边三角形时“＝”成 立. 考点二 与解析几何有关的压轴小题 方法技巧 求圆锥曲线范围，最值问题的常用方法 (1)定义性质转化法：利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何中的结论确定最值或 范围. (2)目标函数法：建立所求的目标函数，将所求最值转化为函数最值解决. (3)条件不等式法：找出与变量相关的所有限制条件，然后再通过解决不等式(组)求变量的范 围. 5.已知 F1，F2 是椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则 C 的离心率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 答案 D 解析 如图，作 PB⊥x 轴于点 B. 由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则 c＝1， 由∠F1F2P＝120°， 可得|PB|＝ 3，|BF2|＝1， 故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2， tan∠PAB＝|PB| |AB| ＝ 3 a＋2 ＝ 3 6 ， 解得 a＝4， 所以 e＝c a ＝1 4. 故选 D. 6.已知 F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF1 → ·PF2 → ＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是( ) A. 3 3 ，1 B. 1 3 ，1 2 C. 3 3 ， 2 2 D. 0， 2 2 答案 C 解析 设 P(m，n)，则PF1 → ·PF2 → ＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2＝c2， ∴2c2－m2＝n2.① 把 P(m，n)代入x2 a2 ＋y2 b2 ＝1，得m2 a2 ＋n2 b2 ＝1，② ①代入②得 m2＝a2b2－2a2c2 b2－a2 ≥0， ∴a2b2≤2a2c2，即 b2≤2c2， 又 a2＝b2＋c2，∴a2≤3c2，即 e＝c a ≥ 3 3 . 又 m2＝a2b2－2a2c2 b2－a2 ≤a2， 即 a2≥2c2，即 e＝c a ≤ 2 2 ， ∴椭圆离心率的取值范围是 3 3 ， 2 2 . 7.等腰直角△AOB 内接于抛物线 y2＝2px(p＞0)，O 为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB 的面 积是 16，抛物线的焦点为 F，若 M 是抛物线上的动点，则|OM| |MF| 的最大值为( ) A. 3 3 B. 6 3 C.2 3 3 D.2 6 3 答案 C 解析 因为等腰直角△AOB 内接于抛物线 y2＝2px(p＞0)，O 为抛物线的顶点，OA⊥OB， 所以可设 A(a，a)(a＞0)， S△AOB＝1 2a×2a＝16，得 a＝4， 将 A(4，4)代入 y2＝2px，得 p＝2，抛物线的方程为 y2＝4x，所以 F(1，0). 设 M(x，y)，则 x≥0，设 t＝ 1 x＋1(00，yB<0， 则 A c，bc a ，B c，－bc a ，P c，b2 a ， 因为OP→ ＝λOA→ ＋μOB→ ， 所以 c，b2 a ＝ λ＋μc，λ－μbc a ， 所以λ＋μ＝1，λ－μ＝b c ， 解得λ＝c＋b 2c ，μ＝c－b 2c ， 又由λμ＝1 8 ，得c2－b2 4c2 ＝1 8 ， 解得c2 a2 ＝2， 所以 e＝ 2，故选 D. 5.若数列{an}满足 1 an＋1 － p an ＝0，n∈N*，p 为非零常数，则称数列{an}为“梦想数列”.已知正 项数列 1 bn 为“梦想数列”，且 b1b2b3…b99＝299，则 b8＋b92 的最小值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B 解析 依题意可得 bn＋1＝pbn，则数列{bn}为等比数列.又 b1b2b3…b99＝299＝b9950，则 b50＝2.b8 ＋b92≥2 b8·b92＝2b50＝4，当且仅当 b8＝b92＝2，即该数列为常数列时取等号. 6.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起.他们除懂本国语言外，每 人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现 知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语 交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲 与丙交谈时，他能做翻译.针对他们懂的语言，正确的推理是( ) A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德 B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英 C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德 D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英 答案 A 解析 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除 B 选项；由②知，没有人既会日语又 会法语，排除 D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除 C 选项，故选 A. 7.