高科数学专题复习课件:第十四章 14_2 第1课时不等式选讲

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高科数学专题复习课件:第十四章 14_2 第1课时不等式选讲

§14.2   不等式选讲 第 1 课时 绝对值不等式 基础知识   自主学习 课时作业 题型分 类  深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 (1) 含绝对值的不等式 | x |< a 与 | x |> a 的解集: 1. 绝对值不等式的解法 知识梳理 不等式 a >0 a = 0 a <0 | x |< a ____________ ∅ ∅ | x |> a ( - ∞ ,- a ) ∪ ( a ,+ ∞ ) ( - ∞ , 0) ∪ (0 ,+ ∞ ) R ( - a , a ) (2)| ax + b | ≤ c ( c >0) 和 | ax + b | ≥ c ( c >0) 型不等式的解法: ① | ax + b | ≤ c ⇔ ; ② | ax + b | ≥ c ⇔ ; (3)| x - a | + | x - b | ≥ c ( c >0) 和 | x - a | + | x - b | ≤ c ( c >0) 型不等式的解法: ① 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ② 利用 “ 零点分段法 ” 求解,体现了分类讨论的思想; ③ 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想 . - c ≤ ax + b ≤ c ax + b ≥ c 或 ax + b ≤ - c 2. 含有绝对值的不等式的性质 (1) 如果 a , b 是实数, 则 ≤ | a ± b | ≤ ,当且仅当 时 ,等号成立 . (2) 如果 a , b , c 是实数, 那么 ,当且仅当 时 ,等号成立 . | a | - | b | | a | + | b | ab ≥ 0 | a - c | ≤ | a - b | + | b - c | ( a - b )( b - c ) ≥ 0 1.(2015· 山东改编 ) 解不等式 | x - 1| - | x - 5|<2 的解集 . 考点自测 解答 ① 当 x ≤ 1 时,原不等式可化为 1 - x - (5 - x )<2 , ∴ - 4<2 ,不等式恒成立, ∴ x ≤ 1. ② 当 1< x <5 时,原不等式可化为 x - 1 - (5 - x )<2 , ∴ x <4 , ∴ 1< x <4 , ③ 当 x ≥ 5 时,原不等式可化为 x - 1 - ( x - 5)<2 ,该不等式不成立 . 综上,原不等式的解集为 ( - ∞ , 4). 解答 2. 若存在实数 x 使 | x - a | + | x - 1| ≤ 3 成立,求实数 a 的取值范围 . ∵ | x - a | + | x - 1| ≥ |( x - a ) - ( x - 1)| = | a - 1| , 要使 | x - a | + | x - 1| ≤ 3 有解, 可使 | a - 1| ≤ 3 , ∴ - 3 ≤ a - 1 ≤ 3 , ∴ - 2 ≤ a ≤ 4. 3. 若不等式 |2 x - 1| + | x + 2| ≥ a 2 + a + 2 对任意实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围 . 解答 设 y = |2 x - 1| + | x + 2| 当 x < - 2 时, y =- 3 x - 1>5 ; 题型分类 深度剖析 题型一 绝对值不等式的解法 例 1   (2015· 课标全国 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) = | x + 1| - 2| x - a | , a >0. (1) 当 a = 1 时,求不等式 f ( x )>1 的解集; 解答 当 a = 1 时, f ( x )>1 化为 | x + 1| - 2| x - 1| - 1>0. 当 x ≤ - 1 时,不等式化为 x - 4>0 ,无解; 当 x ≥ 1 时,不等式化为- x + 2>0 ,解得 1 ≤ x <2. (2) 若 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6 ,求 a 的取值范围 . 解答 所以 a 的取值范围为 (2 ,+ ∞ ). 思维 升华 解绝对值不等式的基本方法有: (1) 利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通 不等式 . ( 2) 当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通 不等式 . ( 3) 利用绝对值的几何意义,数形结合求解 . 跟踪训练 1   (1) 解不等式 | x - 1| + | x + 2| ≥ 5 的解集 . 解答 当 x < - 2 时,不等式等价于- ( x - 1) - ( x + 2) ≥ 5 ,解得 x ≤ - 3 ; 当- 2 ≤ x <1 时,不等式等价于- ( x - 1) + ( x + 2) ≥ 5 ,即 3 ≥ 5 ,无解; 当 x ≥ 1 时,不等式等价于 x - 1 + x + 2 ≥ 5 ,解得 x ≥ 2. 综上,不等式的解集为 { x | x ≤ - 3 或 x ≥ 2}. ∵ | ax - 2|<3 , ∴ - 1< ax <5. 解答 当 a = 0 时, x ∈ R ,与已知条件不符; 题型二 利用绝对值不等式求最值 例 2   (1) 对任意 x , y ∈ R ,求 | x - 1| + | x | + | y - 1| + | y + 1| 的最小值 . 解答 ∵ x , y ∈ R , ∴ | x - 1| + | x | ≥ |( x - 1) - x | = 1 , | y - 1| + | y + 1| ≥ |( y - 1) - ( y + 1)| = 2 , ∴ | x - 1| + | x | + | y - 1| + | y + 1| ≥ 1 + 2 = 3. ∴ | x - 1| + | x | + | y - 1| + | y + 1| 的最小值为 3. (2) 对于实数 x , y ,若 | x - 1| ≤ 1 , | y - 2| ≤ 1 ,求 | x - 2 y + 1| 的最大值 . 