江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

2019-2020 学年江西省南昌二中高二（上）期中数学试卷 （文科） 一、选择题（本大题共 12 小题） 1. 已知命题 p：，，则它的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 2. A. B. C. D. 3. 将参数方程化为普通方程为 A. B. C. D. 4. 已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆 方程为 A. B. C. D. 5. 给出以下四个命题： “若，则 x，y 互为相反数”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题； “若，则有实根”的逆否命题； “不等边三角形的三内角相等”的逆否命题． 其中真命题是 A. B. C. D. 6. 圆的圆心坐标是 A. B. C. D. 7. 双曲线和椭圆的离心率互为倒数，那么以 a，b，m 为边长的三角形是 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 8. 抛物线到直线距离最近的点的坐标是 A. B. C. D. 9. 某企业生产甲、乙两种产品均需要 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原 料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产 1 吨甲、乙产品可获得利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为 甲 乙 原料限额 A 吨 3 2 10 B 吨 1 2 6 A. 10 万元 B. 12 万元 C. 13 万元 D. 14 万元 10. 方程化简的结果是 A. B. C. ， D. ， 11. 已知双曲线的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一 个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A. B. C. D. 12. 设双曲线的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B，C 两点， 过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点若 D 到直线 BC 的距离小于，则该 双曲线的渐近线斜率的取值范围是 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题） 13. 曲线在点处的切线方程为______． 14. 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么 甲是丁的______ 条件．在充分非必要条件，必要非充分条件，充要条件，既非充 分又非必要条件中选一个填上 15. 动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过点______． 16. 已知椭圆的左右顶点分别为，，P 为 C 任意一点，其中直线的斜率范围为，则直线 的斜率范围为______． 三、解答题（本大题共 6 小题） 17. 已知点是圆上的动点， 求的取值范围； 若恒成立，求实数 a 的取值范围． 18. 设集合，． 若，求； 设命题 p：，命题 q：，若 p 是 q 成立的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围． 19. 已知圆 C：及直线 l：直线 l 被圆 C 截得的弦长为． 求 a 的值； 求过点并与圆 C 相切的切线方程． 20. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：为参数，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系． 求曲线 C 的普通方程和极坐标方程； 若射线和分别交曲线 C 于异于极点 O 的 A，B，求面积的最大值． 21. 设，分别是 C：的左，右焦点，M 是 C 上一点且与 x 轴垂直，直线与 C 的另一个 交点为 N． 若直线 MN 的斜率为，求 C 的离心率； 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且，求 a，b． 22. 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在 x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的 对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点． 求这三条曲线的方程； 已知动直线 l 过点，交抛物线于 A，B 两点，是否存在垂直于 x 轴的直线被以 AP 为 直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由． 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 p：，，则它的否定 是：，． 故选：B． 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 2.【答案】B 【解析】解：由导数的定义可得： 原式 故选：B． 利用导数的定义即可得出． 本题查克拉导数的定义，属于基础题． 3.【答案】C 【解析】解：将参数方程 消去参数化普通方程为， 由，可得． 故选：C． 消去参数化普通方程为，再由，可得，由此得到结论． 