高考数学专题复习课件：10-2 排列与组合

高考数学专题复习课件：10-2 排列与组合

§10.2 　排列与组合 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解排列组合的概念 .2. 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式 .3. 能利用排列组合知识解决简单的实际问题． 1 ．排列与组合的概念 3 ．排列数、组合数的公式及性质 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 所有元素完全相同的两个排列为相同排列． ( 　　 ) (2) 一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序． ( 　　 ) (3) 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 　 (5) √ 　 (6) √ 1 ． ( 教材改编 ) 用数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( 　　 ) A ． 8 　　　　　　　　　　　　 B ． 24 C ． 48 D ． 120 【 解析 】 末位数字排法有 A 种，其他位置排法有 A 种，共有 AA ＝ 48 种． 【 答案 】 C 2 ．某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有 ( 　　 ) A ． 4 种 B ． 10 种 C ． 18 种 D ． 20 种 【 答案 】 B 3 ． (2014· 辽宁 )6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( 　　 ) A ． 144 B ． 120 C ． 72 D ． 24 【 答案 】 D 4 ． ( 教材改编 ) 从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动，其中男女生都有的选法种数为 ________ ． 【 答案 】 30 5 ．某市拟从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目 A 和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法的种数是 ________ ． 【 答案 】 60 题型一　排列问题 【 例 1 】 (1)3 名男生， 4 名女生，选其中 5 人排成一排，则有 ________ 种不同的排法． (2) 将 A ， B ， C ， D ， E ， F 六个字母排成一排，且 A ， B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有 ________ 种 ( 用数字作答 ) ． 【 答案 】 (1)2 520 　 (2)480 【 引申探究 】 1 ．本例 (1) 中将条件 “ 5 人排成一排 ” 改为 “ 排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人 ” ，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 2 ．本例 (1) 中将条件 “ 5 人排成一排 ” 改为 “ 全体站成一排，男、女各站在一起 ” ，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 3 ．本例 (1) 中将条件 “ 5 人排成一排 ” 改为 “ 全体站成一排，男生不能站在一起 ” ，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 4 ．本例 (1) 中将条件 “ 5 人排成一排 ” 改为 “ 全体站成一排，甲不站排头也不站排尾 ” ，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 【 方法规律 】 排列应用问题的分类与解法 (1) 对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2) 对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 跟踪训练 1 用 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 这 6 个数字． (1) 能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2) 能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数 ( 无重复数字 )? 题型二　组合问题 【 例 2 】 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货．现从 35 种商品中选取 3 种． (1) 其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2) 其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3) 恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4) 至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5) 至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 【 方法规律 】 组合问题常有以下两类题型变化： (1) “ 含有 ” 或 “ 不含有 ” 某些元素的组合题型： “ 含 ” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “ 不含 ” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2) “ 至少 ” 或 “ 至多 ” 含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视 “ 至少 ” 与 “ 至多 ” 这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 跟踪训练 2 从 10 位学生中选出 5 人参加数学竞赛． (1) 甲必须入选的有多少种不同的选法？ (2) 甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？ 题型三　排列与组合问题的综合应用 命题点 1 　相邻问题 【 例 3 】 (2017· 济南模拟 ) 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 ( 　　 ) A ． 3 × 3 ！　　　　　　　　　　 B ． 3 × (3 ！ ) 3 C ． (3 ！ ) 4 D ． 9! 【 解析 】 把一家三口看作一个排列，然后再排列这 3 家，所以有 (3 ！ ) 4 种坐法． 【 答案 】 C 命题点 2 　相间问题 【 例 4 】 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目， 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 ( 　　 ) A ． 72 B ． 120 C ． 144 D ． 168 【 答案 】 B 命题点 3 　特殊元素 ( 位置 ) 问题 【 例 5 】 (2014· 四川 ) 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 ( 　　 ) A ． 192 种 B ． 216 种 C ． 240 种 D ． 288 种 【 答案 】 B 【 方法规律 】 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 (1) 相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们 “ 内部 ” 的排列． (2) 相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用． (3) 特殊元素 ( 位置 ) 优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置． (4) 多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数． 【 答案 】 (1)B 　 (2)D 题型四　分组分配问题 分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象． 命题点 1 　整体均分问题 【 例 6 】 (2017· 延安第一次调研 ) 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教，有 ________ 种不同的分派方法． 【 答案 】 90 【 方法规律 】 本题属于整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 A( n 为均分的组数 ) ，避免重复计数． 命题点 2 　局部均分问题 【 例 7 】 将 6 本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人至少 1 本的不同分法共有 ________ 种． ( 用数字作答 ) 【 解析 】 把 6 本不同的书分成 4 组，每组至少 1 本的分法有 2 种． 【 答案 】 1 560 【 方法规律 】 本题属于局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． 命题点 3 　不等分问题 【 例 8 】 若将 6 名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有 ________ 种不同的分法． 【 答案 】 360 【 方法规律 】 本题属于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 易错警示系列 16 排列、组合问题计算重、漏致误 【 典例 】 有 20 个零件，其中 16 个一等品， 4 个二等品，若从 20 个零件中任意取 3 个，那么至少有 1 个一等品的不同取法有 ________ 种． 【 答案 】 1 136 【 温馨提醒 】 (1) 排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素 ( 位置 ) 优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题． (2) “ 至少、至多 ” 型问题不能直接利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解 . ► 方法与技巧 1 ．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1) 以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； (3) 先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 2 ．排列、组合问题的求解方法与技巧： (1) 特殊元素优先安排； (2) 合理分类与准确分步； (3) 排列、组合混合问题先选后排； (4) 相邻问题捆绑处理； (5) 不相邻问题插空处理； (6) 定序问题排除法处理； (7) 分排问题直排处理； (8) “ 小集团 ” 排列问题先整体后局部； (9) 构造模型； (10) 正难则反，等价条件． ► 失误与防范 求解排列与组合问题的三个注意点： (1) 解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理． (2) 解受条件限制的组合题，通常用直接法 ( 合理分类 ) 和间接法 ( 排除法 ) 来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏． (3) 对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题 .