数学卷·2018届湖南省永州市宁远一中高二下学期入学数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届湖南省永州市宁远一中高二下学期入学数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年湖南省永州市宁远一中高二（下）入学数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．下列命题中的真命题是（　　）‎ A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x∈R，x+≥2‎ C．∃x0∈R，sinx0+cosx0=2 D．∃x0∈R，ln x0＞（）x0‎ ‎2．不在3x+2y＜6表示的平面区域内的一个点是（　　）‎ A．（0，0） B．（1，1） C．（0，2） D．（2，0）‎ ‎3．已知A（1，2），B（3，﹣1），C（3，4），则•=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．5 D．11‎ ‎4．直线kx﹣y+1=k，当实数k的取值变化时，所有直线都通过定点（　　）‎ A．（3，1） B．（2，1） C．（1，1） D．（0，1）‎ ‎5．公差不为零的等差数列第2、3、6项构成等比数列，则公比为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．设a，b∈R且a+b=3，则2a+2b的最小值是（　　）‎ A．4 B．2 C．16 D．8‎ ‎7．随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式K2=计算出K2，并由此作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则K2可以为（　　）‎ 附表：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ A．3.565 B．4.204 C．5.233 D．6.842‎ ‎8．在△‎ ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，A=30°，C=45°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． +1 C．（+1） D．2‎ ‎9．方程的解为（　　）‎ A．9 B． C． D．‎ ‎10．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　）‎ A．4 B．5 C．7 D．8‎ ‎11．己知抛物线y2=2px（p＞0）的准线恰好过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，两条曲线的交点的连线过双曲线的右焦点，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． +1 B．2 C． D．﹣1‎ ‎12．已知集合Ω={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意点P（x1，y1）∈Ω，总存在点Q（x2，y2）∈Ω（x2，y2不同时为0），使得x1•x2+y1•y2=0成立，则称集合M是“正交对偶点集”．下面给出四个集合：‎ ‎①Ω={（x，y）|y=|x﹣1|}；　　 　　②Ω={（x，y）|y=}；‎ ‎③Ω={（x，y）|y=ex﹣}； ④Ω={（x，y）|y=tanx}‎ 其中是“正交对偶点集”的序号是（　　）‎ A．①② B．② C．③ D．②④‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知函数f（x﹣2）=，则f（1）=　　．‎ ‎14．不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是　　．‎ ‎15．抛物线y2=﹣8x中，以（﹣1，1）为中点的弦所在的直线方程为　　．‎ ‎16．把数对（x，y）（x，y∈N+）按一定规律排列成如图所示的三角形数表，令aij表示数表中第i行第j个数对．‎ ‎（1）a64表示的数对为　　．‎ ‎（2）已知aij对应的数对为（2m，n）（m，n为正整数），则i+j=　　（结果用含m，n的式子表示）．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=loga（x+3）在（0，+∞）上单调递减，q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．‎ ‎18．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a2+b2﹣c2）=3ab；‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎19．从某校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图和频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求频率分布直方图中m的值；‎ ‎（2）若要从有网上购物经历的人数在区间[30，40]内的班级中任取两个班，求其中至少有一个班有网上购物经历的人数大于36的概率．‎ ‎20．已知{an}是等差数列，公差d＞0，Sn是其前n项和，a1a4=22，S4=26．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．‎ ‎21．已知圆O：x2+y2=1，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切，并与椭圆+y2=1交于不同的两点A，B ‎（1）设b=f（k），求f（k）的解析式；‎ ‎（2）若•=，求直线l的方程．‎ ‎22．已知函数f（x）=ex，g（x）=ax2（a∈R，a≠0）．‎ ‎（1）求函数y=的单调区间；‎ ‎（2）①已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）为函数y=g（x）图象上的两点，y=g′（x）为y=g（x）的导函数，若g′（x0）=，求证：x0∈（x1，x2）；‎ ‎②类比函数y=g（x），①中的结论在函数y=f（x）中是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省永州市宁远一中高二（下）入学数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．下列命题中的真命题是（　　）‎ A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x∈R，x+≥2‎ C．∃x0∈R，sinx0+cosx0=2 D．∃x0∈R，ln x0＞（）x0‎ ‎【考点】特称命题；全称命题．‎ ‎【分析】通过举例说明A、B不正确，D正确；可以推导出C不成立．