高科数学专题复习课件:第二章 2_5指数与指数函数

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高科数学专题复习课件:第二章 2_5指数与指数函数

§2.5   指数与指数函数 基础知识   自主学习 课时作业 题型分 类  深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 (1) 我们规定正数的正分数指数幂的意义是 = ( a >0 , m , n ∈ N * ,且 n >1). 于是,在条件 a >0 , m , n ∈ N * ,且 n >1 下,根式都可以写成分数指数幂的形式 . 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿 , 我们 规定 = ( a >0 , m , n ∈ N * ,且 n >1).0 的正分数指数幂 等于 ; 0 的 负分数指数 幂 . (2) 有理数指数幂的运算性质: a r a s = , ( a r ) s = , ( ab ) r = , 其中 a >0 , b >0 , r , s ∈ Q . 1. 分数指数幂 知识梳理 0 没有意义 a r + s a rs a r b r 2. 指数函数的图象与性质 y = a x a >1 0< a <1 图象 定义域 ( 1) 值域 (2 ) R (0 ,+ ∞ ) 几何画板展示 性质 (3) 过 定点 (4) 当 x >0 时 , ; 当 x <0 时 , (5) 当 x >0 时 , ; 当 x <0 时 , (6) 在 ( - ∞ ,+ ∞ ) 上 是 ______ (7) 在 ( - ∞ ,+ ∞ ) 上 是 ________ (0,1) y >1 0< y <1 0< y <1 y >1 增函数 减函数 1. 指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y = a x ( a >0 ,且 a ≠ 1) 的图象,应抓住三个关键点: (1 , a ) , (0,1) , ( - 1 , ). 2. 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数 (1) y = a x , (2) y = b x , (3) y = c x , ( 4) y = d x 的图象,底数 a , b , c , d 与 1 之间的大小关系为 c > d >1> a > b . 由此我们可得到以下规律:在第一 象限内, 指数函数 y = a x ( a >0 ,且 a ≠ 1) 的图象越高,底数越大 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) 思考辨析 × (2) 分数指数幂 可以 理解 为 个 a 相乘 .(    ) × (3) (    ) × (4) 函数 y = a - x 是 R 上的增函数 .(    ) (5) 函数 ( a >1) 的值域是 (0 ,+ ∞ ).(    ) (6) 函数 y = 2 x - 1 是指数函数 .(    ) × × × 1.( 教材改编 ) 若函数 f ( x ) = a x ( a >0 , 且 a ≠ 1) 的图象经过点 P (2 , ) ,则 f ( - 1) 等于 考点自测 答案 解析 2.( 2017· 青岛 调研 ) 已知函数 f ( x ) = a x - 2 + 2 的图象恒过定点 A ,则 A 的坐标为 A.(0,1) B.( 2,3) C .(3,2) D .(2,2) 答案 解析 由 a 0 = 1 知,当 x - 2 = 0 ,即 x = 2 时, f (2) = 3 ,即图象必过定点 (2,3). 3. 已知 则 a , b , c 的大小关系 是 A. c < a < b B. a < b < c C. b < a < c D. c < b < a 答案 解析 即 a > b >1 , 又 ∴ c < b < a . 4. 计算 : = ________. 答案 解析 2 原式= 5. 函数 y = 8 - 2 3 - x ( x ≥ 0) 的值域是 ________. 答案 解析 [0,8) ∵ x ≥ 0 , ∴ - x ≤ 0 , ∴ 3 - x ≤ 3 , ∴ 0<2 3 - x ≤ 2 3 = 8 , ∴ 0 ≤ 8 - 2 3 - x <8 , ∴ 函数 y = 8 - 2 3 - x 的值域为 [0,8). 题型分类 深度剖析 题型一 指数幂的运算 例 1   化简下列各式: 解 答 原式= 原式= 解 答 思维 升华 (1) 指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意 : ① 必须同底数幂相乘,指数才能相加 ; ② 运算的先后顺序 . (2) 当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数 . (3) 运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数 . 跟踪训练 1  化简 = ________. 答案 解析 原式= 题型二 指数函数的图象及应用 例 2   (1) 已知实数 a , b 满足等式 2 017 a = 2 018 b ,下列五个关系式 : ① 0< b < a ; ② a < b <0 ; ③ 0< a < b ; ④ b < a <0 ; ⑤ a = b . 