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，注意变量的取值范围，属于基础题． 4.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查椭圆的简单性质，以及求椭圆的标准方程的方法． 先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆 的标准方程． 【解答】 解：抛物线的焦点为，， 由离心率 可得，， 故椭圆的标准方程为， 故选 A． 5.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查四种命题的真假判断，解题时要注意四种命题的相互转化．逐项判断：“若， 则 x，y 互为相反数”的逆命题是真命题； “全等三角形的面积相等”的否命题是假命题； “若，则有实根”的逆否命题是真命题； “不等边三角形的三内角相等”的逆否命题是假命题． 【解答】 解：“若，则 x，y 互为相反数”的逆命题是：若 x，y 互为相反数，则它是真命题． “全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角 形的面积不相等．它是假命题． “若，则有实根”的逆否命题是：若没有实根，由它是真命题． “不等边三角形的三内角相等”的逆否命题是假命题． 故选 C． 6.【答案】C 【解析】解：两边都乘以得， ， 圆心坐标是，圆心坐标是 故选：C． 先将极坐标方程变为普通方程求出圆心的直角坐标，再由公式求出点的极坐标即可选出 正确选项． 本题考查简单曲线的极坐标方程，圆的极坐标方程，解答的关键是转化为普通方程求出 圆的坐标，再将其转化为极坐标．本题属于基本题． 7.【答案】C 【解析】解：双曲线和椭圆的离心率互为倒数，所以， 所以即，所以以 a，b，m 为边长的三角形是直角三角形． 故选：C． 求出椭圆与双曲线的离心率，利用离心率互为倒数，推出 a，b，m 的关系，判断三角 形的形状． 本题是中档题，考查椭圆与双曲线基本性质的应用，三角形形状的判断方法，考查计算 能力． 8.【答案】B 【解析】解：设为抛物线上任一点， 则 P 到直线的距离， 时，d 取最小值， 此时． 故选：B． 设出 P 的坐标，进而根据点到直线的距离公式求得 P 到直线的距离的表达式，根据 x 的 范围求得距离的最小值． 本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线的距离公式．考查了学生数形结合的数学 思想和基本的运算能力． 9.【答案】D 【解析】解：设该企业生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，利润为 z 万元， 则约束条件为，且 x，， 目标函数， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由， 得， 平移直线， 由图象知当直线经过点 A 时，的截距最大，此时 z 最大， 由得，即， 此时万元， 即该企业生产甲产品 2 吨，乙产品 2 吨，利润为 14 万元， 故选：D． 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 设该企业生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，利润为 z 万元，根据条件求出约束条件和目标 函数，利用线性规划的知识进行求解即可． 本题主要考查线性规划的应用问题，求出约束条件和目标函数，作出对应区域，利用目 标函数的几何意义结合数形结合是解决本题的关键． 10.【答案】C 【解析】解：方程的几何意义是动点到定点，的距离之差为 6，由于，所以动点的轨迹 是以，为焦点，长轴长为 6 的双曲线的左支，故方程为， 故选：C． 考虑方程的几何意义是动点到定点，的距离之差为 6，由于，利用双曲线的定义可知动 点的轨迹是以，为焦点，长轴长为 6 的双曲线的左支，从而可求 本题得考点是双曲线的定义，主要考查求动点轨迹方程的方法：定义法．应注意避免增 解．． 11.【答案】D 【解析】解：已知双曲线的右焦点为 F， 若过点 F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， 即有， 由， ， 故选：D． 若过点 F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对 值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围． 本题考查双曲线的性质及其应用，考查离心率的范围的求法，解题时要注意渐近线方程 的运用，考查运算能力，属于中档题． 12.【答案】A 【解析】解：由题意，，，，由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上， 设，则由得， ， 到直线 BC 的距离小于， ， ， ， 双曲线的渐近线斜率的取值范围是． 故选：A． 由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上，设，则由得，求出，利用 D 到直线 BC 的距离小于， 即可得出结论． 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定 D 到直线 BC 的距离是关键． 13.【答案】 【解析】解：，， 则，又当时，， 曲线在点处的切线方程为， 即． 故答案为：． 求出原函数的导函数，得到，再求出，利用直线方程的点斜式得答案． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题． 14.