2018-2019学年吉林省白城市通榆县第一中学高二下学期第三次月考（期中）数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年吉林省白城市通榆县第一中学高二下学期第三次月考（期中）数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年吉林省白城市通榆县第一中学高二下学期第三次月考（期中）数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设，其中，是实数，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用复数相等求出x和y的值，然后由复数的模的公式求解即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎,可得，即，‎ 则，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查复数相等的条件的应用，考查复数的模的求解，属于简单题.‎ ‎2．用反证法证明命题“已知，，，则，中至多有一个不小于0”时，假设正确的是（ ）‎ A．假设，都不大于0 B．假设，至多有一个大于0‎ C．假设，都小于0 D．假设，都不小于0‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用反证法的定义写出命题结论的否定即可.‎ ‎【详解】‎ 根据反证法的概念，假设应是所证命题结论的否定，‎ 所以假设应为：“假设，都不小于0”，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 反证法的适用范围是:（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．‎ ‎3．无理数是实数，是无理数，所以是实数.以上三段论推理（ ）‎ A．正确 B．推理形式不正确 C．两个“无理数”概念不一致 D．两个“实数”概念不一致 ‎【答案】A ‎【解析】分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：∵无理数是实数，是无理数，所以是实数．‎ 大前提：无理数是实数是正确的，‎ 小前提：是无理数是正确的，‎ 结论：是实数是正确的，‎ ‎∴这个推理是正确的，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．‎ ‎4．函数在点处的切线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线的方程．‎ ‎【详解】‎ 解：函数f (x)＝cosx的导数为f′（x）＝﹣sinx，‎ 即有在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝﹣sin0＝0，‎ 切点为（0，1），‎ 则在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝，‎ 即为y－1＝0．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用导数的几何意义和直线的方程，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎5．已知函数，则（ ）‎ A．16 B．8 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先将被积函数变形，然后根据定积分基本性质和微积分基本定理，计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 计算定积分的步骤：①先将被积函数变形为基本初等函数的和、差等形式；②根据定积分的基本性质，变形；③分别利用求导公式的逆运算，找到相应的的原始函数；④利用微积分基本定理分别求出各个定积分的值，然后求代数和(差)。‎ ‎6．下列命题正确的是（ ）‎ A．复数不是纯虚数 B．若，则复数为纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 ‎【答案】B ‎【解析】利用复数的分类逐一判断选项即可.‎ ‎【详解】‎ 对于Ａ，时，复数a＋bi是纯虚数，错误；‎ 对于B，当x＝1，复数z＝2i为纯虚数，正确；‎ 对于C，(－4)＋(＋3x＋2)i是纯虚数，则，‎ 即x＝2，故错误；‎ 对于D，复数z＝a＋bi，未注明为实数，故错误；‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查复数的分类，考查学生对基本概念的理解与运用，属于基础题.‎ ‎7．六名同学站一排照相，要求，，，三人按从左到右的顺序站，可以不相邻，也可以相邻，则不同的排法共有（ ）‎ A．720种 B．360种 C．120种 D．90种 ‎【答案】C ‎【解析】首先计算六名同学并排站成一排的总数，然后除以A,B,C三人的排列数即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，六名同学并排站成一排，有种情况，‎ 其中，，三人顺序固定，按从左到右的顺序站，‎ 则不同的排法数为,‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查倍缩法的应用，对应某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数即可.‎ ‎8．的展开式中二项式系数之和是64，含项的系数为，含项系数为，则（ ）‎ A．200 B．400‎ C．-200 D．-400‎ ‎【答案】B ‎【解析】由展开式二项式系数和得n＝6，写出展开式的通项公式，令r=2和r=3分别可计算出a和b的值，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得二项式系数和2n＝64，解得n＝6．‎ ‎∴的通项公式为：，‎ ‎∴当r=2时，含x6项的系数为，‎ 当r=3时，含x3项的系数为，‎ 则,‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎9．