‎ ‎【解答】解：对于A，当x=0时，x2=0，∴A不正确；‎ 对于B，当x=﹣1时，x+=﹣2，∴B不正确；‎ 对于C，∵sinx+cosx=sin（x+）≤＜2，∴C不正确；‎ 对于D，当x0=e时，lne=1，＜1，满足条件，∴D正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．不在3x+2y＜6表示的平面区域内的一个点是（　　）‎ A．（0，0） B．（1，1） C．（0，2） D．（2，0）‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】把选项中的每个点的坐标分别代入3x+2y，看点的坐标是否满足不等式即可 ‎【解答】解：将点（0，0）点代入3x+2y＜6，得0＜6，显然成立，点（0，0）在不等式表示的区域内 将点（1，1）代入3x+2y＜6，得5＜6，显然成立，点（1，1）在不等式表示的区域内 将点（0，2）代入3x+2y＜6，得4＜6，显然成立，点（0，2）在不等式表示的区域内 将点（2，0）代入3x+2y＜6，得6=6，点（2，0）不在不等式表示的区域内 故选D ‎　‎ ‎3．已知A（1，2），B（3，﹣1），C（3，4），则•=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．5 D．11‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】首先将有向线段用坐标表示，然后利用数量积公式求值．‎ ‎【解答】解：由已知得到=（2，﹣3），=（2，2），则•=2×2﹣3×2=﹣2；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．直线kx﹣y+1=k，当实数k的取值变化时，所有直线都通过定点（　　）‎ A．（3，1） B．（2，1） C．（1，1） D．（0，1）‎ ‎【考点】恒过定点的直线．‎ ‎【分析】将直线化简成点斜式的形式得：y﹣1=k（x﹣1），可得直线的斜率为k且经过定点（1，1），从而得到答案．‎ ‎【解答】解：将直线kx﹣y+1=k化简为点斜式，可得y﹣1=k（x﹣1），‎ ‎∴直线经过定点（1，1），且斜率为k．‎ 即直线kx﹣y+1=k恒过定点（1，1）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．公差不为零的等差数列第2、3、6项构成等比数列，则公比为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】等差数列的第2、3、6项依次成等比数列，所以a32=a2•a6，设此等差数列的首项为a1，公差为d，通项即为a1+（n﹣1）d，得a2=a1+d，a3=a1+2d，a6=a1+5d，代入可得a1和d的关系式，求出公比即可．‎ ‎【解答】解：设此等差数列的首项为a1，公差为d，通项即为a1+（n﹣1）d，得a2=a1+d，a3=a1+2d，a6=a1+5d，‎ 又因为等差数列的第2、3、6项依次成等比数列，所以a32=a2•a6，把a2，a3，a6代入可得2a1=﹣d，d=﹣2a1‎ 所以公比==把d=﹣2a1代入得公比为3．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．设a，b∈R且a+b=3，则2a+2b的最小值是（　　）‎ A．4 B．2 C．16 D．8‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式与指数函数运算幂的性质即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵2a＞0，2b＞0，a+b=3，‎ ‎∴2a+2b≥2=2=2=4（当且仅当a=b=时取“=”）．‎ 即2a+2b的最小值是4．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式K2=计算出K2，并由此作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则K2可以为（　　）‎ 附表：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ A．3.565 B．4.204 C．5.233 D．6.842‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】根据有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关，可得K2＞‎ ‎6.635，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关，‎ ‎∴K2＞6.635，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，A=30°，C=45°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． +1 C．（+1） D．2‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理可求c的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵a=2，A=30°，C=45°，‎ ‎∴c===2，‎ ‎∴S△ABC=acsinB=sin=1+．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．方程的解为（　　）‎ A．9 B． C． D．‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【分析】方程=2﹣2，可得log3x=﹣2，化为指数式即可得出．‎ ‎【解答】解：方程=2﹣2，∴log3x=﹣2，解得x=3﹣2=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知椭圆 ‎，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　）‎ A．4 B．5 C．7 D．8‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．‎ ‎【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，‎ 显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，‎ ‎，解得m=8‎ 故选D ‎　‎ ‎11．己知抛物线y2=2px（p＞0）的准线恰好过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，两条曲线的交点的连线过双曲线的右焦点，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． +1 B．2 C． D．