其中不可能成立的关系式有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案 解析 如图,观察易知, a , b 的关系为 a < b <0 或 0< b < a 或 a = b = 0. (2) 已知函数 f ( x ) = |2 x - 1| , a < b < c 且 f ( a )> f ( c )> f ( b ) ,则下列结论中,一定成立的 是 A. a <0 , b <0 , c <0 B. a <0 , b ≥ 0 , c >0 C.2 - a <2 c D.2 a + 2 c <2 答案 解析 几何画板展示 作出函数 f ( x ) = |2 x - 1| 的图象,如图 , ∵ a < b < c 且 f ( a )> f ( c )> f ( b ) ,结合图象知, 0< f ( a )<1 , a <0 , c >0 , ∴ 0<2 a <1. ∴ f ( a ) = |2 a - 1| = 1 - 2 a <1 , ∴ f ( c )<1 , ∴ 0< c <1. ∴ 1<2 c <2 , ∴ f ( c ) = |2 c - 1| = 2 c - 1 , 又 ∵ f ( a )> f ( c ) , ∴ 1 - 2 a >2 c - 1 , ∴ 2 a + 2 c <2 ,故选 D . 思维 升华 (1) 已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除 . (2) 对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到 . 特别地,当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论 . (3) 有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解 . 跟踪训练 2   (1) 函数 f ( x ) = a x - b 的图象如图,其中 a , b 为常数,则下列结论正确的 是 A. a >1 , b <0 B. a >1 , b >0 C.0< a <1 , b >0 D.0< a <1 , b <0 答案 解析 由 f ( x ) = a x - b 的图象可以观察出 , 函数 f ( x ) = a x - b 在定义域上单调递减,所以 0< a <1 . 函数 f ( x ) = a x - b 的图象是在 f ( x ) = a x 的基础上向左平移得到的 , 所以 b <0 ,故选 D. (2)(2016· 衡水模拟 ) 若曲线 | y | = 2 x + 1 与直线 y = b 没有公共点,则 b 的取值范围是 ________. 答案 解析 [ - 1,1] 曲线 | y | = 2 x + 1 与直线 y = b 的图象如图所示, 由图象可知 : 如果 | y | = 2 x + 1 与直线 y = b 没有公共点 , 则 b 应满足的条件是 b ∈ [ - 1,1]. 几何画板展示 题型三 指数函数的性质及应用 命题点 1  指数函数单调性的应用 例 3   (1)(2016· 威海模拟 ) 下列各式比较大小正确的 是 A.1.7 2.5 >1.7 3 B.0.6 - 1 >0.6 2 C.0.8 - 0.1 >1.25 0.2 D.1.7 0.3 <0.9 3.1 答案 解析 选项 B 中, ∵ y = 0.6 x 是减函数, ∴ 0.6 - 1 >0.6 2 . 答案 解析 ∴ a > - 3. 又 a <0 , ∴ - 3< a <0. ∴ 0 ≤ a <1 , 综上, a 的取值范围为 ( - 3,1). ( - 3,1) 命题点 2  复合函数的单调性 例 4   (1) 已知函数 f ( x ) = 2 |2 x - m | ( m 为常数 ) ,若 f ( x ) 在区间 [2 ,+ ∞ ) 上是增函数,则 m 的取值范围是 _________. 答案 解析 ( - ∞ , 4] 令 t = |2 x - m | ,则 t = |2 x - m | 在区间 [ ,+ ∞ ) 上单调递增,在区间 ( - ∞ , ] 上单调递减 . 而 y = 2 t 为 R 上的增函数,所以要使函数 f ( x ) = 2 |2 x - m | 在 [2 ,+ ∞ ) 上单调递增,则 有 ≤ 2 ,即 m ≤ 4 , 所以 m 的取值范围是 ( - ∞ , 4]. 几何画板展示 (2) 函数 的 单调减区间为 _________. 答案 解析 设 u =- x 2 + 2 x + 1 , ∵ y = 在 R 上为减函数, ∴ 函数 的 减区间即为函数 u =- x 2 + 2 x + 1 的增区间 . 又 u =- x 2 + 2 x + 1 的增区间为 ( - ∞ , 1] , ∴ f ( x ) 的减区间为 ( - ∞ , 1]. ( - ∞ , 1] 引申探究 函数 f ( x ) = 4 x - 2 x + 1 的单调增区间是 ____ _ _____. 答案 解析 设 t = 2 x ,则 y = t 2 - 2 t 的单调增区间为 [1 ,+ ∞ ) , 令 2 x ≥ 1 ,得 x ≥ 0 , ∴ 函数 f ( x ) = 4 x - 2 x + 1 的单调增区间是 [0 ,+ ∞ ). [0 ,+ ∞ ) 命题点 3  函数的值域 ( 或最值 ) 答案 解析 (2) 如果函数 y = a 2 x + 2 a x - 1( a >0 , 且 a ≠ 1) 在区间 [ - 1,1] 上的最大值是 14 ,则 a 的值为 ________. 