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高科数学专题复习课件:第二章 2_8函数与方程
§2.8 函数与方程 基础知识 自主学习 课时作业 题型分 类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 (1) 函数零点的定义 对于函数 y = f ( x )( x ∈ D ) ,把 使 的 实数 x 叫做函数 y = f ( x )( x ∈ D ) 的零点 . (2) 几个等价关系 方程 f ( x ) = 0 有实数根 ⇔ 函数 y = f ( x ) 的图象 与 有 交点 ⇔ 函数 y = f ( x ) 有 . (3) 函数零点的判定 ( 零点存在性定理 ) 如果函数 y = f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且 有 , 那么,函数 y = f ( x ) 在 区间 内 有零点,即存在 c ∈ ( a , b ) , 使得 ,这个 也就是 方程 f ( x ) = 0 的根 . 1. 函数的零点 知识梳理 f ( x ) = 0 x 轴 零点 f ( a )· f ( b )<0 ( a , b ) f ( c ) = 0 c 对于在区间 [ a , b ] 上连续不断 且 的 函数 y = f ( x ) ,通过不断地把函数 f ( x ) 的零点所在的 区间 , 使区间的两个端点逐步 逼近 , 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 . 2. 二分法 f ( a )· f ( b )<0 一分为二 零点 3. 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a >0) 的图象与零点的关系 Δ >0 Δ = 0 Δ <0 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a >0) 的图象 与 x 轴的交点 无交点 零点个数 ( x 1 ,0) , ( x 2 ,0) ( x 1 ,0) 2 1 0 1. 有关函数零点的结论 (1) 若连续不断的函数 f ( x ) 在定义域上是单调函数,则 f ( x ) 至多有一个零点 . (2) 连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 . (3) 连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号 . 2. 三个等价关系 方程 f ( x ) = 0 有实数根 ⇔ 函数 y = f ( x ) 的图象与 x 轴有交点 ⇔ 函数 y = f ( x ) 有零点 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点 .( ) (2) 函数 y = f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内有零点 ( 函数图象连续不断 ) ,则 f ( a )· f ( b )<0.( ) (3) 只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值 .( ) (4) 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 在 b 2 - 4 ac <0 时没有零点 .( ) (5) 若函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 上单调且 f ( a )· f ( b )<0 ,则函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有且只有一个零点 .( ) 思考辨析 × × × √ √ 1.( 教材改编 ) 函数 的 零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 考点自测 答案 解析 f ( x ) 是增函数,又 f (0) =- 1 , f (1) = , ∴ f (0) f (1)<0 , ∴ f ( x ) 有且只有一个零点 . 2. 下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 A. y = cos x B. y = sin x C. y = ln x D. y = x 2 + 1 答案 解析 由于 y = sin x 是奇函数; y = ln x 是非奇非偶函数; y = x 2 + 1 是偶函数但没有零点; 只有 y = cos x 是偶函数又有零点 . 3.(2016· 吉林长春检测 ) 函数 f ( x ) = ln x + x - - 2 的零点所在的区间是 A .( , 1) B.( 1,2) C .(2 , e) D.(e,3) 答案 解析 所以 f (2) f (e)<0 , 4. 函数 f ( x ) = 2 x |log 0.5 x | - 1 的零点个数为 ________. 