2014高考天津卷（理科数学）试卷

2014高考天津卷（理科数学）试卷

‎2014·天津卷(理科数学)‎ ‎1．[2014·天津卷] i是虚数单位，复数＝(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．1－iB．－1＋i C.＋iD．－＋i ‎1．A　[解析]＝＝＝1－i.‎ ‎2．[2014·天津卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为(　　)‎ A．2B．3C．4D．5‎ ‎2．B　[解析]画出可行域，如图所示．解方程组得即点A(1，1)．‎ 当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin＝1×1＋2×1＝3.‎ 图11‎ ‎3．[2014·天津卷] 阅读如图11所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(　　)‎ A．15‎ B．105‎ C．245‎ D．945‎ ‎3．B　[解析]第1次循环，i＝1，T＝3，S＝1×3；‎ 第2次循环，i＝2，T＝5，S＝1×3×5；‎ 第3次循环，i＝3，T＝7，S＝1×3×5×7.‎ 执行完后，这时i变为4，退出循环，故输出S＝1×3×5×7＝105.‎ ‎4．[2014·天津卷] 函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)‎ A．(0，＋∞) ‎ B．(－∞，0) ‎ C．(2，＋∞) ‎ D．(－∞，－2)‎ ‎4．D　[解析]要使f(x)单调递增，需有解得x<－2.‎ ‎5．[2014·天津卷] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1B.－＝1‎ C.－＝1D.－＝1‎ ‎5．A　[解析]由题意知，双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝2.∵双曲线的左焦点(－c，0)在直线l上，∴0＝－2c＋10，∴c＝5.又∵a2＋b2＝c2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为－＝1.‎ ‎6．[2014·天津卷] ‎ 图12‎ 如图12所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：‎ ‎①BD平分∠CBF；‎ ‎②FB2＝FD·FA；‎ ‎③AE·CE＝BE·DE；‎ ‎④AF·BD＝AB·BF.‎ 则所有正确结论的序号是(　　)‎ A．①②B．③④‎ C．①②③D．①②④‎ ‎6．D　[解析]如图所示，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD平分∠CBF，∴△ABF∽△BDF.‎ ‎∵＝，∴AB·BF＝AF·BD.∵＝，∴BF2＝AF·DF.故①②④正确．‎ ‎7．[2014·天津卷] 设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)‎ A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 ‎7．C　[解析]当ab≥0时，可得a>b与a|a|>b|b|等价．当ab<0时，可得a>b时a|a|>0>b|b|；反之，由a|a|>b|b|知a>0>b，即a>b.‎ ‎8．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)‎ A.B.C.D. ‎8．C　[解析]建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－)，C(1，0)，D(0，)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由BE＝λBC得(x1，y1＋)＝λ(1，)，解得即点E(λ，(λ－1))．由＝μ得(x2，y2－)＝μ(1，－)，解得即点F(μ，(1－μ))．又∵AE·AF＝(λ＋1，(λ－1))·(μ＋1，(1－μ))＝1，①‎ ·＝(λ－1, (λ－1))·(μ－1, (1－μ))＝－.②‎ ‎①－②得λ＋μ＝.‎ ‎9．[2014·天津卷] 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．‎ 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．‎ ‎9．60　[解析]由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×＝60.‎ ‎10．[2014·天津卷] 一个儿何体的三视图如图13所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.‎ 图13‎ ‎10.　[解析]由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12×4＋π×22×2＝.‎ ‎11．、[2014·天津卷] 设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．‎ ‎11．－　[解析]∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6，S1，S2，S4成等比数列，‎ ‎∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－.‎ ‎12．[2014·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．‎ ‎12．－　[解析]∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c.‎ 又∵b－c＝，∴a＝2c，b＝c，‎ ‎∴cosA＝＝＝－.‎ ‎13．[2014·天津卷] 在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．‎ ‎13．3　[解析]将ρ＝4sinθ与ρsinθ＝a转化为直角坐标方程分别为x2＋(y－2)2＝4与y＝a.联立得x2＝－a2＋4a，且09.‎ ‎15．、、[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．‎ ‎15．解：(1)由已知，有 f(x)＝cosx·－cos2x＋ ‎＝sinx·cosx－cos2x＋ ‎＝sin2x－(1＋cos2x)＋ ‎＝sin2x－cos2x ‎＝sin，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，‎ 所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.‎ ‎16．、、[2014·天津卷] 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．‎ ‎(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；‎ ‎(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎16．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则 P(A)＝＝，‎ 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.‎ P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎17．