﹣1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得 c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．‎ ‎【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F ‎∴两条曲线交点为（，p），‎ 代入双曲线方程得，‎ 又=c 代入化简得 c4﹣6a2c2+a4=0‎ ‎∴e4﹣6e2+1=0‎ ‎∴e2=3+2=（1+）2‎ ‎∴e=+1‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知集合Ω={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意点P（x1，y1）∈Ω，总存在点Q（x2，y2）∈Ω（x2，y2不同时为0），使得x1•x2+y1•y2=0成立，则称集合M是“正交对偶点集”．下面给出四个集合：‎ ‎①Ω={（x，y）|y=|x﹣1|}；　　 　　②Ω={（x，y）|y=}；‎ ‎③Ω={（x，y）|y=ex﹣}； ④Ω={（x，y）|y=tanx}‎ 其中是“正交对偶点集”的序号是（　　）‎ A．①② B．② C．③ D．②④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】对于①画出函数的图象，利用“正交对偶点集”的定义，判断正误即可；‎ 对于②利用“正交对偶点集”的定义，判断正误即可；‎ 对于③通过特例，判断是否满足“正交对偶点集”的定义，画出函数的图象即可判断正误；‎ 对于④画出函数的图象，利用“正交对偶点集”的定义，判断正误即可；‎ ‎【解答】解：对于①Ω={（x，y）|y=|x﹣1|}；函数的图象如图：‎ 由“正交对偶点集”的定义可知，，当P在图象位置时不存在Q满足题意，∴①不正确；‎ 对于②，Ω={（x，y）|y=}；函数的图象是一个x轴上方的半圆，由“正交对偶点集”的定义可知，，半圆的圆心是原点，∴满足题意，②正确．‎ 对于③，M={（x，y）|y=ex﹣}，如图（2）如图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，），则不存在N，满足“正交对偶点集”的定义，‎ ‎∴③不正确．‎ 对于④Ω={（x，y）|y=tanx}，y=tanx的图象如图，‎ 由“正交对偶点集”的定义可知，，在（π，0）这点不符合条件，P，Q不始终存在满足定义，∴④不正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知函数f（x﹣2）=，则f（1）=　19　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】令x=3，f（3﹣2）=f（1），通过函数的解析式直接求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x﹣2）=，‎ 则f（1）=f（3﹣2）=1+2×32=19．‎ 故答案为：19．‎ ‎　‎ ‎14．不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是　（﹣，﹣）　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】根据不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，得到一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，利用根据根与系数的关系可得a=5，b=﹣6，因此不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，解之即得﹣＜x＜﹣，所示解集为（﹣，﹣）．‎ ‎【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，‎ ‎∴一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，‎ 根据根与系数的关系可得：，所以a=5，b=﹣6；‎ 不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，‎ 整理，得6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解之得﹣＜x＜﹣‎ ‎∴不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣）‎ 故答案为：（﹣，﹣）‎ ‎　‎ ‎15．抛物线y2=﹣8x中，以（﹣1，1）为中点的弦所在的直线方程为　4x+y+3=0　．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】先设出弦的两端点的坐标然后代入到抛物线方程后两式相减，可求得直线方程的斜率，最后根据直线的点斜式可求得方程．‎ ‎【解答】解：此弦不垂直于x轴，故设点（﹣1，1）为中点的抛物线y2=﹣8x的弦的两端点为A（x1，y1）B（x2，y2）‎ 得到yi2=﹣8x1，y22=﹣8x2，‎ 两式相减得到（y1+y2）（y1﹣y2）=﹣8（x1﹣x2），‎ ‎∵y1+y2=2，‎ ‎∴k=﹣4，‎ ‎∴直线方程为y+1=﹣4（x﹣1），即4x+y+3=0，‎ 故答案为：4x+y+3=0．‎ ‎　‎ ‎16．把数对（x，y）（x，y∈N+）按一定规律排列成如图所示的三角形数表，令aij表示数表中第i行第j个数对．‎ ‎（1）a64表示的数对为　（4，3）　．‎ ‎（2）已知aij对应的数对为（2m，n）（m，n为正整数），则i+j=　4m+n﹣1　（结果用含m，n的式子表示）．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】由前4行得到，每一行的第一个数对是（1，n），n为行数，接着的每一个数对前一个数是连续的自然数，后一个是依次减1的数，由此推出第n行的数对，即可得到（1）、（2）的结论，注意每一行中，第一个数是列数，两个数之和减1是行数．‎ ‎【解答】解：由前4行的特点：每一行的第一个数对是（1，n），n为行数，‎ 接着的每一个数对前一个数是连续的自然数，后一个是依次减1的数，‎ 可得，第n行可为：（1，n），（2，n﹣1），（3，n﹣2），…，（n﹣1，2），（n，1）．‎ ‎（1）a64表示的数对为（4，3）；‎ ‎（2）由aij对应的数对为（2m，n）（m，n为正整数），得，i=2m+n﹣1，j=2m，故i+j=4m+n﹣1．‎ 故答案为：（4，3），4m+n﹣1．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=loga（x+3）在（0，+∞）上单调递减，q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，根据p，q一真一假，得到不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：由题意得 命题P真时0＜a＜1，‎ 命题q真时由（2a﹣3）2﹣4＞0解得a＞或a＜，‎ 由p∨q真，p∧q 假，得，p，q一真一假 ‎ 即：或，‎ 解得≤a＜1或a＞．