解答 | x - 2 y + 1| = |( x - 1) - 2( y - 1)| ≤ | x - 1| + |2( y - 2) + 2| ≤ 1 + 2| y - 2| + 2 ≤ 5 ,即 | x - 2 y + 1| 的最大值为 5. 思维 升华 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种 : ( 1) 利用绝对值的几何意义 ; ( 2) 利用绝对值三角不等式,即 | a | + | b | ≥ | a ± b | ≥ | a | - | b | ; ( 3) 利用零点分区间法 . 跟踪训练 2   (1)(2016· 深圳模拟 ) 若关于 x 的不等式 |2 014 - x | + |2 015 - x | ≤ d 有解,求 d 的取值范围 . ∵ |2 014 - x | + |2 015 - x | ≥ |2 014 - x - 2 015 + x | = 1 , ∴ 关于 x 的不等式 |2 014 - x | + |2 015 - x | ≤ d 有解时, d ≥ 1. 解答 又 ∵ sin y 的最大值为 1 , 有 | a - 2| ≤ 1 ,解得 a ∈ [ 1,3 ]. 解答 题型三 绝对值不等式的综合应用 例 3   ( 2017· 石家庄 调研 ) 设函数 f ( x ) = | x - 3| - | x + 1| , x ∈ R . (1) 解不等式 f ( x )< - 1 ; 解答 ∵ 函数 f ( x ) = | x - 3| - | x + 1| (2) 设函数 g ( x ) = | x + a | - 4 ,且 g ( x ) ≤ f ( x ) 在 x ∈ [ - 2,2 ] 上恒成立,求实数 a 的取值范围 . 解答 函数 g ( x ) ≤ f ( x ) 在 x ∈ [ - 2,2 ] 上恒成立, 即 | x + a | - 4 ≤ | x - 3| - | x + 1| 在 x ∈ [ - 2,2 ] 上恒成立 , 在 同一个坐标系中画出函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象 , 如 图所示 . 故当 x ∈ [ - 2,2 ] 时,若 0 ≤ - a ≤ 4 时 , 则 函数 g ( x ) 在函数 f ( x ) 的图象的下方 , g ( x ) ≤ f ( x ) 在 x ∈ [ - 2,2 ] 上恒成立, 求得- 4 ≤ a ≤ 0 ,故所求的实数 a 的取值范围为 [ - 4,0 ]. 思维 升华 (1) 解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值,化为分段函数来解决 . ( 2) 数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法 . 跟踪训练 3   已知函数 f ( x ) = | x + a | + | x - 2|. 解答 (1) 当 a =- 3 时,求不等式 f ( x ) ≥ 3 的解集; 当 x ≤ 2 时,由 f ( x ) ≥ 3 得- 2 x + 5 ≥ 3 ,解得 x ≤ 1 ; 当 2< x <3 时, f ( x ) ≥ 3 无解; 当 x ≥ 3 时,由 f ( x ) ≥ 3 得 2 x - 5 ≥ 3 ,解得 x ≥ 4. 所以 f ( x ) ≥ 3 的解集为 { x | x ≤ 1 或 x ≥ 4}. (2) 若 f ( x ) ≤ | x - 4| 的解集包含 [1,2] ,求 a 的取值范围 . 解答 f ( x ) ≤ | x - 4| ⇔ | x - 4| - | x - 2| ≥ | x + a |. 当 x ∈ [ 1,2 ] 时, | x - 4| - | x - 2| ≥ | x + a | ⇔ 4 - x - (2 - x ) ≥ | x + a | ⇔ - 2 - a ≤ x ≤ 2 - a . 由条件得- 2 - a ≤ 1 且 2 - a ≥ 2 ,即- 3 ≤ a ≤ 0. 故满足条件的 a 的取值范围为 [ - 3,0 ] . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. 在实数范围内,求不等式 || x - 2| - 1| ≤ 1 的解集 . 解答 由 || x - 2| - 1| ≤ 1 得- 1 ≤ | x - 2| - 1 ≤ 1 , ∴ 不等式的解集为 [ 0,4 ]. 2. 不等式 log 3 (| x - 4| + | x + 5|)> a 对于一切 x ∈ R 恒成立,求实数 a 的取值范围 . 解答 由绝对值的几何意义知: | x - 4| + | x + 5| ≥ 9 ,则 log 3 (| x - 4| + | x + 5|) ≥ 2 ,所以要使不等式 log 3 (| x - 4| + | x + 5|)> a 对于一切 x ∈ R 恒成立,则需 a <2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 对于任意实数 a , b ,已知 | a - b | ≤ 1 , |2 a - 1| ≤ 1 ,且恒有 |4 a - 3 b + 2| ≤ m ,求实数 m 的取值范围 . 解答 因为 | a - b | ≤ 1 , |2 a - 1| ≤ 1 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即 |4 a - 3 b + 2| 的最大值为 6 , 所以 m ≥ |4 a - 3 b + 2| max = 6. 由题意,可得不等式 | x - 3| + | x - 7| - m >0 恒成立 , 即 (| x - 3| + | x - 7|) min > m , 由于 x 轴上的点到点 (3,0) 和点 (7,0) 的距离之和的最小值为 4 , 所以 要使不等式恒成立,则 m <4. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 已知 f ( x ) = | x - 3| , g ( x ) =- | x - 7| + m ,若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x ) 图象的上方,求 m 的取值范围 . 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即 |2 x + y - 4| < a . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 已知关于 x 的不等式 |2 x - m | ≤ 1 的整数解有且仅有一个值为 2 ,求关于 x 的不等式 | x - 1| + | x - 3| ≥ m 的解集 . 解答 ∵ 不等式的整数解为 2 , 再由不等式仅有一个整数解 2 , ∴ m = 4. 本题即解不等式 | x - 1| + | x - 3| ≥ 4 , 当 x <1 时,不等式等价于 1 - x + 3 - x ≥ 4 , 解得 x ≤ 0 ,不等式解集为 { x | x ≤ 0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当 1 ≤ x ≤ 3 时,不等式等价于 x - 1 + 3 - x ≥ 4 , 当 x >3 时,不等式等价于 x - 1 + x - 3 ≥ 4 , 解得 x ≥ 4 ,不等式解集为 { x | x ≥ 4}. 综上,原不等式解集为 ( - ∞ , 0] ∪ [4 ,+ ∞ ). 解得 x ∈ ∅ ,不等式解集为 ∅ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 已知函数 f ( x ) = | x + 1| - |2 x - 3|. (1) 在图中画出 y = f ( x ) 的图象; 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y = f ( x ) 的图象如图所示 . (2) 求不等式 | f ( x )|>1 的解集 . 解答 由 f ( x ) 的表达式及图象,当 f ( x ) = 1 时,可得 x = 1 或 x = 3 ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 已知函数 f ( x ) = | x + 3| - | x - 2|. (1) 求不等式 f ( x ) ≥ 3 的解集; f ( x ) = | x + 3| - | x - 2| ≥ 3 , 当 x ≥ 2 时,有 x + 3 - ( x - 2) ≥ 3 ,解得 x ≥ 2 ; 当 x ≤ - 3 时,- x - 3 + ( x - 2) ≥ 3 ,解得 x ∈ ∅ ; 当- 3< x <2 时,有 2 x + 1 ≥ 3 ,解得 1 ≤ x <2. 综上, f ( x ) ≥ 3 的解集为 { x | x ≥ 1}. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 若 f ( x ) ≥ | a - 4| 有解,求 a 的取值范围 . 由绝对值不等式的性质可得, || x + 3| - | x - 2|| ≤ |( x + 3) - ( x - 2)| = 5 , 则有- 5 ≤ | x + 3| - | x - 2| ≤ 5. 若 f ( x ) ≥ | a - 4| 有解,则 | a - 4| ≤ 5 , 解得- 1 ≤ a ≤ 9. 所以 a 的取值范围是 [ - 1,9 ]. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.(2016· 全国丙卷 ) 已知函数 f ( x ) = |2 x - a | + a . (1) 当 a = 2 时,求不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集; 当 a = 2 时, f ( x ) = |2 x - 2| + 2. 解不等式 |2 x - 2| + 2 ≤ 6 得- 1 ≤ x ≤ 3. 因此 f ( x ) ≤ 6 的解集为 { x | - 1 ≤ x ≤ 3}. 解答 (2) 设函数 g ( x ) = |2 x - 1|. 当 x ∈ R 时, f ( x ) + g ( x ) ≥ 3 ,求 a 的取值范围 . 当 x ∈ R 时, f ( x ) + g ( x ) = |2 x - a | + a + |1 - 2 x | ≥ |2 x - a + 1 - 2 x | + a = |1 - a | + a , 所以当 x ∈ R 时, f ( x ) + g ( x ) ≥ 3 等价于 |1 - a | + a ≥ 3 . ① 当 a ≤ 1 时, ① 等价于 1 - a + a ≥ 3 ,无解 . 当 a > 1 时, ① 等价于 a - 1 + a ≥ 3 ,解得 a ≥ 2. 所以 a 的取值范围是 [2 ,+ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 已知函数 f ( x ) = |2 x - 1| + |2 x + a | , g ( x ) = x + 3. (1) 当 a =- 2 时,求不等式 f ( x )< g ( x ) 的解集; 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当 a =- 2 时,不等式 f ( x )< g ( x ) 化为 |2 x - 1| + |2 x - 2| - x - 3<0. 设函数 y = |2 x - 1| + |2 x - 2| - x - 3 , 其图象如图所示,由图象可知,当且仅当 x ∈ (0,2) 时, y <0 , ∴ 原不等式的解集是 { x |0< x <2}. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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