、[2014·天津卷] 如图14所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．‎ ‎(1)证明：BE⊥DC；‎ ‎(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角FABP的余弦值．‎ 图14‎ ‎17．解：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．‎ ‎(1)证明：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，‎ 故BE·DC＝0，‎ 所以BE⊥DC.‎ ‎(2)向量BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，‎ 则即 不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量．于是有 cos〈n，BE〉＝＝＝，‎ 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.‎ ‎(3) 向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，‎ 设CF＝λ，0≤λ≤1.‎ 故BF＝BC＋CF＝BC＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得BF·AC＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，即BF＝.设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，则 cos〈，〉＝＝＝－.‎ 易知二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.‎ 方法二：(1)证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.‎ 因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.‎ ‎(2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．‎ 依题意，有PD＝2，而M为PD中点，可得AM＝，进而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝，‎ 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.‎ ‎(3)如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角FABP的平面角．‎ 在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°.由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝，所以二面角FABP的余弦值为.‎ ‎18．、[2014·天津卷] 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.‎ ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．‎ ‎18．解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．‎ 由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.‎ 又b2＝a2－c2，则＝，‎ 所以椭圆的离心率e＝.‎ ‎(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.‎ 故椭圆方程为＋＝1.‎ 设P(x0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)，‎ 有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．‎ 由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.‎ 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①‎ 又因为点P在椭圆上，‎ 所以＋＝1.②‎ 由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.代入①得y0＝，即点P的坐标为.‎ 设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.‎ 设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±，‎ 所以直线l的斜率为4＋或4－.‎ ‎19．、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，‎ 集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．‎ ‎(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.‎ ‎(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an0在R上恒成立，可得f(x)在R上单调递增，不合题意．‎ ‎(ii)a>0时，由f′(x)＝0，得x＝－lna.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－lna)‎ ‎－lna ‎(－lna，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  ‎－lna－1‎  这时，f(x)的单调递增区间是(－∞，－lna)；单调递减区间是(－lna，＋∞)．于是，“函数y＝f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f(－lna)>0；②存在s1∈(－∞，－lna)，满足f(s1)<0；③存在s2∈(－lna，＋∞)，满足f(s2)<0.‎ 由f(－lna)>0，即－lna－1>0，解得00.由已知，x1，x2满足a＝g(x1)，a＝g(x2)．由a∈(0，e－1)及g(x)的单调性，可得x1∈(0，1)，x2∈(1，＋∞)．‎ 对于任意的a1，a2∈(0，e－1)，设a1>a2，g(ξ1)＝g(ξ2)＝a1，其中0<ξ1<1<ξ2；g(η1)＝g(η2)＝a2，其中0<η1<1<η2.‎ 因为g(x)在(0，1)上单调递增，所以由a1>a2，即g(ξ1)>g(η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.‎ 又由ξ1，η1>0，得<<，‎ 所以随着a的减小而增大．‎ ‎(3)证明：由x1＝aex1，x2＝aex2，可得lnx1＝lna＋x1，lnx2＝lna＋x2.故x2－x1＝lnx2－lnx1＝ln.‎ 设＝t，则t>1，且解得x1＝，x2＝，所以x1＋x2＝.①‎ 令h(x)＝，x∈(1，＋∞)，‎ 则h′(x)＝.‎ 令u(x)＝－2lnx＋x－，得u′(x)＝.‎ 当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0.因此，u(x)在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x∈(1，＋∞)，u(x)>u(1)＝0，由此可得h′(x)>0，故h(x)在(1，＋∞)上单调递增．‎ 因此，由①可得x1＋x2随着t的增大而增大．‎ 而由(2)，t随着a的减小而增大，所以x1＋x2随着a的减小而增大．‎