某景区原来在一段栈道上安排了10名安全员，后由于人员紧张，需撤掉3人，但出于安全考虑，首尾两个不能撤，撤掉的3人中任意两个不能相邻，则不同的撤法的种数为（ ）‎ A．120 B．56‎ C．35 D．20‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，只需撤掉中间8人中的3人，且任意两个人不能相邻，由插空的思想可得有种撤法.‎ ‎【详解】‎ 由题意，首尾两个不能撤，只需撤掉中间8人中的3人，且任意两个人不能相邻，‎ 故有种，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.‎ ‎10．观察下列各式：，，，，，……，则（ ）‎ A．521 B．322‎ C．123 D．199‎ ‎【答案】B ‎【解析】观察1，3，4，7，11，…的规律，利用归纳推理即可得到第12个数的数值．‎ ‎【详解】‎ 解：等式的右边对应的数为1，3，4，7，11，…‎ 其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第12项．‎ ‎∴对应的数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，第12项为322，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理的应用，得到等式的右边数的规律是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎11．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（ ）‎ A．30 B．60‎ C．90 D．120‎ ‎【答案】D ‎【解析】将5艘驱逐舰和3艘核潜艇分两类求解即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇，3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为，‎ ‎2艘驱逐舰和2艘核潜艇，3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为 共60+60=120种，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.‎ ‎12．已知函数的图像与直线只有一个交点，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可转为只有一个根，变量分离得，转为直线y=a与函数y=g(x)的图像只有一个交点，分析函数g(x)的单调性，极值，得到函数图像，由图像即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数的图像与直线只有一个交点，即方程 ‎，即只有一个根，显然x=0不成立，‎ 当时，等式两边同时除以x可得，，‎ 令，‎ 转为直线y=a与函数y=g(x)的图像只有一个交点，‎ ‎，得x=2,‎ 当时，，故函数g(x)在上单调递减，‎ 当时，，故函数g(x)在上单调递增，‎ 当时，g(x),当时，g(x)且g(2)=1,‎ 当时，g(x), 当时，g(x)，如图，‎ 由图可知，当a<1时，直线y=a与函数y=g(x)的图像只有一个交点，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法:(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.‎ 二、填空题 ‎13．若复数在复平面内对应的点在第三象限，则整数的取值为_____．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】将复数写成a+bi（a,b∈R）的形式，然后由复数对应的点在第三象限，列出不等式，可得a的取值.‎ ‎【详解】‎ 复数，若复数在复平面内对应的点在第三象限，‎ 则，解得，又a为整数，则a=0,‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的乘法运算和复数的几何意义，属于简单题.‎ ‎14．某单位将4名新来的员工小张、小王、小李、小刘分配到营销、财务、保管三个部门中，每个部门至少安排1名员工，其中小张不能分配到营销部门，那么不同的分配方案有______．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】分析小张有2种方法，再分两种情况讨论其他三名员工，①三个部门每部门一人，②小王、小李、小刘中一个部门1人，另一个部门2人，分别求出情况种数，从而可得答案.‎ ‎【详解】‎ 小张不能分配到营销部门，则小张可以放在财务、保管部门，有A21种方法，‎ 另外三个员工有2种情况，‎ ‎①三人中，有1个人与小张分配一个部门，即小王、小李、小刘每人一个部门，有A33种，‎ ‎②三人中，没有人与小张分配一个部门，这三人都被分配到小张没有分配的另外2个部门，‎ 则这三人中一个部门1人，另一个部门2人，有C32A22种情况，‎ 则另外三名员工有A33+C32A22种安排方法，‎ ‎∴不同的分配方案有A21（A33+C32A22）＝24，‎ 故答案为：24．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的简单应用， 一般思路，按照先分组，再分配的原则求解即可.‎ ‎15．函数的最大值为____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】先写出函数的定义域，利用导数得到函数的单调区间，由单调性即可得函数最值.‎ ‎【详解】‎ 函数f(x)的定义域为，对函数求导得，‎ ‎=0，x=1,‎ 当时，，则函数在上单调递增，‎ 当时，，则函数在上单调递减，‎ 则当x=1时函数f(x)取得最大值为f(1)=1,‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的最值和单调性，属于基础题.‎ ‎16．已知，则____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】令展开式中的x=0,可得，令x=1,可得的值，从而可得答案.