答案 解析 2 由图象知两函数图象有 2 个交点, 故函数 f ( x ) 有 2 个零点 . 5. 函数 f ( x ) = ax + 1 - 2 a 在区间 ( - 1,1) 上存在一个零点,则实数 a 的 取值 范围 是 ________. 答案 解析 ∵ 函数 f ( x ) 的图象为直线,由题意可得 f ( - 1) f (1)<0 , 题型分类 深度剖析 题型一 函数零点的确定 命题点 1 确定函数零点所在区间 例 1 (1)( 2017· 长沙调研 ) 已知函数 f ( x ) = ln x - 的 零点为 x 0 ,则 x 0 所在的区间是 A.(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4) 答案 解析 ∴ x 0 ∈ (2,3) ,故选 C. (2)(2016· 济南模拟 ) 设函数 y = x 3 与 y = ( ) x - 2 的图象的交点为 ( x 0 , y 0 ) ,若 x 0 ∈ ( n , n + 1) , n ∈ N ,则 x 0 所在的区间是 ________. 答案 解析 (1,2) 易知 f ( x ) 为增函数,且 f (1)<0 , f (2)>0 , ∴ x 0 所在的区间是 (1,2). 命题点 2 函数零点个数的判断 答案 解析 例 2 (1) 函数 f ( x ) = 的 零点个数是 ____. 2 当 x ≤ 0 时,令 x 2 - 2 = 0 ,解得 x = ( 正根舍去 ) , 所以在 ( - ∞ , 0] 上有一个零点; 当 x >0 时, f ′ ( x ) = 2 + > 0 恒成立, 所以 f ( x ) 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函数 . 又因为 f (2) =- 2 + ln 2<0 , f (3) = ln 3>0 , 所以 f ( x ) 在 (0 ,+ ∞ ) 上有一个零点, 综上,函数 f ( x ) 的零点个数为 2. (2) 若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2) = f ( x ) ,当 x ∈ [0,1] 时, f ( x ) = x ,则函数 y = f ( x ) - log 3 | x | 的零点个数是 A. 多于 4 B.4 C.3 D.2 答案 解析 由题意知, f ( x ) 是周期为 2 的偶函数 . 在同一坐标系内作出函数 y = f ( x ) 及 y = log 3 | x | 的图象 , 如 图, 观察图象可以发现它们有 4 个交点, 即函数 y = f ( x ) - log 3 | x | 有 4 个零点 . 思维 升华 (1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法 . ( 2) 判断函数零点个数的方法: ① 解方程法; ② 零点存在性定理、结合函数的性质; ③ 数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数 . 跟踪训练 1 (1) 已知函数 f ( x ) = - log 2 x ,在下列区间中,包含 f ( x ) 零点的区间是 A.(0,1) B .( 1,2) C .(2,4) D .(4 ,+ ∞ ) 答案 解析 因为 f (1) = 6 - log 2 1 = 6>0 , f (2) = 3 - log 2 2 = 2>0 , 所以函数 f ( x ) 的零点所在区间为 (2,4). (2) 函数 f ( x ) = x cos x 2 在区间 [0,4] 上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 答案 解析 由 f ( x ) = x cos x 2 = 0 ,得 x = 0 或 cos x 2 = 0. 又 x ∈ [0,4] ,所以 x 2 ∈ [0,16]. 由于 cos ( + k π) = 0( k ∈ Z ) , 而 在 + k π( k ∈ Z ) 的所有取值中, 故零点个数为 1 + 5 = 6. 题型二 函数零点的应用 例 3 (1) 函数 f ( x ) = 2 x - - a 的一个零点在区间 (1,2) 内,则实数 a 的取值范围是 A.(1,3) B .( 1,2) C .(0,3) D.(0,2) 答案 解析 因为函数 f ( x ) = 2 x - - a 在区间 (1,2) 上单调递增, 又函数 f ( x ) = 2 x - - a 的一个零点在区间 (1,2) 内,则有 f (1)· f (2)<0 , 所以 ( - a )(4 - 1 - a )<0 ,即 a ( a - 3)<0. 所以 0 < a < 3. (2) 已知函数 f ( x ) = | x 2 + 3 x | , x ∈ R ,若方程 f ( x ) - a | x - 1| = 0 恰有 4 个互异的实数根,则实数 a 的取值范围是 ________________. 