2019-2020学年河南省洛阳市第一高级中学高二9月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省洛阳市第一高级中学高二9月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省洛阳市第一高级中学高二9月月考数学试题 一、单选题 ‎1．函数的定义域是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由解得或，故选D.‎ ‎【考点】函数的定义域与二次不等式.‎ ‎2．中，，则的面积为( )‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用三角形的面积公式直接计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积公式的应用，属于基础题.‎ ‎3．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ）‎ A．31 B．32 C．63 D．64‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．‎ 解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，‎ 所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，‎ 即3，12，S6﹣15成等比数列，‎ 可得122=3（S6﹣15），‎ 解得S6=63‎ 故选：C ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎4．在中，，，，则A等于 A． B．‎ C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由正弦定理得，因,故A等于 ‎【考点】正弦定理 ‎5．在中，内角的对边分别为，且，则角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用余弦定理可直接计算的大小.‎ ‎【详解】‎ 因为，而，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理的应用，属于基础题.‎ ‎6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）‎ A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 ‎【答案】B ‎【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.‎ ‎7．、两点在河的两岸，一测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出、两点的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由∠ACB与∠BAC，求出∠ABC的度数，根据sin∠ACB，sin∠ABC，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．‎ ‎【详解】‎ 在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，即∠ABC=30°，‎ 则由正弦定理，‎ 得AB=‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.‎ ‎8．变量满足条件，则的最小值为（　　）‎ A． B． C．5 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.‎ ‎9．等差数列的前项和为，若，，则使达到最大值的是（ ）‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用，可求出基本量，再考虑何时变号即可得到达到最大值的的值.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，则 ，故，‎ 故，当时，，当时，，‎ 所以当时，最大，故选C.‎ ‎10．已知实数满足，如果目标函数的最小值为则实数的值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出可行域对应的平面区域，平移动直线后可得何时取最小值，从而可求实数的值.‎ ‎【详解】‎ 如图，由 可得的坐标为，‎ 当动直线过时，取最大值，故，‎ 故，所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率．‎ ‎11．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】将代数式与相乘，展开式利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为解不等式，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.‎ 由题意可得，即，解得或.‎ 因此，实数的取值范围是，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎12．已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出的通项，再求出的通项，从而可求，利用参变分离可求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为…，‎ 所以…，‎ 故即，其中.‎ 而令，则，故，.‎ ‎，‎ 故 ‎，‎ 故恒成立等价于即恒成立，‎ 化简得到，因为，故.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 参数的数列不等式的恒成立问题，可以用参变分离的方法构建新数列，通过讨论新数列的最值来求参数的取值范围.‎ 二、填空题 ‎13．在中，，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎【考点】正余弦定理解三角形 ‎14．等比数列的前项和为，已知成等差数列，则等比数列的公比为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 由，，成等差数列得，‎ 即 则所以或（舍），‎ 故答案为.‎ ‎15．已知数列满足，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用累加法求出的通项，再利用双勾函数的性质可求的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，，‎ 所以，‎ 所以，其中，又也符合，‎ 故，，，‎ 因为函数在上为增函数，在为增函数，‎ 故的最小值可在或取得.‎ 当时，；当时，；‎ 故的最小值为，故填.‎ ‎【点睛】‎ 数列的最值的讨论，可借助数列的单调性，也可以研究数列对应的函数的单调性，注意函数的单调性与数列单调性的区别.‎ ‎16．设二次函数的值域为，则的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题知,函数的值域为,又,所以 ‎,当且仅当时取最大值.