2020版高中数学 第三章 不等式第2课时 基本不等式的应用

2020版高中数学 第三章 不等式第2课时 基本不等式的应用

第2课时　基本不等式的应用 课后篇巩固探究 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A组 ‎1.函数f(x)=x+-1的值域是(　　)‎ A.(-∞,-3]∪[5,+∞)‎ B.[3,+∞)‎ C.(-∞,-5]∪[3,+∞)‎ D.(-∞,-4]∪[4,+∞)‎ 解析当x>0时,x+-1≥2-1=3,当且仅当x=2时,取等号;当x<0时,x+-1=--1≤-5,当且仅当x=-2时,取等号.所以函数的值域为(-∞,-5]∪[3,+∞).‎ 答案C ‎2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=(　　)‎ A.1+ B.1+‎ C.3 D.4‎ 解析f(x)=x+=x-2++2.‎ ‎∵x>2,∴x-2>0.‎ ‎∴f(x)=x-2++2≥2+2=4,‎ 当且仅当x-2=,‎ 即x=3时,等号成立.‎ 又f(x)在x=a处取最小值,‎ ‎∴a=3.‎ 答案C ‎3.周长为4+2的直角三角形的面积的最大值是(　　)‎ A.2 B‎.1 ‎C.4 D.‎ 解析设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为,于是依题意有a+b+=4+2.由基本不等式知a+b+=4+2≥2,即≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,取等号.故三角形的面积S=ab≤2.‎ 6‎ 答案A ‎4.若x,y>0,且xy-(x+y)=1,则有(　　)‎ A.x+y≥2(+1)‎ B.xy≤+1‎ C.x+y≤(+1)2‎ D.xy≥2(+1)‎ 解析由xy-(x+y)=1,得xy=1+(x+y)≤,即(x+y)2-4(x+y)-4≥0.因为x>0,y>0,所以解得x+y≥2+2=2(+1),当且仅当x=y时,取等号.‎ 答案A ‎5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为‎2 m2‎、形状为直角三角形的框架,在下面四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)‎ A.‎6.5‎ m‎ B.‎6.8 m ‎ C‎.7 m D.‎‎7.2 m 解析设两条直角边长分别为a m,b m,直角三角形框架的周长为l m,则斜边长为 m, ab=2,即ab=4.所以l=a+b+≥2=4+2≈6.828,当且仅当a=b=2时,取等号.‎ 由于要求够用且浪费最少,故选C.‎ 答案C ‎6.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为　　　　. ‎ 解析由基本不等式可得x+4y≥2=4,于是4≤4,xy≤1,当且仅当x=4y时,取等号.故xy的最大值为1.‎ 答案1‎ ‎7.要建造一个容积为‎18 m3‎,深为‎2 m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,那么水池的最低造价为　　　　元. ‎ 解析设水池底的长为x m,宽为y m,则有2xy=18,即xy=9.‎ 这时水池的造价p=200xy+150×2×(2x+2y),即p=1 800+600(x+y),‎ 于是p≥1 800+600×2=1 800+600×2=5 400,当且仅当x=y=3时,等号成立.‎ 故水池的最低造价为5 400元.‎ 答案5 400‎ ‎8.已知不等式≤k对所有正数x,y都成立,则k的最小值是　　　　. ‎ 解析因为x>0,y>0,所以x+y≥2⇒2(x+y)≥()2⇒,即 6‎ ‎,要使≤k对所有正数x,y都成立,即k≥,故k≥,即k的最小值为.‎ 答案 ‎9.求函数y=(x>1)的最大值.‎ 解函数y==2+.‎ 令x-1=t(t>0),则x=1+t.‎ 所以y=2+=2+≤2+=2+,‎ 当且仅当t=2,即x=3时,函数取得最大值.‎ ‎10.导学号04994089为了夏季降温和减少能源消耗,某体育馆外墙需要建造可使用30年的隔热层,每厘米厚的隔热层的建造成本为2万元,设每年的能源消耗费用为C(单位:万元),隔热层的厚度为x(单位:cm),二者满足函数关系式:C(x)=(0≤x≤15,k为常数).已知隔热层的厚度为‎10 cm时,每年的能源消耗费用是1万元.设f(x)为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和.‎ ‎(1)求k的值及f(x)的表达式;‎ ‎(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求出最小值.‎ 解(1)∵当x=10时,C(x)=1,∴k=15,‎ 即C(x)=,‎ ‎∴f(x)=30×+2x=+2x(0≤x≤15).‎ ‎(2)∵f(x)=+2x=+2(x+5)-10≥2-10=50,‎ 当且仅当=2(x+5),即x=10时,取等号.‎ 故当隔热层修建‎10 cm厚时,总费用达到最小值50万元.‎ B组 6‎ ‎1.若a<1,则a+的最大值是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.3 B.a ‎ C.-1 D.‎ 解析因为a<1,所以a-1<0,因此a+=a-1++1≤-2+1=-1,当且仅当1-a=,即a=0时,取等号,故选C.‎ 答案C ‎2.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 (　　)‎ A.3 B‎.4 ‎C. D.‎ 解析由于x>0,y>0,所以2xy=x·2y≤,当且仅当x=2y=2时,取等号.因为2xy=8-(x+2y),于是有8-(x+2y)≤.令x+2y=t,则t2+4t-32≥0,解得t≥4或t≤-8(舍去),因此x+2y≥4,即x+2y的最小值是4,故选B.‎ 答案B ‎3.已知函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中m>0,n>0,则的最小值为(　　)‎ A.2 B‎.4 ‎C. D.‎ 解析∵当x=-2时,y=loga1-1=-1,∴函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1).∵点A在直线mx+ny+2=0上,∴‎-2m-n+2=0,即‎2m+n=2.∵m>0,n>0,∴(‎2m+n)(当且仅当时,等号成立).‎ 答案D ‎4.如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是　　　　 dm2. ‎ 6‎ 解析设阴影部分的长为x dm,则宽为 dm,四周空白部分的面积是y dm2.由题意,得y=(x+4)-72=8+2≥8+2×2=56.‎ 当且仅当x=,即x=12时,等号成立.‎ 答案56‎ ‎5.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是　　　　. ‎ 解析∵2x+2y=1≥2,∴≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2,当且仅当x=y=-1时,取等号.故x+y的取值范围是(-∞,-2].‎ 答案(-∞,-2]‎ ‎6.若x>1时,不等式>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　. ‎ 解析由于=(x-1)++2≥2+2=6,当且仅当x=3时,取等号.所以要使不等式恒成立,应有m2+1<6,解得-0,y>0,所以3xy=x+y+1≥2+1,‎ 所以3xy-2-1≥0,‎ 即3()‎2-2-1‎≥0.‎ 所以(3+1)(-1)≥0.‎ 所以≥1,所以xy≥1.‎ 当且仅当x=y=1时,等号成立.‎ 所以xy的最小值为1.‎ ‎(2)因为x>0,y>0,‎ 所以x+y+1=3xy≤3·,‎ 所以3(x+y)2-4(x+y)-4≥0,‎ 所以[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0.‎ 所以x+y≥2.‎ 当且仅当x=y=1时,取等号.‎ 所以x+y的最小值为2.‎ 6‎