2018-2019学年重庆市南岸区高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年重庆市南岸区高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市南岸区高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是（）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．‎ ‎【详解】‎ 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，‎ 且b2+c2＝a2+bc．‎ 则：，‎ 由于：0＜A＜π，‎ 故：A．‎ 由于：sinBsinC＝sin2A，‎ 利用正弦定理得：bc＝a2，‎ 所以：b2+c2﹣2bc＝0，‎ 故：b＝c，‎ 所以：△ABC为等边三角形．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎2．在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以，选A.‎ ‎【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.‎ ‎3．如图，在上，D是BC上的点，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】试题分析：根据题意设,则 ‎,在中由余弦定理可得 ‎，‎ 在中由正弦定理得,故选C．‎ ‎【考点】正余弦定理的综合应用．‎ ‎4．已知是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由双曲线定义得，‎ ‎，由余弦定理得 ‎【考点】双曲线定义 ‎【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.‎ ‎5．已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，(其中为的前n项和).则（）‎ A．3 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由奇函数满足可知该函数是周期为的奇函数，‎ 由递推关系可得：,‎ 两式做差有：，即，‎ 即数列构成首项为，公比为的等比数列，‎ 故：，综上有：‎ ‎，‎ ‎，‎ 则：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎6．数列满足，且对任意的都有，则数列的前100项的和为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先利用累加法求出，再利用裂项相消法求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴数列的前100项的和为：．‎ 故选:B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有 A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 ‎【答案】C ‎【解析】【详解】试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：‎ ‎,01010011;010101011,共14个 ‎【点睛】‎ 求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．‎ ‎8．等差数列和的前n项和分别为与，对一切自然数n，都有，则等于（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】取代入计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 又∵当时，，．‎ 故选:C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列前n项和与通项的关系，判断是解题的关键.‎ ‎9．已知偶函数在区间单调递增，则满足 的x取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，再利用函数的单调性和奇偶性可得，由此求得的取值范围，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数为偶函数，且在区间上为单调递增函数，‎ 又因为，即，‎ 所以，即，求得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用，其中根据函数的奇偶性和函数的单调性，把不等式转化为求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎10．已知定义在R上的偶函数，其导函数为；当时，恒有，若，则不等式的解集为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题干得到是偶函数，通过求导得到函数在，从而得到.‎ ‎【详解】‎ 因为是定义在R上的偶函数，也是偶函数，故是偶函数，‎ ‎，当时，恒有，故当时，，即函数在 ‎ 故自变量离轴越远函数值越小，故.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了抽象函数的奇偶性的应用，以及导数在研究函数的单调性中的应用，导数在研究不等式中的应用；题目中等.对于函数奇偶性，奇函数乘以奇函数仍然是奇函数，偶函数乘以偶函数仍然是偶函数.‎ ‎11．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）‎ A． B．3 C．6 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，‎ 又，，‎ 两式相减，可得：，，‎ ‎. ，‎ ‎，当且仅当时等立，‎ 的最小值为6，‎ 故选:C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ ‎12．已知函数满足，且当时，成立，若，，则a，b，c的大小关系是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，由是上的偶函数，是上的奇函数，得 是上的奇函数，在递减，在递减，得，，．推出结果，即，故选D．‎ 二、填空题 ‎13．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．‎ ‎【答案】-8‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：‎ ‎，由可得：，代入①可得，‎ 由等比数列的通项公式可得.‎ ‎【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.‎ ‎14．已知实数，是与的等比中项，则的最小值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过是与的等比中项得到，利用均值不等式求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 实数是与的等比中项，‎ ‎，解得．