数学卷·2018届黑龙江省牡丹江一中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届黑龙江省牡丹江一中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）‎ ‎2．下面所给图形的方程是图中的曲线方程的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（　　）‎ A．， +，﹣ B．， +，﹣ C．， +，﹣ D． +，﹣， +2‎ ‎4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则D1到平面A1BD的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设F1，F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，则||•||的值等于（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．8‎ ‎6．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎7．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．5 C． D．2‎ ‎8．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使得点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为（　　）‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，2AC=AA1=BC=2．若二面角B1﹣DC﹣C1的大小为60°，则AD的长为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎11．设F1，F为椭圆C1： +=1，（a1＞b1＞0）与双曲线C2的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率e∈[，]，则双曲线C2的离心率的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[，++∞） C．（1，4] D．[，4]‎ ‎12．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（　　）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 ‎　‎ 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知向量=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，m），且∥，则m的值为　　．‎ ‎14．直线y=kx+1（k∈R）与曲线恒有公共点．则非负实数m的取值范围　　．‎ ‎15．给出下列命题：‎ ‎（1）已知两平面的法向量分别为=（0，1，0），=（0，1，1），则两平面所成的二面角为45°或135°；‎ ‎（2）若曲线+=1表示双曲线，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）；‎ ‎（3）已知双曲线方程为x2﹣=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．‎ 其中正确命题的序号是　　．‎ ‎16．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知双曲线C1：﹣=1，（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，若抛物线C2：x2=2py，（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，求抛物线C2的标准方程．‎ ‎18．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．‎ ‎（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．‎ ‎19．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；‎ ‎（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．‎ ‎20．平面直角坐标系中，将曲线（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1．以坐标原点为极点，x的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线C2的方程为ρ=4sinθ，求C1和C2公共弦的长度．‎ ‎21．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，连接EF，A′B．‎ ‎（1）求证：A′D⊥EF；‎ ‎（2）求二面角A′﹣EF﹣D的余弦值．‎ ‎22．已知抛物线x2=2py上点（2，2）处的切线经过椭圆的两个顶点．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为﹣4的直线与该椭圆交于B，C两点，是否存在一点D，使得直线BC恒过该点？若存在，请求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若△ABC的重心为G，当边BC的端点在椭圆E上运动时，求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（　　）‎ A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），‎ ‎∴=1，‎ ‎∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．下面所给图形的方程是图中的曲线方程的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】分析4个方程与图象，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A的方程，表示以原点为圆心，1为半径的圆，不满足题意；‎ B的方程，表示两条直线y=±x，不满足题意；‎ C的方程，表示第一象限的图象，不满足题意；‎ D的方程，根据绝对值的意义，可得满足题意；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（　　）‎ A．， +，﹣ B．， +，﹣ C．， +，﹣ D． +，﹣， +2‎ ‎【考点】空间向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A、B、D三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C中的向量不共面 ‎【解答】解：∵（+）+（﹣）=2，∴， +，﹣共面，不能构成基底，排除 A；‎ ‎∵（+）﹣（﹣）=2，∴， +，﹣共面，不能构成基底，排除 B；‎ ‎∵+2=（+）﹣（﹣），∴， +，﹣， +2共面，不能构成基底，排除 D；‎ 若、+、﹣共面，则=λ（+）+m（﹣）=（λ+m）+（λ﹣m），则、、为共面向量，此与{、、}为空间的一组基底矛盾，故， +，﹣可构成空间向量的一组基底．‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则D1到平面A1BD的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，知，，设面DBA1的法向量，由，知，由向量法能求出D1到平面A1BD的距离．‎ ‎【解答】解：以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，‎ ‎∴D（0，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），D1（0，0，2），‎ ‎∴，，‎ 设面DBA1的法向量，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴D1到平面A1BD的距离d===．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．设F1，F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，则||•||的值等于（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．8‎ ‎【考点】双曲线的应用．‎ ‎【分析】先由已知，得出．再由向量的数量积为0得出直角三角形PF1F2，最后在此直角三角形中利用勾股定理及双曲线的定义列出关于的方程，即可解得||•||的值．‎ ‎【解答】解：由已知，则．‎ 即，‎ 得．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】将其还原成正方体ABCD﹣PQRS，连接SC，AS，可得∠ASC（或其补角）即为所求角．‎ ‎【解答】解：将其还原成正方体ABCD﹣PQRS，连接SC，AS，则PB∥SC，‎ ‎∴∠ACS（或其补角）是PB与AC所成的角 ‎∵△ACS为正三角形，‎ ‎∴∠ACS=60°‎ ‎∴PB与AC所成的角是60°‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．5 C． D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】运用抛物线的定义，设Q到l的距离为d，求出斜率，求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=3，利用|QF|=d可求．‎ ‎【解答】解：设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|QF|=d，‎ ‎∵=4，则Q在PF的延长线上，‎ ‎∴|PQ|=5d，‎ ‎∴直线PF的斜率为﹣=﹣2，‎ ‎∵F（2，0），‎ ‎∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），‎ 与y2=8x联立可得x=3，（由于Q的横坐标大于2）‎ ‎∴|QF|=d=3+2=5，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使得点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为（　　）‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎【考点】轨迹方程；椭圆的定义．‎ ‎【分析】由题意可得，CD是线段AQ的中垂线，PQ+PO=PA+PO=半径R （R＞OQ ），由椭圆的定义可得，点P的轨迹为椭圆．‎ ‎【解答】解：如图所示：由题意可得，CD是线段AQ的中垂线，‎ ‎∴PA=PQ，∴PQ+PO=PA+PO=半径R，‎ 即点P到两个定点O、Q的距离之和等于定长R （R＞OQ ），‎ 由椭圆的定义可得，点P的轨迹为椭圆，‎ 故选 A．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】根据题意得ED∥BF，进而得到直线DE与平面BB1C1C所成的角等于直线BF与平面BB1C1C所成的角．利用几何体的结构特征得到∠FBG=．即可得到答案．‎ ‎【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF．‎ 因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以ED∥BF．‎ 过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得∠FBG即为所求的角．‎ 因为AB=1，AC=2，BC=，所以∠ABC=，∠BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以 ‎∠FBG=∠BCA=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，2AC=AA1=BC=2．若二面角B1﹣DC﹣C1的大小为60°，则AD的长为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】在面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，说明∠B1EC1为二面角B1﹣DC﹣C1的平面角为60°，通过面积求AD的长．‎ ‎【解答】解：∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，‎ ‎∴B1C1⊥A1C1，‎ 又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1，‎ ‎∴B1C1⊥平面ACC1A1．‎ 如图，在面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，‎ 由三垂线定理可知∠B1EC1为二面角B1﹣DC﹣C1的平面角，‎ ‎∴∠B1EC1=60°．‎ 由B1C1=2知，C1E=‎ 设AD=x，则DC=．‎ ‎∵△DCC1的面积为1，‎ ‎∴．． =1，‎ 解得x=‎ 即AD=‎ 故选A ‎　‎ ‎11．设F1，F为椭圆C1： +=1，（a1＞b1＞0）与双曲线C2的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率e∈[，]，则双曲线C2的离心率的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[，++∞） C．（1，4] D．[，4]‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】如图所示，设双曲线C2的离心率为e1，椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，可得﹣2=，利用e∈[，]，即可得出双曲线C2的离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 设双曲线C2的离心率为e1．‎ 椭圆与双曲线的半焦距为c．‎ 由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．‎ 由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，‎ ‎∴﹣2=，‎ ‎∵e∈[，]，∴∈[，]，‎ ‎∴∈[，]．‎ ‎∴e1∈[，4]．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（　　）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=a，方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状．