答案 解析 (0,1) ∪ (9 ,+ ∞ ) 设 y 1 = f ( x ) = | x 2 + 3 x | , y 2 = a | x - 1| , 在同一直角坐标系中作出 y 1 = | x 2 + 3 x | , y 2 = a | x - 1| 的图象如图所示 . 由图可知 f ( x ) - a | x - 1| = 0 有 4 个互异的实数根等价于 y 1 = | x 2 + 3 x | 与 y 2 = a | x - 1| 的图象有 4 个不同的交点且 4 个交点的横坐标都小于 1 , 消去 y 得 x 2 + (3 - a ) x + a = 0 有两个不等实根, 所以 Δ = (3 - a ) 2 - 4 a >0 ,即 a 2 - 10 a + 9>0 ,解 得 a <1 或 a >9. 又由图象得 a >0 , ∴ 0< a <1 或 a >9. 几何画板展示 引申 探究 本例 (2) 中,若 f ( x ) = a 恰有四个互异的实数根,则 a 的取值范围是 ________. 答案 解析 作出 y 1 = | x 2 + 3 x | , y 2 = a 的图象 如 右 : 当 x = 0 或 x =- 3 时, y 1 = 0 , 思维 升华 已知函数零点情况求参数的步骤及方法 (1) 步骤: ① 判断函数的单调性; ② 利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式 ( 组 ) ; ③ 解不等式 ( 组 ) ,即得参数的取值范围 . (2) 方法:常利用数形结合法 . 跟踪训练 2 (1)(2016· 枣庄模拟 ) 已知函数 f ( x ) = x 2 + x + a ( a <0) 在区间 (0,1) 上有零点,则 a 的取值范围为 ________. 答案 解析 ( - 2,0) ∵ - a = x 2 + x 在 (0,1) 上有解, ∴ 函数 y = x 2 + x , x ∈ (0,1) 的值域为 (0,2) , ∴ 0< - a <2 , ∴ - 2< a <0. (2)(2015· 湖南 ) 若函数 f ( x ) = |2 x - 2| - b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是 ________. 答案 解析 (0,2) 由 f ( x ) = |2 x - 2| - b = 0 ,得 |2 x - 2| = b . 在同一平面直角坐标系中画出 y = |2 x - 2| 与 y = b 的图象,如图所示 . 则 当 0< b <2 时,两函数图象有两个交点 , 从而 函数 f ( x ) = |2 x - 2| - b 有两个零点 . 几何画板展示 题型三 二次函数的零点问题 例 4 已知 f ( x ) = x 2 + ( a 2 - 1) x + ( a - 2) 的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,求实数 a 的取值范围 . 解 答 方法一 设方程 x 2 + ( a 2 - 1) x + ( a - 2) = 0 的两根分别为 x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) ,则 ( x 1 - 1)( x 2 - 1)<0 , ∴ x 1 x 2 - ( x 1 + x 2 ) + 1<0 , 由根与系数的关系,得 ( a - 2) + ( a 2 - 1) + 1<0 , 即 a 2 + a - 2<0 , ∴ - 2< a <1. 方法二 函数图象大致如图,则有 f (1)<0 , 即 1 + ( a 2 - 1) + a - 2<0 , ∴ - 2< a <1. 故实数 a 的取值范围是 ( - 2,1). 思维 升华 解决与二次函数有关的零点问题 : ( 1 ) 利用 一元二次方程的求根公式 ; ( 2 ) 利 用 一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系 ; ( 3) 利用二次函数的图象列不等式组 . 跟踪训练 3 (2016· 临沂一模 ) 若函数 f ( x ) = ( m - 2) x 2 + mx + (2 m + 1) 的 两 个 零点分别在区间 ( - 1,0) 和区间 (1,2) 内,则 m 的取值范围是 _______. 答案 解析 典例 (1) 若函数 f ( x ) = a x - x - a ( a >0 且 a ≠ 1) 有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ________. (2) 若关于 x 的方程 2 2 x + 2 x a + a + 1 = 0 有实根,则实数 a 的取值范围为 ___________ ____ _. (1 ,+ ∞ ) 利用 转化思想求解函数零点问题 思想与方法系列 4 答案 解析 思想方法指 导 (1) 函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围 . (2) “ a = f ( x ) 有解 ” 型问题,可以通过求函数 y = f ( x ) 的值域解决 . 