‎ 则，当且仅当时，即时取等号．‎ 故答案为:．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.‎ ‎15．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，则面积的最大值为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 由已知，即得，‎ ‎16．若直线与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，实数m的取值____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】点O到的距离，将的面积用表示出来，再利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 曲线表示圆心在原点，半径为1的圆的上半圆，‎ 若直线与曲线相交于A，B两点，则直线的斜率，‎ 则点O到的距离，又，‎ 当且仅当，即时，取得最大值．所以，‎ 解得舍去)．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点到直线的距离，三角形面积，均值不等式，意在考查学生的计算能力.‎ 三、解答题 ‎17．中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)将化简代入数据得到答案.‎ ‎(2)利用余弦定理和均值不等式计算，代入面积公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎；‎ ‎(2)由，可得，‎ 由余弦定理可得，‎ 即有，当且仅当，取得等号．‎ 则面积为．‎ 即有时，的面积取得最大值．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.‎ ‎18．已知数列的前n项和为，且．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，设数列的前n项和为，证明．‎ ‎【答案】（1）;（2）见解析.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系，再运用等比数列的定义求得通项公式；（2）依据（1）的结论运用错位相减法求解，再借助简单缩放法推证：‎ ‎（1）当时，得，‎ 当时，得 ，‎ 所以，‎ ‎（2）由（1）得： ，‎ 又 ①‎ 得 ②‎ 两式相减得： ，‎ 故 ，‎ 所以 .‎ 点睛：解答本题的思路是充分借助题设条件，先探求数列的的通项公式，再运用错位相减法求解前项和。解答第一问时，先借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系，再运用等比数列的定义求得通项公式；解答第二问时，先依据（1）中的结论求得，运用错位相减求和法求得，使得问题获解。‎ ‎19．已知函数是指数函数．‎ ‎(1)求的表达式；‎ ‎(2)判断的奇偶性，并加以证明 ‎ ‎(3)解不等式：．‎ ‎【答案】（1）（2）见证明；（3）‎ ‎【解析】(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.‎ ‎(2) ，判断关系得到答案.‎ ‎(3)利用函数的单调性得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵函数是指数函数，且，‎ ‎∴，可得或（舍去），∴；‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，∴，∴是奇函数；‎ ‎（3）不等式：，以2为底单调递增，‎ 即，‎ ‎∴，解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎20．选修4-5：不等式选讲 已知函数，M为不等式的解集.‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a，b时，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．‎ 试题解析：（I）‎ 当时，由得解得；‎ 当时，；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而 ‎，‎ 因此 ‎【考点】绝对值不等式，不等式的证明. ‎ ‎【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：‎ ‎（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．‎ ‎（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．‎ ‎21．已知数列前n项和，点在函数的图象上．‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将点的坐标代入函数的方程得到.利用，可求得数列的通项公式为.（2）利用裂项求和法求得.为递增的数列，当时有最小值为，所以，解得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）点在函数的图象上，.①‎ 当时，，②‎ ‎①-②得.‎ 当时，，符合上式.‎ ‎．‎ ‎（2）由（1）得 ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ 数列单调递增，‎ 中的最小项为.‎ 要使不等式对任意正整数恒成立，‎ 只要，‎ 即.‎ 解得，‎ 即实数的取值范围为.‎ 点睛:本题主要考查函数与数列，考查已知数列前项和，求数列通项的方法，即用公式.要注意验证当时等号是否成立.考查了裂项求和法，当数列通项是分数的形式，并且分母是两个等差数列的乘积的时候，可考虑用裂项求和法求和.还考查了数列的单调性和恒成立问题的解法.‎ ‎22．扇形AOB中心角为，所在圆半径为，它按如图(Ⅰ)(Ⅱ)两种方式有内接矩形CDEF．‎ ‎(1)矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设；‎ ‎(2)点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设；‎ 试研究(1)(2)两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？‎ ‎【答案】方式一最大值 ‎【解析】【详解】试题分析：(1)运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用；（2）重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（3）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性.‎ 试题解析： 解（1）在中，设，则 又 当即时，‎ ‎（Ⅱ）令与的交点为，的交点为，则，‎ 于是，又 当即时，取得最大值.‎ ‎,（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式下矩形面积的最大值为方式一：‎ ‎【考点】把实际问题转化为三角函数求最值问题.‎