‎ ‎【解答】解：由（+）=0，可得 ‎（+）•（﹣）=0，‎ 即有2﹣2=0，‎ 即|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，‎ 可得∠AOF=45°，‎ 由渐近线方程y=±x，‎ 可得=1，c=a，‎ 则关于x的方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，‎ 即有x1x2=﹣，x1+x2=﹣1，‎ 即有x12+x22=1+2＜4，‎ 可得以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知向量=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，m），且∥，则m的值为　﹣4　．‎ ‎【考点】空间向量运算的坐标表示．‎ ‎【分析】利用向量平行的性质直接求解．‎ ‎【解答】解：∵向量=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，m），且∥，‎ ‎∴，‎ 解得m=﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎　‎ ‎14．直线y=kx+1（k∈R）与曲线恒有公共点．则非负实数m的取值范围　{m|m≥1且m≠5}　．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】由直线y=kx+1恒过（0，1），知要使y=kx+1（k∈R）与曲线恒有公共点，必须（0.1）在椭圆内或椭圆上，所以椭圆中心（0，0）到（0，1）的距离1必须小等于短半轴．由此能求出非负实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵直线y=kx+1恒过（0，1），‎ ‎∴要使y=kx+1（k∈R）与曲线恒有公共点，‎ 必须（0.1）在椭圆内或椭圆上，‎ 所以椭圆中心（0，0）到（0，1）的距离1必须小等于短半轴．‎ 当椭圆焦点在x轴上时，m＜5，且依题意得m≥1，‎ 即1≤m＜5；‎ 当椭圆焦点在y轴上时，‎ m＞5，‎ 因为此时b=，‎ 所以m＞5满足题意 所以m的取值范围是：m≥1且m≠5．‎ 故答案为：{m|m≥1且m≠5}．‎ ‎　‎ ‎15．给出下列命题：‎ ‎（1）已知两平面的法向量分别为=（0，1，0），=（0，1，1），则两平面所成的二面角为45°或135°；‎ ‎（2）若曲线+=1表示双曲线，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）；‎ ‎（3）已知双曲线方程为x2﹣=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．‎ 其中正确命题的序号是　（1）（2）（3）　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】运用向量夹角公式可得两平面所成二面角的大小，即可判断（1）；‎ 由双曲线标准方程，可得（4+k）（1﹣k）＜0，即可判断（2）；‎ 设出过P的直线方程，联立双曲线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得k=2，再由判别式大于0即可判断（3）．‎ ‎【解答】解：对于（1），两法向量的夹角为cos＜，＞==，‎ 即有两平面所成的二面角为45°或135°，故（1）正确；‎ 对于（2），曲线+=1表示双曲线，则（4+k）（1﹣k）＜0，解得k＞1或k＜﹣4，‎ 故（2）正确；‎ 对于（3），设过P（1，1）点的直线AB方程为y﹣1=k（x﹣1），‎ 代入双曲线方程得 ‎（2﹣k2）x2﹣（2k﹣2k2）x﹣（k2﹣2k+3）=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则有x1+x2=，‎ 由已知=xp=1，‎ ‎∴=2．解得k=2．‎ 又k=2时，△=（4﹣8）2+2（2﹣4）（4﹣4+3）=4＞0，‎ 从而直线AB方程为2x﹣y﹣1=0．‎ 故（3）正确．‎ 故答案为：（1）（2）（3）．‎ ‎　‎ ‎16．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为　　．‎ ‎【考点】轨迹方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．‎ ‎【解答】解：以AB所在直线为x轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），，，设P（x，y，0）．于是有．‎ 由于AM⊥MP，‎ 所以，‎ 即，此为P点形成的轨迹方程，‎ 其在底面圆盘内的长度为 故答案为 ‎　‎ 三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知双曲线C1：﹣=1，（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，若抛物线C2：x2=2py，（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，求抛物线C2的标准方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线C1：﹣=1，（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线C1：﹣=1，（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，‎ ‎∴c=2a，即=4，‎ ‎∴=3，‎ 双曲线的一条渐近线方程为：bx﹣ay=0．‎ 抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，‎ ‎∴2=，‎ ‎∵=3，∴p=8．‎ ‎∴抛物线C2的方程为x2=16y．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．‎ ‎（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离．‎ ‎【分析】（1）以以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量，的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．‎ ‎（2）设出平面BED1F的一个法向量为，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED1F的法向量为的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示：‎ 则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）‎ ‎∴=（﹣3，3，3），=（3，0，﹣1）‎ ‎∴cosθ===﹣‎ 则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为 ‎（2）B（3，3，0），=（0，﹣3，2），=（3，0，﹣1）‎ 设平面BED1F的一个法向量为=（x，y，z）‎ 由得 令x=1，则=（1，2，3）‎ 则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为 ‎||==‎ ‎　‎ ‎19．