‎ ‎　‎ ‎18．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a2+b2﹣c2）=3ab；‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知的等式两边除以2变形后代入表示出的cosC中，化简即可求出cosC的值，然后由三角形的内角和定理得到A+B=π﹣C，把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简得到关于cosC的式子，把cosC的值代入即可求出值；‎ ‎（2）把c=4代入已知的等式，得到一个关于a与b的关系式，由基本不等式a2+b2≥2ab，求出ab的最大值，然后由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵a2+b2﹣c2=ab，‎ ‎∴cosC==，‎ ‎∵A+B=π﹣C，‎ ‎∴===；‎ ‎（2）∵a2+b2﹣c2=ab，且c=2，‎ ‎∴a2+b2﹣4=ab，‎ 又a2+b2≥2ab，‎ ‎∴ab≥2ab﹣4，∴ab≤8，‎ ‎∵cosC=，∴sinC===，‎ ‎∴S△ABC=absinC≤，当且仅当a=b=2时，△ABC面积取最大值，最大值为．‎ ‎　‎ ‎19．从某校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图和频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求频率分布直方图中m的值；‎ ‎（2）若要从有网上购物经历的人数在区间[30，40]内的班级中任取两个班，求其中至少有一个班有网上购物经历的人数大于36的概率．‎ ‎【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（1）由茎叶图可知，第三组的频数为4，求出此组的频率，用频率÷组距得到m．‎ ‎（2）由茎叶图可知，有网上购物经历的人数在区间[30，40]内的班级共有5个，通过列举法得到任取两个班级的方法数及至少有一个办有网上购物经历的方法数，利用古典概型的概率公式求出概率．‎ ‎【解答】（本小题12分）‎ 解：（1）由茎叶图可知，第三组的频数为4，频率为，…‎ 则…‎ ‎（2）记事件Q：至少有一个班有网上购物经历的人数大于36．‎ 由茎叶图可知，有网上购物经历的人数在区间[30，40]内的班级共有5个，不妨设为A，B，C，D，E，其中有网上购物经历的人数大于36的2个班级为A，B．‎ 则从A，B，C，D，E中任取2个，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，…‎ 其中A，B至少有一个的有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE共7种，…‎ 所以．…‎ ‎　‎ ‎20．已知{an}是等差数列，公差d＞0，Sn是其前n项和，a1a4=22，S4=26．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎（2）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．‎ ‎【解答】（1）解：∵a1a4=22，S4=26，∴a1（a1+3d）=22，4a1+d=26，‎ 解得a1=2，d=3；a1=11，d=﹣3（舍去）．‎ ‎∴an=2+3（n﹣1）=3n﹣1．‎ ‎（2）证明： ==，‎ 数列{bn}的前n项和为Tn=+…+‎ ‎=＜．‎ ‎　‎ ‎21．已知圆O：x2+y2=1，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切，并与椭圆+y2=1交于不同的两点A，B ‎（1）设b=f（k），求f（k）的解析式；‎ ‎（2）若•=，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由点到直线的距离公式求得b2=k2+1，将直线方程代入椭圆方程由△＞0，求得k的取值范围，即可求得f（k）的表达式，‎ ‎（2）由（1）可知，利用韦达定理及向量的数量积的坐标运算，即可求得k和b的值，求得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由y=kx+b（b＞0）与圆x2+y2=1相切，则=1，即b2=k2+1，‎ 由b＞0，∴b=，‎ 则由，消去y整理得：（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣2=0．‎ 由△=16k2b2﹣4（2k2+1）（2b2﹣2）=8k2＞0，则k≠0，‎ ‎∴f（k）=，k≠0．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）可知：x1+x2=﹣，x1x2=，‎ y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=k2×+kb（﹣）+b2=，‎ 则•=x1x2+y1y2=+==，‎ 由•=，则=，则k2=1，b2=2，‎ 由b＞0，则b=，‎ ‎∴直线l的方程y=x+或y=﹣x+．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ex，g（x）=ax2（a∈R，a≠0）．‎ ‎（1）求函数y=的单调区间；‎ ‎（2）①已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）为函数y=g（x）图象上的两点，y=g′（x）为y=g（x）的导函数，若g′（x0）=，求证：x0∈（x1，x2）；‎ ‎②类比函数y=g（x），①中的结论在函数y=f（x）中是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）利用导函数的运算法则，求导，判断单调性．‎ ‎（2）①先求出g′（x），然后代入问题得以证明，②利用类比的思想，先求出，再令，求导，判断单调性，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，，‎ 若a＞0，则当x＜0或x＞2时，y'＜0；当0≤x≤2时，y'≥0；‎ 所以a＞0时，函数的单调递减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），‎ 单调递增区间为[0，2]； ‎ 同理得a＜0时，函数的单调递减区间为[0，2]，‎ 单调递增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）．‎ ‎（2）①证明：在函数g（x）=ax2（a≠0）中， ‎ ‎，结论成立．‎ ‎②对于函数y=f（x），①中的结论也成立．下面给出证明：‎ 在函数f（x）=ex中，，则有．‎ 又．‎ 令 则 ‎ ‎∴F（x）在（﹣∞，x2）上递减，则F（x1）＞F（x2）‎ ‎∴，即．‎ 同理可证，综上，x0∈（x1，x2）．‎