2011年数学理（湖南）高考试题

2011年数学理（湖南）高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．若，为虚数单位，且则 ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 图1‎ ‎ A．， B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎2．设集合则 “”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 ‎ D．既不充分又不必要条件 ‎3．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ A．‎ ‎ B．‎ ‎ C．‎ ‎ D．‎ ‎4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由算得，．‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ 参照附表，得到的正确结论是 ‎ A．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ B．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎ C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎5．设双曲线的渐近线方程为，则的值为 ‎ A．4 B．‎3 ‎ C．2 D．1‎ ‎6．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为 ‎ A． B．‎1 ‎ C． D．‎ ‎7．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m 的取值范围为 ‎ A．（1，） B．（，） ‎ ‎ C．（1,3 ） D．（3，）‎ ‎8．设直线x=t 与函数 的图像分别交于点M,N,则当达到最小时t的值为 ‎ A．1 B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。‎ ‎（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）‎ ‎9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为，则C1与C2的交点个数为 ‎ ‎10．设,且，则的最小值为 。‎ ‎11．如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，‎ AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为 。‎ ‎（二）必做题（11～16题）‎ ‎12．设是等差数列，的前项和，且，‎ 则= ．‎ ‎13．若执行如图3所示的框图，输入，,‎ 则输出的数等于 。‎ ‎14．在边长为1的正三角形ABC中, 设则__________________．‎ ‎15．如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随 机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B表示事 件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则 ‎（1）P（A）= _____________; （2）P（B|A）= ． ‎ ‎16．对于 ,将n 表示 ,当时，,当时, 为0或1．记为上述表示中ai为0的个数（例如：）,故, ）,则 ‎（1）________________;（2） ________________;‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量（件）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。‎ ‎（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；‎ ‎（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图5，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,是的中点，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面 平面;‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值。‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 如图6，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。‎ ‎（Ⅰ）写出y的表达式 ‎（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线 截得的线段长等于C1的长半轴长。‎ ‎（Ⅰ）求C1，C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．‎ ‎（i）证明：MD⊥ME;‎ ‎（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得?请说明理由。‎ ‎22．（本小题满分13分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的零点个数。并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）设数列{ }（）满足，，证明：存在常数M,使得 对于任意的，都有≤ ．‎ ‎+‎ 参考答案 一、选择题：‎ DABCCDAD 二、填空题 ‎9．2 10．9 11． 12．25 13． 14． 15．（1） 16．（1）2（2）1093‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解析：（I）由正弦定理得 因为所以 ‎（II）由（I）知于是 取最大值2．‎ 综上所述，的最大值为2，此时 ‎18．解（I）（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1件”）‎ ‎（Ⅱ）由题意知，的可能取值为2,3.‎ ‎ （“当天商品销售量为1件”）‎ ‎ （“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”）‎ ‎ 故的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎ 的数学期望为 ‎ 19．解法1：连结OC，因为 又底面⊙O，AC底面⊙O，所以，‎ 因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以平面POD，‎ 而平面PAC，所以平面POD平面PAC。‎ ‎（II）在平面POD中，过O作于H，由（I）知，平面 所以平面PAC，又面PAC，所以 在平面PAO中，过O作于G，‎ ‎ 连接HG，‎ 则有平面OGH，‎ 从而，故为二面角B—PA—C的平面角。‎ 在 在 在 在 所以 故二面角B—PA—C的余弦值为 解法2：（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 ‎，‎ 设是平面POD的一个法向量，‎ 则由，得 所以 设是平面PAC的一个法向量，‎ 则由，‎ 得 所以 得。‎ 因为 所以从而平面平面PAC。‎ ‎（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为 由（I）知，平面PAC的一个法向量为 设向量的夹角为，则 由图可知，二面角B—PA—C的平面角与相等，‎ 所以二面角B—PA—C的余弦值为 ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，‎ 故，‎ ‎（II）由（I）知 当时，‎ 当 故 ‎（1）当时，y是关于v的减函数，‎ 故当 ‎（2）当时，在上，y是关于v的减函数，‎ 在上，y是关于v的增函数，‎ 故当 ‎21．（Ⅰ）由题意知 故C1，C2的方程分别为 ‎（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.‎ 由得 ‎.‎ 设是上述方程的两个实根，于是 又点M的坐标为（0，—1），所以 故MA⊥MB，即MD⊥ME.‎ ‎（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得 则点A的坐标为.‎ 又直线MB的斜率为，‎ 同理可得点B的坐标为 于是 由得 解得 则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为 于是.‎ 因此 由题意知，‎ 又由点A、B的坐标可知，‎ 故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为 ‎22．解：（I）由，而，‎ 的一个零点，且在（1，2）内有零点。‎ 因此至少有两个零点。‎ 解法1：记则 当上单调递增，则内至多只有一个零点。又因为内有零点，所以内有且只有一个零点，记此零点为；当时，‎ 所以，‎ 当单调递减，而内无零点；‎ 当单调递减，而内无零点；‎ 当单调递增，而内至多只有一个零点。‎ 从而内至多只有一个零点。‎ 综上所述，有且只有两个零点。‎ 解法2：由，则 当从而上单调递增，‎ 则内至多只有一个零点，因此内也至多只有一个零点。‎ 综上所述，有且只有两个零点。‎ ‎ （II）记的正零点为 ‎ （1）当 而 由此猜测：。下面用数学归纳法证明。‎ ‎①当显然成立。‎ ‎②假设当时，由 因此，当成立。‎ 故对任意的成立。‎ ‎ （2）当，由（I）知，上单调递增，则，‎ 即，‎ 由此猜测：，下面用数学归纳法证明，‎ ‎①当显然成立。‎ ‎②假设当成立，则当时，‎ 由 因此，当成立，‎ 故对任意的成立 综上所述，存在常数，使得对于任意的