【答案】充分不必要 【解析】解：甲乙，乙丙，丙丁 甲丁 故甲是丁的充分不必要条件 故答案为充分不必要条件 先由已知条件，转化为相互间的推出关系，利用充要条件的定义，判断出结论． 解决一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者是否能推出后者；反之后者是 否能推出前者，利用充要条件定义进行判断． 15.【答案】 【解析】解：抛物线的焦点， 准线方程为， 故圆心到直线的距离即半径等于圆心到焦点 F 的距离， 所以 F 在圆上． 故答案为：． 先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在 动圆上，从而解决问题． 主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知 识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题． 16.【答案】 【解析】解：由椭圆的方程可得，． ；设， 则，，， ， 直线斜率的取值范围是，直线斜率的取值范围是：， 故答案为：： 利用椭圆的性质，求出斜率的乘积为定值，求出即可． 考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，中档题． 17.【答案】解：设圆的参数方程为， ． 恒成立， ， ． 【解析】先将圆的一般式方程转化成参数方程，然后代入所求的表达式中，利用辅助角 公式求出取值范围即可； 将圆的参数方程代入所求的关系式，将参数 a 分离出来，研究不等式另一侧的最值确保 恒成立即可． 本题主要考查了圆的参数方程，以及恒成立问题和正弦函数的值域问题，属于基础 题． 18.【答案】解：由，得，， 由，得，则， 当时，， ； 由 p 是 q 成立的必要不充分条件，得集合 B 是集合 A 的真子集， 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com ，或，解得， 实数 a 的取值范围是． 【解析】求解指数不等式化简 A，求解绝对值的不等式化简 B，取并集得答案； 由 p 是 q 成立的必要不充分条件，得集合 B 是集合 A 的真子集，然后转化为两集合端 点值间的关系求解． 本题考查指数不等式与绝对值不等式的解法，考查并集及其运算，考查充分必要条件的 判定及其应用，是中档题． 19.【答案】解：圆 C：的圆心为，半径， 而圆心 C 到直线 l：的距离，依题意得， ，解得或， ，． 切线过点，设所求切线方程为， 即， 该直线与相切， ，解得， 又， 点在圆 C 外，此时切线应有两条，斜率不存在时，是另一条切线． 所求切线方程为或． 【解析】圆 C 的圆心为，半径，圆心 C 到直线 l：的距离，由直线 l 被圆 C 截得的弦长 为，得，从而，由此能求出 a． 由切线过点，设所求切线方程为，由该直线与相切，求出，由点在圆 C 外，切线应有两 条，斜率不存在时是另一条切线．由此能求出所求切线方程． 本题考查切线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查 推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 20.【答案】解：曲线 C 的参数方程为，转换为直角坐标方程为转换为极坐标方程为． 射线和分别交曲线于异于极点 O 的 A，B， 所以，，所以， 当时，． 【解析】直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换． 利用极径的应用和三角形的面积公式的应用及三角函数关系式的恒等变换和余弦型函 数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的的转换，极径的应用， 三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 21.【答案】解：是 C 上一点且与 x 轴垂直， 的横坐标为 c，当时，，即， 若直线 MN 的斜率为， 即， 即， 即， 则， 即 解得或舍去， 即． Ⅱ由题意，原点 O 是的中点，则直线与 y 轴的交点是线段的中点， 设，， 则，即，解得， 是的中位线， ，即， 由， 则， 解得， 即 设，由题意知， 则 即，即 代入椭圆方程得， 将代入得， 解得，． 【解析】根据条件求出 M 的坐标，利用直线 MN 的斜率为，建立关于 a，c 的方程即可 求 C 的离心率； 根据直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，以及，建立方程组关系，求出 N 的坐标，代入椭圆 方程即可得到结论． 本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键， 综合性较强，运算量较大，有一定的难度． 22.【答案】解：设抛物线方程为，将代入方程得， 抛物线方程为：；由题意知椭圆、双曲线的焦点为，，； 对于椭圆，； 椭圆方程为： 对于双曲线， 双曲线方程为： 设 AP 的中点为 C， 的方程为：，以 AP 为直径的圆交 于 D，E 两点，DE 中点为 H． 令， 当时，为定值； 为定值 此时 的方程为： 【解析】由题意，把点代入抛物线的方程，求得抛物线的方程和焦点坐标，再把点，代 入椭圆和双曲线的标准方程，即可求得结果； 设 AP 的中点为 C， 的方程为：，以 AP 为直径的圆交 于 D，E 两点，DE 中点为 H， 根据垂径定理即可得到方程，探讨该式何时是定值． 此题是个难题．本题考查了椭圆与双曲线抛物线的标准方程即简单的几何性质、直线与 圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能 力．其中问题是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 决问题的能力，