答案 解析 令 a x = t ,则 y = a 2 x + 2 a x - 1 = t 2 + 2 t - 1 = ( t + 1) 2 - 2. 所以 y max = ( a + 1) 2 - 2 = 14 ,解得 a = 3( 负值舍去 ). 思维 升华 (1) 在利用指数函数性质解决相关综合问题时,要特别注意底数 a 的取值范围,并在必要时进行分类讨论 ; ( 2) 与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域 ( 最值 ) 、单调性、奇偶性的求解方法,要化归于指数函数来解 . 跟踪训练 3   (1) 已知函数 f ( x ) = 的 值域是 [ - 8,1] ,则实数 a 的取值范围 是 A.( - ∞ ,- 3] B .[ - 3,0) C. [ - 3 ,- 1] D .{ - 3} 答案 解析 当 0 ≤ x ≤ 4 时, f ( x ) ∈ [ - 8,1] , 所以实数 a 的取值范围是 [ - 3,0). 几何画板展示 答案 解析 当 x ≥ 0 时, g ( x ) = f ( x ) = 2 x - 为 单调增函数,所以 g ( x ) ≥ g (0) = 0 ; 当 x <0 时, g ( x ) = f ( - x ) = 2 - x - 为 单调减函数, 所以 g ( x )> g (0) = 0 ,所以函数 g ( x ) 的最小值是 0. 0 典例   (2016· 日照模拟 ) 已知函数 ( a , b 为常数,且 a >0 , a ≠ 1) 在区间 [ , 0] 上有最大值 3 , 最小值 ,则 a , b 的值分别为 ______. 指数函数 底数的讨论 现场纠错系列 2 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题,要对底数进行讨论 . 错解展示 现场纠错 纠错心得 解析  令 t = x 2 + 2 x = ( x + 1) 2 - 1 , 答案   2,2 返回 解析  令 t = x 2 + 2 x = ( x + 1) 2 - 1 , ① 若 a >1 ,函数 f ( x ) = a t 在 [ - 1,0] 上为增函数, ② 若 0< a <1 ,函数 f ( x ) = a t 在 [ - 1,0] 上为减函数, 返回 课时作业 1.(2016· 昆明模拟 ) 设 2 x = 8 y + 1 ,9 y = 3 x - 9 ,则 x + y 的值为 A.18 B.21 C.24 D.27 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 ∵ 2 x = 8 y + 1 = 2 3( y + 1) , ∴ x = 3 y + 3 , ∵ 9 y = 3 x - 9 = 3 2 y , ∴ x - 9 = 2 y , 解得 x = 21 , y = 6 , ∴ x + y = 27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 函数 f ( x ) = 2 | x - 1| 的图象是 答案 解析 √ ∵ | x - 1| ≥ 0 , ∴ f ( x ) ≥ 1 ,排除 C 、 D. 又 x = 1 时, | f ( x )| min = 1 ,排除 A. 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 已知 a = 4 0.2 , b = 0.4 0.2 , c = 0.4 0.8 ,则 A. a > b > c B. a > c > b C. c > a > b D. b > c > a √ 答案 解析 由 0.2<0.8 ,底数 0.4<1 知, y = 0.4 x 在 R 上为减函数 , 所以 0.4 0.2 >0.4 0.8 ,即 b > c . 又 a = 4 0.2 >4 0 = 1 , b = 0.4 0.2 <1 , 所以 a > b . 综上, a > b > c . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 已知 f ( x ) = 3 x - b (2 ≤ x ≤ 4 , b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1) ,则 f ( x ) 的值域为 A. [9,81] B. [ 3,9] C . [1,9] D.[1 ,+ ∞ ) √ 答案 解析 由 f ( x ) 过定点 (2,1) 可知 b = 2 , 因为 f ( x ) = 3 x - 2 在 [2,4] 上是增函数, 所以 f ( x ) min = f (2) = 1 , f ( x ) max = f (4) = 9. 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(2015· 山东 ) 若函数 f ( x ) = 是 奇函数,则使 f ( x ) > 3 成立的 x 的取值范围为 A.( - ∞ ,- 1) B .( - 1,0) C.(0,1) D.( 1 ,+ ∞ ) √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ f ( x ) 为奇函数, ∴ f ( - x ) =- f ( x ) , 当 x >0 时, 2 x - 1>0 , ∴ 2 x + 1>3·2 x - 3 ,解得 0< x <1 ; 当 x <0 时, 2 x - 1<0 , ∴ 2 x + 1<3·2 x - 3 ,无解 . ∴ x 的取值范围为 (0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *6.