【数学】2020届一轮复习人教B版二项式定理与其他知识的交汇问题作业

【数学】2020届一轮复习人教B版二项式定理与其他知识的交汇问题作业

‎1.(2018·全国卷Ⅲ)的展开式中x4的系数为 (　　)‎ A.10　　　　　　 B.20　　　　　　 C.40　　　　　　 D.80‎ ‎【解析】选C.展开式的通项公式为Tr+1=(x2)5-r=2rx10-3r，令10-3r=4可得r=2，则x4的系数为22=40.‎ ‎【变式备选】的展开式中常数项为 (　　)‎ A.15　　　B.-15　　　C.20　　　D.-20‎ ‎【解析】选A.Tr+1=()6-r=(-1)r，r=0，1，…，6，令3-r=0，得r=2，所以的展开式的常数项为(-1)2=15.‎ ‎2.已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n等于 (　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【解析】选C.展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得=2n=64，所以n=6.‎ ‎3.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1，则S等于 (　　)‎ A.(x-1)3 B.(x-2)3‎ C.x3 D.(x+1)3‎ ‎【解析】选C.S=(x-1)3+(x-1)2×1+(x-1)×12+×13=[(x-1)+1]3=x3.‎ ‎【变式备选】(2018·银川模拟)+2+4+…+2n-1等于 (　　)‎ A.3n　　 B.2·3n　 　C.-1　　 D.‎ ‎【解析】选D.+2+4+…+2n-1‎ ‎=(+2+22+…+2n)-‎ ‎=(1+2)n-=.‎ ‎4.在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有 (　　) ‎ A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 ‎【解析】选C.因为Tr+1=()24-r=，故当r=0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共有5项.‎ ‎5．【山东K12联盟2018届高三模拟】已知，在的展开式中，记的系数为，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，所以，由已知有指的系数，指的系数，所以，选A.‎ ‎6．将二项式展开式各项重新排列,则其中无理项互不相邻的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由,知当时为有理项,则二项式展开式中有4项有理项,3项无理项,所以基本事件总数为,无理项互为相邻有,所以所求概率＝,故选A．‎ ‎7．若,则展开式中常数项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以,,常数项为,故选B. ‎ ‎8.已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为n,则二项式展开式中x2项的系数为(　　)‎ A．15 B．－15 C．30 D．－30‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为函数f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为4－(－2)＝6,即n＝6.展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－kk＝Cx6－2k(－1)k,由6－2k＝2,得k＝2,所以T3＝Cx2(－1)2＝15x2,即x2项的系数为15,选A.‎ ‎9.设复数x＝(i是虚数单位),则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 015＝(　　)‎ A．i B．－ i C．－1－i D．1＋i ‎【答案】C ‎【解析】x＝＝－1＋i,Cx＋Cx2＋…＋Cx2 015＝(1＋x)2 015－1＝i2 015－1＝－i－1.‎ ‎10．已知,则从集合（）到集合的映射个数是（ ）‎ A．6561 B．316 C．2187 D．210‎ ‎【答案】A ‎【解析】,所以,所以集合M中有0、1、4、6、、、、,从M到N的映射共有个．选A．‎ ‎11．设是大于1的自然数,的展开式为.若点的位置如图所示,则.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图易知,则,即,解得.‎ ‎12．【河南省新乡市2019届高三下学期第二次模拟】已知 ，则 ___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对等式 两边求导，得 ，令，则.‎ ‎13．【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】已知的展开式中含项的系数为-14，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据乘法分配律得 ，‎ ‎，.，，表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分.当时，，故.‎ ‎14．【河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四)】已知，记，则的展开式中各项系数和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据定积分的计算，可得 ，‎ 令，则，‎ 即的展开式中各项系数和为.‎ ‎15．复数（为虚数单位）为纯虚数,则复数的模为 .已知的展开式中没有常数项,且,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意设,则,所以,即,故的模为.因的通项公式,故当时存在常数项,即,故时为常数项,所以当时没有常数项符合题设,故应填.‎ ‎16.【辽宁省辽南协作校2017-2018学年高三下学期第一次模拟】二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则无理项都互不相邻的排列总数为__________．（用数字作答）‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】因为二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，所以展开式共5项，‎ ‎，其通项为，当时项为有理项，所以无理项有2个，先把有理项排好有种，从4个空中取两个排上无理项有种排法，所以共有种排法.‎ ‎17．已知的展开式中的常数项为,是以为周期的偶函数,且当时,,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令10-2r-3r=0,得r=2,‎ ‎∴常数项∴f（x）的周期为2,且是偶函数,∵当x∈[0,1]时,时,f（x）=-x；∴在区间[-1,3]内,画出函数y=f（x）和y=kx+k的图象,如图所示；结合图象知,直线y=kx+k过定点A（-1,0）,且∴函数g（x）=f（x）-kx-k在[-1,3]内有4个零点时,实数k的取值范围是 ‎18.求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*,n>2)．‎ ‎【证明】因为n∈N*,且n>2,所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．‎ ‎(2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1,‎ 故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*,n>2)．‎