(2018·石家庄模拟)抛物线 C：y＝1 4x2 的焦点为 F，其准线 l 与 y 轴交于点 A，点 M 在抛物线 C 上，当|MA| |MF| ＝ 2时，△AMF 的面积为( ) A.1 B.2 C.2 2 D.4 答案 B 解析 F(0，1)，A(0，－1)，过 M 作 MN⊥l，垂足为 N，∴△AMF 的高为|AN|， 设 M m，1 4m2 (m>0)， 则 S△AMF＝1 2 ×2m＝m. 又由|MA| |MF| ＝ 2，|MN|＝|MF|， ∴△AMN 为等腰直角三角形， ∴1 4m2＋1＝m，∴m＝2， ∴△AMF 的面积为 2. 8.在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，E，F 分别为 BC，CD 的中 点，以 A 为圆心，AD 为半径的圆交 AB 于点 G，点 P 在 DG 上运动(如图).若AP→＝λAE→＋μBF→， 其中λ，μ∈R，则 6λ＋μ的取值范围是( ) A.[1， 2] B.[ 2，2 2] C.[2，2 2] D.[1，2 2] 答案 C 解析 建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(0，0)，B(2，0)，E(2，1)，C(2，2)，D(0，1)，F 1，3 2 . 设 P(cos θ，sin θ)，其中 0≤θ≤π 2 ，则 AP→＝(cos θ，sin θ)，AE→＝(2，1)，BF→＝ －1，3 2 ， ∵AP→＝λAE→＋μBF→， ∴(cos θ，sin θ)＝λ(2，1)＋μ －1，3 2 ， 即 cos θ＝2λ－μ， sin θ＝λ＋3 2μ， 解得 λ＝1 4sin θ＋3 8cos θ， μ＝1 2sin θ－1 4cos θ， ∴6λ＋μ＝2sin θ＋2cos θ＝2 2sin θ＋π 4 ， ∵0≤θ≤π 2 ，∴π 4 ≤θ＋π 4 ≤3π 4 ， ∴2≤2 2sin θ＋π 4 ≤2 2， 即 6λ＋μ的取值范围是[2，2 2]，故选 C. 9.在△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a2＋b2－c2＝ 3ab，且 acsin B＝2 3sin C，则CA→·CB→＝________. 答案 3 解析 由 a2＋b2－c2＝ 3ab，得 2cos C＝ 3，即 cos C＝ 3 2 ，由 acsin B＝2 3sin C，得acsin B bc ＝2 3sin C bc ，由sin B b ＝sin C c ，得 ab＝2 3，所以CA→·CB→＝abcos C＝2 3× 3 2 ＝3. 10.设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn S2n 为常数，则称数列{an}为“精致数列”. 已知等差数列{bn} 的首项为 1，公差不为 0，若数列{bn}为“精致数列”，则数列{bn}的通项公式为__________. 答案 bn＝2n－1(n∈N*) 解析 设等差数列{bn}的公差为 d，由 Sn S2n 为常数，设 Sn S2n ＝k 且 b1＝1，得 n＋1 2n(n－1)d＝ k 2n＋1 2 ×2n2n－1d ， 即 2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d， 整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0， 因为对任意正整数 n 上式恒成立， 则 d4k－1＝0， 2k－12－d＝0， 解得 d＝2， k＝1 4 ， 所以数列{bn}的通项公式为 bn＝2n－1(n∈N*). 11.已知 cosπ 3 ＝1 2 ， cosπ 5cos2π 5 ＝1 4 ， cosπ 7cos2π 7 cos3π 7 ＝1 8 ， …， (1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________； (2)若数列{an}中，a1＝cosπ 3 ，a2＝cosπ 5cos2π 5 ，a3＝cosπ 7cos2π 7 cos3π 7 ，…， 前 n 项和 Sn＝1 023 1 024 ，则 n＝________. 答案 (1)cos π 2n＋1 ·cos 2π 2n＋1 ·…·cos nπ 2n＋1 ＝ 1 2n(n∈N*) (2)10 解析 (1)从题中所给的几个等式可知，第 n 个等式的左边应有 n 个余弦相乘，且分母均为 2n ＋ 1 ， 分 子 分 别 为 π ， 2π ， … ， nπ ， 右 边 应 为 1 2n ， 故 可 以 猜 想 出 结 论 为 cos π 2n＋1 ·cos 2π 2n＋1 ·…·cos nπ 2n＋1 ＝ 1 2n(n∈N*). (2)由(1)可知 an＝ 1 2n ， 故 Sn＝ 1 2 1－ 1 2 n 1－1 2 ＝1－ 1 2n ＝2n－1 2n ＝1 023 1 024 ， 解得 n＝10. 12.已知抛物线 C：y2＝2px(0＜p＜4)的焦点为 F，点 P 为 C 上一动点，A(4，0)，B(p， 2p)， 且|PA|的最小值为 15，则|BF|＝________. 答案 9 2 解析 设 P(x，y)且 y2＝2px，则 |PA|＝ x－42＋y2＝ x－42＋2px＝ x2＋2p－8x＋16， 根号下二次函数的对称轴为 x＝4－p∈(0，4)， 所以在对称轴处取得最小值， 即 4－p2＋2p－84－p＋16＝ 15， 解得 p＝3 或 5(舍去)，经检验 p＝3 符合题意. 所以抛物线方程为 y2＝6x，B(3，3 2)， 易知点 B 在抛物线上，所以|BF|＝3＋3 2 ＝9 2.