【数学】2020届一轮复习人教版（理）第十二章第二节　不等式证明作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第十二章第二节　不等式证明作业

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)‎ A级　基础夯实练 ‎1．(2018·广西南宁测试)(1)解不等式|x＋1|＋|x＋3|＜4；‎ ‎(2)若a，b满足(1)中不等式，求证：2|a－b|＜|ab＋‎2a＋2b|.‎ 解：(1)当x＜－3时，|x＋1|＋|x＋3|＝－x－1－x－3＝－2x－4＜4，解得x＞－4，所以－4＜x＜－3；‎ 当－3≤x＜－1时，|x＋1|＋|x＋3|＝－x－1＋x＋3＝2＜4恒成立，所以－3≤x＜－1；‎ 当x≥－1时，|x＋1|＋|x＋3|＝x＋1＋x＋3＝2x＋4＜4，解得x＜0，所以－1≤x＜0.‎ 综上，不等式|x＋1|＋|x＋3|＜4的解集为{x|－4＜x＜0}．‎ ‎(2)4(a－b)2－(ab＋‎2a＋2b)2＝－(a2b2＋‎4a2b＋4ab2＋16ab)＝－ab(b＋4)(a＋4)＜0，‎ 所以4(a－b)2＜(ab＋‎2a＋2b)2，‎ 所以2|a－b|＜|ab＋‎2a＋2b|.‎ ‎2．(2018·广东宝安中学等七校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|－|x－a|，a∈R.‎ ‎(1)当a＝1时，解不等式f(x)＜1；‎ ‎(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|－|x－1|＝ 当x≤时，－x＜1，解得x＞－1，∴－1＜x≤；‎ 当＜x≤1时，3x－2＜1，解得x＜1，∴＜x＜1；‎ 当x＞1时，x＜1，无解．‎ 综上所述，不等式f(x)＜1的解集为{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解⇔|x－a|＜－2x有解⇔2x＜x－a＜－2x有解⇔3x＜a＜－x有解，‎ ‎∵3x＞－3，－x＜1，‎ ‎∴－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．‎ ‎3．(2018·安徽安师大附中阶段性检测)设函数f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.‎ ‎(1)求m；‎ ‎(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．‎ 解：(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；‎ 当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2；‎ 当x≥1时，f(x)＝－x－3≤－4.‎ 故当x＝－1时，f(x)取得最大值m＝2.‎ ‎(2)因为2＝a2＋2b2＋c2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc＝2(ab＋bc)，当且仅当a＝b＝c＝时取等号，‎ 此时，ab＋bc取得最大值1.‎ B级　能力提升练 ‎4．(2018·四川成都七中期中)已知函数f(x)＝m－|x－1|，m∈R，且f(x＋2)＋f(x－2)≥0的解集为[－2,4]．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若a，b，c为正数，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋‎3c≥3.‎ 解：(1)由f(x＋2)＋f(x－2)≥0可得|x＋1|＋|x－3|≤‎2m.‎ 设g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则 当x≤－1时，g(x)＝－2x＋2；‎ 当－1＜x＜3时，g(x)＝4；‎ 当x≥3时，g(x)＝2x－2.‎ 所以g(－2)＝g(4)＝6＝‎2m，m＝3.‎ ‎(2)由(1)得＋＋＝3，‎ 由柯西不等式，得(a＋2b＋‎3c)≥2＝32，当且仅当a＝2b＝‎3c＝1时等号成立，所以a＋2b＋‎3c≥3.‎ ‎5．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|(m∈R)．‎ ‎(1)当m＝－1时，求不等式f(x)≤2的解集；‎ ‎(2)设关于x的不等式f(x)≤|2x＋1|的解集为A，且⊆A，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)当m＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|，由f(x)≤2，得|x－1|＋|2x－1|≤2，‎ ‎∴或 或 解得或或 ‎∴0≤x≤或＜x＜1或1≤x≤.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎(2)∵⊆A，‎ ‎∴当x∈时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，‎ 即|x＋m|＋|2x－1|≤|2x＋1|在x∈上恒成立，‎ ‎∴|x＋m|＋2x－1≤2x＋1，即|x＋m|≤2，‎ ‎∴－2≤x＋m≤2，‎ ‎∴－x－2≤m≤－x＋2在x∈上恒成立，‎ ‎∴(－x－2)max≤m≤(－x＋2)min，‎ ‎∴－≤m≤0，‎ ‎∴实数m的取值范围是.‎ ‎6．(2018·云南昆明适应性检测)已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1.‎ ‎(1)证明：|am＋bn＋cp|≤1；‎ ‎(2)若abc≠0，证明：＋＋≥1.‎ 解：(1)易知|am＋bn＋cp|≤|am|＋|bn|＋|cp|，‎ 因为a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1，‎ 所以|am|＋|bn|＋|cp|≤＋＋＝＝1，‎ 故|am＋bn＋cp|≤1.‎ ‎(2)因为a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1，‎ 所以＋＋＝(a2＋b2＋c2)≥2＝(m2＋n2＋p2)2＝1，‎ 所以＋＋≥1.‎