(2016· 六安综合训练 ) 已知函数 F ( x ) = e x 满足 F ( x ) = g ( x ) + h ( x ) ,且 g ( x ) , h ( x ) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,若 ∀ x ∈ (0,2] 使得不等式 g (2 x ) - ah ( x ) ≥ 0 恒成立,则实数 a 的取值范围 是 √ 答案 解析 因为 F ( x ) = g ( x ) + h ( x ), 且 g ( x ) , h ( x ) 分别是 R 上的偶函数和奇函数, 所以 g ( x ) + h ( x ) = e x , g ( - x ) + h ( - x ) = e - x ,即 g ( x ) - h ( x ) = e - x , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 t = e x - e - x ,则函数 t = e x - e - x 在区间 (0,2] 上单调递增, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.( 2017· 合肥 质检 ) 不等式 的 解集为 ______. 答案 解析 ( - 1,4) 原不等式等价为 又函数 y = 2 x 为增函数, ∴ - x 2 + 2 x > - x - 4 , 即 x 2 - 3 x - 4<0 , ∴ - 1< x <4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 若直线 y = 2 a 与函数 y = | a x - 1|( a >0 且 a ≠ 1) 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 答案 解析 ( 数形结合法 ) 由图象可知 0<2 a <1 , ∴ 0< a < . 9.(2016· 武汉模拟 ) 已知 y = f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数且当 x ≥ 0 时, f ( x ) = , 则此函数的值域为 ________. 答案 解析 ∵ y = f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 当 x ∈ ( - ∞ ,- 1] 时,不等式 ( m 2 - m )·4 x - 2 x <0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ________. 答案 解析 ( - 1,2) 解得- 1< m <2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知函数 f ( x ) = ( ) | x | - a . (1) 求 f ( x ) 的单调区间; 解答 令 t = | x | - a ,则 f ( x ) = ( ) t , 不论 a 取何值, t 在 ( - ∞ , 0] 上单调递减, 在 [0 ,+ ∞ ) 上单调递增, 又 y = ( ) t 是单调递减的, 因此 f ( x ) 的单调递增区间是 ( - ∞ , 0] ,单调 递减区间是 [0 ,+ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若 f ( x ) 的最大值 等于 , 求 a 的值 . 解答 所以 g ( x ) = | x | - a 应该有最小值- 2 ,即 g (0) =- 2 , 从而 a = 2. 12. 已知函数 (1) 若 a =- 1 ,求 f ( x ) 的单调区间; 解答 当 a =- 1 时, 令 t =- x 2 - 4 x + 3 , 由于函数 t =- x 2 - 4 x + 3 在 ( - ∞ ,- 2) 上单调递增, 在 ( - 2 ,+ ∞ ) 上单调递减,而 y = 在 R 上单调递减, 所以 f ( x ) 在 ( - ∞ ,- 2) 上单调递减,在 ( - 2 ,+ ∞ ) 上单调递增, 即函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( - 2 ,+ ∞ ) ,单调 递减区间是 ( - ∞ ,- 2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若 f ( x ) 有最大值 3 ,求 a 的值 . 解答 令 g ( x ) = ax 2 - 4 x + 3 ,则 f ( x ) = , 由于 f ( x ) 有最大值 3 ,所以 g ( x ) 应有最小值- 1 , 即当 f ( x ) 有最大值 3 时, a 的值为 1. (1) 若 λ = , 求函数 f ( x ) 的值域; 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若函数 f ( x ) 的最小值是 1 ,求实数 λ 的值 . 解答 不符合舍去; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ③ 当 λ >2 时, g ( t ) min = g (2) =- 4 λ + 7 ,
查看更多

相关文章

您可能关注的文档