几何画板展示 (1) 函数 f ( x ) = a x - x - a ( a >0 且 a ≠ 1) 有两个零点 , 即 方程 a x - x - a = 0 有两个根 , 即 函数 y = a x 与函数 y = x + a 的图象有两个交点 . 当 0< a <1 时,图象如图 ① 所示,此时只有一个交点 . 当 a >1 时,图象如图 ② 所示,此时有两个交点 . ∴ 实数 a 的取值范围为 (1 ,+ ∞ ). 返回 课时作业 1. 设 f ( x ) = ln x + x - 2 ,则函数 f ( x ) 的零点所在的区间为 A.(0,1) B .( 1,2) C .(2,3) D .(3,4) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 ∵ f (1) = ln 1 + 1 - 2 =- 1<0 , f (2) = ln 2>0 , ∴ f (1)· f (2)<0 , ∵ 函数 f ( x ) = ln x + x - 2 的图象是连续的, ∴ f ( x ) 的零点所在的区间是 (1,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2016· 潍坊模拟 ) 已知 函数 则 函数 f ( x ) 的零点为 √ 当 x ≤ 1 时,由 f ( x ) = 2 x - 1 = 0 ,解得 x = 0 ; 又因为 x >1 ,所以此时方程无解 . 综上,函数 f ( x ) 的零点只有 0 ,故选 D. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 已知三个函数 f ( x ) = 2 x + x , g ( x ) = x - 2 , h ( x ) = log 2 x + x 的零点依次为 a , b , c ,则 A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. c < a < b √ 答案 解析 故 f ( x ) = 2 x + x 的零点 a ∈ ( - 1,0). ∵ g (2) = 0 , ∴ g ( x ) 的零点 b = 2 ; 方法二 由 f ( x ) = 0 得 2 x =- x ; 由 h ( x ) = 0 得 log 2 x =- x ,作出函数 y = 2 x , y = log 2 x 和 y =- x 的图象 ( 如图 ). 由图象易知 a <0,0< c <1 ,而 b = 2 ,故 a < c < b . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 方程 | x 2 - 2 x | = a 2 + 1( a >0) 的解的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 答案 解析 ( 数形结合法 ) ∵ a >0 , ∴ a 2 + 1>1. 而 y = | x 2 - 2 x | 的图象如图, ∴ y = | x 2 - 2 x | 的图象与 y = a 2 + 1 的图象总有两个交点 . 5. 已知 函数 则 使方程 x + f ( x ) = m 有解的实数 m 的取值范围是 A.(1,2) B .( - ∞ ,- 2] C.( - ∞ , 1) ∪ (2 ,+ ∞ ) D .( - ∞ , 1] ∪ [2 ,+ ∞ ) √ 答案 解析 当 x ≤ 0 时, x + f ( x ) = m ,即 x + 1 = m ,解得 m ≤ 1 ; 当 x >0 时, x + f ( x ) = m ,即 x + = m ,解得 m ≥ 2 , 即实数 m 的取值范围是 ( - ∞ , 1] ∪ [2 ,+ ∞ ). 故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 已知 x ∈ R ,符号 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ( x ) = - a ( x ≠ 0 ) 有 且仅有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是 ________________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 若函数 f ( x ) = x 2 + ax + b 的两个零点是- 2 和 3 ,则不等式 af ( - 2 x )>0 的 解集是 ___________. 答案 解析 ∵ f ( x ) = x 2 + ax + b 的两个零点是- 2,3. ∴ - 2,3 是方程 x 2 + ax + b = 0 的两根, ∴ f ( x ) = x 2 - x - 6. ∵ 不等式 af ( - 2 x )>0 ,即 - (4 x 2 + 2 x - 6)>0 ⇔ 2 x 2 + x - 3<0 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 已知 函数 若 存在实数 b ,使函数 g ( x ) = f ( x ) - b 有两个零点,则 a 的取值范围是 _______________ ____ _. 