‎ ‎【详解】‎ 已知,‎ 令x=0,可得，令x=1,可得，‎ 则，‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是-1进行求解．‎ 三、解答题 ‎17．设复数，.‎ ‎（1）若是实数，求；‎ ‎（2）若是纯虚数，求的共轭复数.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）由是实数求得a，再由复数代数形式的乘法运算求z1•z2‎ 的值；（2）利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a，再由共轭复数的概念可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵是实数，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵是纯虚数，‎ ‎∴，即，，‎ 故的共轭复数为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念和共轭复数的求法，属于简单题．‎ ‎18．（1）求的展开式的常数项；‎ ‎（2）若的展开的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.‎ ‎【答案】(1)84 (2)2048‎ ‎【解析】（1）利用二项展开式的通项公式，令x的次数为0，即可求出常数项．‎ ‎（2）通过第6项与第7项的系数互为相反数，可得，的各项系数绝对值之和与的各系数之和相等，令x=1,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为的通项是，‎ 当r=6时可得展开式的常数项，‎ 即常数项是.‎ ‎（2）的通项为，‎ 则第6项与第7项分别为和，‎ 它们的系数分别为和.‎ 因为第6项与第7项的系数互为相反数，所以，则，‎ 因为的各项系数绝对值之和与的各系数之和相等，‎ 令，得的各项系数的绝对值之和为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理的应用，考查二项式展开式通项公式和二项式系数的应用，属于基础题.‎ ‎19．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设二面角为，，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明线面平行，根据判定定理就是要证线线平行，而平行线的寻找，又是根据线面平行的性质定理找到，设与交点为，过的平面与平面的交线就是，这就是要找的平行线，由中位线定理易证；（2）要求三棱锥的体积，关键是求得底面三角形的面积（高为到底面的距离，即为的一半），已知条件是二面角大小为，为此可以为轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求得平面和平面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可求得 ‎，从而可求得底面积，体积．‎ 试题解析：（1）证明：连，设，连，‎ ‎∵是的中点，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎．‎ 设．则．‎ 设为平面的法向量，则 取．‎ 又为平面的一个法向量，‎ ‎∴，∴．‎ 因为为的中点，所以三棱锥的高为，‎ ‎∴．‎ ‎【考点】线面平行的判定，二面角．‎ ‎20．已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ ‎【答案】(1)；(2) 的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调区间.‎ 试题解析：（1）对求导得，‎ 由在点处的切线垂直于直线知，解得.‎ ‎（2）由（1）知，则.‎ 令，解得或.‎ 因为不在的定义域内，故舍去.‎ 当时，，‎ 故在内为减函数；‎ 当时，，‎ 故在内为增函数.‎ 综上，的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎21．已知椭圆：的右焦点为，且点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）轴上存在点 ‎【解析】试题分析：（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可 试题解析：（1）由题意知，‎ 根据椭圆的定义得：‎ 即椭圆的标准方程为 ‎（2）假设在轴上存在点，使得恒成立．‎ ‎① 当直线的斜率为时，，．‎ 则解得．‎ ‎② 当直线的斜率不存在时，，．‎ 则解得或 ‎③ 由①②可知当直线的斜率为或不存在时，使得成立．‎ 下面证明即时恒成立．‎ 设直线的斜率存在且不为时，直线方程为，,‎ 由，可得 ‎，‎ 综上所述：在轴上存在点，使得恒成立．‎ ‎【考点】1．直线与圆锥曲线的关系；2．椭圆的标准方程 ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）当时，求的最值；‎ ‎（2）若函数存在两个极值点，，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ‎ ‎【解析】（1）对函数求导，写出函数单调性，由单调性即可得到函数的最值；（2）对函数求导，写出韦达定理，利用韦达定理将表示成关于a的函数，利用单调性即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，，‎ ‎，‎ 令，得，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以当时，，无最大值.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ 由题知，，是方程的两个不相等的正实数根，‎ 即，是方程的两个不相等的正实数根，‎ 所以，‎ 解得.‎ 因为 是关于的减函数，‎ 所以.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的最值，极值和单调性问题，考查分析能力以及计算能力，属于中档题.‎