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；‎ ‎（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；‎ ‎（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，‎ 过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，‎ 由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．‎ ‎　‎ ‎20．平面直角坐标系中，将曲线（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1．以坐标原点为极点，x的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线C2的方程为ρ=4sinθ，求C1和C2公共弦的长度．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；函数的图象与图象变化；椭圆的参数方程．‎ ‎【分析】先求出变换后的C1的参数方程，再求出对应的普通方程，再把C2的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离 公式及弦长公式求出公共弦长．‎ ‎【解答】解：曲线（α为参数）上的每一点纵坐标不变，‎ 横坐标变为原来的一半得到，然后整个图象向右平移1个单位得到，‎ 最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到，所以，C1为； （x﹣1）2+y2=4，‎ 又C2为ρ=4sinθ，即x2+y2=4y，所以，C1和C2公共弦所在直线为2x﹣4y+3=0，‎ 所以，（1，0）到2x﹣4y+3=0距离为，所以，公共弦长为．‎ ‎　‎ ‎21．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，连接EF，A′B．‎ ‎（1）求证：A′D⊥EF；‎ ‎（2）求二面角A′﹣EF﹣D的余弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】（1）根据平面图形折叠后的不变量可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，然后利用线面垂直的判定得到线面垂直，从而得到线线垂直；‎ ‎（2）由题意可得BE=BF，DE=DF，连结BD交EF于点G，连接A'G，则可证明∠A'GD为二面角A'﹣EF﹣D的平面角，然后利用解直角三角形即可得到答案．‎ ‎【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF 则A'D⊥A'E，A'D⊥A'F 又A'E∩A'F=A'‎ ‎∴A'D⊥平面A'EF 而EF⊂平面A'EF，∴A'D⊥EF ‎（2）方法一：连接BD交EF于点G，连接A'G ‎∵在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，‎ ‎∴BE=BF，DE=DF，‎ ‎∴点G为EF的中点，‎ 且BD⊥EF ‎∵正方形ABCD的边长为2，∴A'E=A'F=1，∴A'G⊥EF ‎∴∠A'GD为二面角A'﹣EF﹣D的平面角 由（1）可得A'D⊥A'G，‎ ‎∴△A'DG为直角三角形 ‎∵正方形ABCD的边长为2，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 又A'D=2‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴二面角A'﹣EF﹣D的余弦值为 方法二：∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，‎ ‎∴BE=BF=A'E=A'F=1，‎ ‎∴‎ ‎∴A'E2+A'F2=EF2，∴A'E⊥A'F 由（1）得A'D⊥平面A'EF，‎ ‎∴分别以A'E，A'F，A'D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角 坐标系A'﹣xyz，‎ 则A'（0，0，0），E（1，0，0），F（0，1，0），D（0，0，2）‎ ‎∴，，‎ 设平面DEF的一个法向量为，则由，‎ 可取 又平面A'EF的一个法向量可取 ‎∴‎ ‎∴二面角A'﹣EF﹣D的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎22．已知抛物线x2=2py上点（2，2）处的切线经过椭圆的两个顶点．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为﹣4的直线与该椭圆交于B，C两点，是否存在一点D，使得直线BC恒过该点？若存在，请求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若△ABC的重心为G，当边BC的端点在椭圆E上运动时，求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】（1）把（2，2）代入抛物线方程x2=2py，即可得到p，即可得到抛物线的方程．利用导数即可得到切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程，即可求出与坐标轴的交点坐标，即可得到a，b．可得椭圆的方程．‎ ‎（2）假设直线BC恒过定点D，由题意可知直线BC的斜率必存在，故可设直线BC的方程为y=kx+m（m≠2）．‎ 设B（x1，y1），C（x2，y2）．由（1）知A（0，2）．把直线方程与椭圆方程联立可得△＞0及根与系数的关系，再利用kAB•kAC=即可得出m．进而可得答案．‎ ‎（3）利用椭圆的性质和三角形的重心性质即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）把（2，2）代入抛物线方程x2=2py，得22=2p×2，解得p=1，‎ ‎∴抛物线的方程为x2=2y；‎ ‎∴y′=x，∴抛物线x2=2y在点（2，2）处的切线的斜率为y′|x=2=2，‎ ‎∴抛物线在点（2，2）处的切线方程为y﹣2=2（x﹣2），化为y=2x﹣2．‎ 它与两坐标轴的交点分别为（1，0），（0，﹣2），由题意可得a=2，b=1．‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）假设直线BC恒过定点D，由题意可知直线BC的斜率必存在，故可设直线BC的方程为y=kx+m（m≠2）．‎ 设B（x1，y1），C（x2，y2）．由（1）知A（0，2）．‎ 联立消去y得到（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0，‎ 由△＞0，得（2km）2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，化为k2﹣m2+4＞0．‎ ‎∴，‎ ‎∴kAB•kAC=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==．‎ 由题意可得，解得m=0，满足△＞0．‎ ‎∴直线BC的方程为y=kx，直线BC恒过定点D（0，0）．‎ ‎（3）由（2）可知：原点（0，0）在直线BC上，‎ 由椭圆的对称性可知AO为△ABC的边BC上的中线，由|AG|=2|GO|和A（0，2），得G点的坐标为．‎ ‎∴．‎ ‎∴|GA|2+|GB|2+|GC|2=+===．‎ 不妨设点C在y轴的右侧，则x2∈（0，1]．‎ ‎∴，即求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范围是．‎