答案 解析 ( - ∞ , 0) ∪ (1 ,+ ∞ ) 令 φ ( x ) = x 3 ( x ≤ a ) , h ( x ) = x 2 ( x > a ) ,函数 g ( x ) = f ( x ) - b 有两个零点, 即函数 y = f ( x ) 的图象与直线 y = b 有两个交点, 结合图象 ( 图略 ) 可得 a <0 或 φ ( a )> h ( a ) ,即 a <0 或 a 3 > a 2 , 解得 a <0 或 a >1 ,故 a ∈ ( - ∞ , 0) ∪ (1 ,+ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 因为函数 f ( x ) 在 R 上单调递减, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *10.(2016· 衡水期中 ) 若 a >1 ,设函数 f ( x ) = a x + x - 4 的零点为 m ,函数 g ( x ) = log a x + x - 4 的零点为 n , 则 的 最小值为 ______. 答案 解析 1 设 F ( x ) = a x , G ( x ) = log a x , h ( x ) = 4 - x , 则 h ( x ) 与 F ( x ) , G ( x ) 的交点 A , B 横坐标分别为 m , n ( m >0 , n >0). 因为 F ( x ) 与 G ( x ) 关于直线 y = x 对称, 所以 A , B 两点关于直线 y = x 对称 . 又因为 y = x 和 h ( x ) = 4 - x 交点的横坐标为 2 , 所以 m + n = 4 . 又 m >0 , n >0 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (1) 作出函数 f ( x ) 的图象; 如图所示 . 故 f ( x ) 在 (0,1] 上是减函数,而在 (1 ,+ ∞ ) 上是增函数 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 若方程 f ( x ) = m 有两个不相等的正根,求 m 的取值范围 . 解答 由函数 f ( x ) 的图象可知, 当 0< m <1 时,方程 f ( x ) = m 有两个不相等的正根 . 12. 关于 x 的二次方程 x 2 + ( m - 1) x + 1 = 0 在区间 [0,2] 上有解,求实数 m 的取值范围 . 解答 显然 x = 0 不是方程 x 2 + ( m - 1) x + 1 = 0 的解 , 0< x ≤ 2 时,方程可变形为 1 - m = x + , 又 ∵ y = x + 在 (0,1] 上单调递减 , 在 [ 1,2] 上单调递增, ∴ y = x + 在 (0,2] 上的取值范围是 [2 ,+ ∞ ) , ∴ 1 - m ≥ 2 , ∴ m ≤ - 1 , 故 m 的取值范围是 ( - ∞ ,- 1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 已知二次函数 f ( x ) 的最小值为- 4 ,关于 x 的不等式 f ( x ) ≤ 0 的解集为 { x | - 1 ≤ x ≤ 3 , x ∈ R }. (1) 求函数 f ( x ) 的解析式; 解 答 ∵ f ( x ) 是二次函数且关于 x 的不等式 f ( x ) ≤ 0 的解集为 { x | - 1 ≤ x ≤ 3 , x ∈ R } , ∴ 设 f ( x ) = a ( x + 1)( x - 3) = ax 2 - 2 ax - 3 a 且 a >0. 又 ∵ a >0 , f ( x ) = a [ ( x - 1) 2 - 4 ] ≥ - 4 ,且 f (1) =- 4 a , ∴ f ( x ) min =- 4 a =- 4 , a = 1. 故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) = x 2 - 2 x - 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 令 g ′ ( x ) = 0 ,得 x 1 = 1 , x 2 = 3. 当 x 变化时, g ′ ( x ) , g ( x ) 的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,3) 3 (3 ,+ ∞ ) g ′ ( x ) + 0 - 0 + g ( x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当 0< x ≤ 3 时, g ( x ) ≤ g (1) =- 4<0 , g ( x ) 在 (3 ,+ ∞ ) 上单调递增, g (3) =- 4ln 3<0 ,取 x = e 5 >3 , 故函数 g ( x ) 只有 1 个零点且零点 x 0 ∈ (3 , e 5 ).查看更多