‎ ‎【考点】二次函数的值域,均值不等式应用.‎ 三、解答题 ‎17．在锐角中，角所对的边分别是，且．‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若的面积，,求的值．‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】(1)利用倍角公式和诱导公式化简题设中的三角函数式，从而可得的值.‎ ‎(2)先求，再利用余弦定理求出，最后利用正弦定理求出.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵,‎ ‎∴，可得， ‎ 解得，或.‎ ‎∵为锐角三角形，∴，∴．‎ ‎(2)∵，可得. ‎ 又,可得. ‎ 在中，由余弦定理可知，，‎ ‎∴.‎ 在中，由正弦定理可知,.‎ ‎【点睛】‎ 三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.‎ ‎（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；‎ ‎（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；‎ ‎（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.‎ ‎18．设函数．‎ ‎(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】(1)利用判别式可求实数的取值范围，注意二次项系数的讨论.‎ ‎(2)就三种情况讨论函数的最值后可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)要使恒成立，‎ 若，显然； ‎ 若，则有，，‎ ‎∴．‎ ‎(2)当时，显然恒成立； ‎ 当时，该函数的对称轴是，在上是单调函数．‎ 当时，由于，要使在上恒成立，‎ 只要即可,即得，即； ‎ 当时，由于函数在上恒成立，只要即可，‎ 此时显然成立.‎ 综上可知．‎ ‎【点睛】‎ 一元二次不等式的恒成立问题，可以转化为函数的最值进行讨论，必要时需要考虑对称轴的不同位置.‎ ‎19．已知数列的前n项和为，满足。‎ ‎(1)证明：数列}是等比数列。并求数列的通项公式。‎ ‎(2)若数列满足，设是数列的前n项和。求证：。‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】（1）代入n=1，求得首项；再用递推法求得，再利用构造数列的方法可证明求得为等比数列。根据首项与公比，可求得数列的通项公式。‎ ‎（2）根据，可求得数列的通项公式为，进而得到数列为等差数列与等比数列乘积的形式，再利用错位相减法求得，最后可证明不等式成立。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由得，‎ 当时，，①‎ 当时，，则，‎ 则当，时，。②‎ ‎①－②，得，‎ 即，‎ 所以，所以，‎ 所以是以为首项，以2为公比的等比数列。‎ 所以，所以。‎ ‎(2)由，‎ 得 ，‎ 则， ③ ‎ ‎ ，④‎ ‎③－④，得 ‎.‎ 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用递推法求数列的递推公式，再利用构造数列的方法证明数列是等比数列，再根据错位相减法求数列的前n项和，计算量较大，易错，属于中档题。‎ ‎20．在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 ‎(Ⅰ) 求角C的大小;‎ ‎(Ⅱ) 若c=2，求使ΔABC面积最大时，a, b的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）本小题首先要注意三角形的内角和为，因此，又由正弦定理，有，实现边化角的目的，则因此有，又由比例的性质及两角和的正弦公式前式可化为，约去，可得关于角C的三角式子，结合角C的取值范围即可得角C；（2）本小题从余弦定理入手，可得，利用重要不等式（当且仅当a=b时取等号）化为则有，又三角形面积为即可求得其最大值．‎ 试题解析：(1)‎ 由题意及正弦定理 即 从而 又 ‎(2) 由余弦定理 即 ‎(当且仅当时成立)‎ ΔABC面积最大为，此时 故当时，ΔABC的面积最大为．‎ ‎【考点】正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式，重要不等式（当且仅当a=b时取等号），三角形面积为．‎ ‎21．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.‎ ‎（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？‎ ‎（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？‎ ‎【答案】（1）500（2）(0，．‎ ‎【解析】试题分析：设调整名工人从事第三产业，由于剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高，要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则 ‎，解出，最多调整500名员工从事第三产业；第二步从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，‎ 若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润：‎ 所以，所以，即恒成立，由于，当且仅当时取等号，所以的最小值为；又，所以．‎ 试题解析：（1）设调整名工人从事第三产业，由题意，得，即，又x＞0，所以．即最多调整500名员工从事第三产业 ‎（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，所以 ‎，所以，即恒成立，‎ 因为，当且仅当＝，即时等号成立，所以，又，所以．‎ 所以a的取值范围为 ‎【考点】函数应用题 ‎22．已知公差不为的等差数列的首项为1，前项和为，且数列是等差数列．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，问：均为正整数，且能否成等比数列？若能，求出所有的和的值；若不能，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) . (2) 当且仅当时，成等比数列．‎ ‎【解析】(1)利用的前3项为等差数列可求出公差，从而可求的通项公式.‎ ‎(2)假设成等比数列，则有，当时，数列为递减数列，从而可判断出当时，总有，从而无正整数解，可检验满足要求.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)设等差数列的公差为.‎ 因为，所以，‎ 从而.‎ 因为数列是等差数列，所以，‎ 即，‎ 化简得.‎ 而，所以,故. ‎ ‎(2)假设存在正整数组和，使成等比数列,‎ 则成等差数列， ‎ 于是，所以. （）‎ 易知满足（）. ‎ 因为，且时，,‎ 所以数列(,)为递减数列， ‎ 于是，‎ 所以，当时，不存在正整数组和满足（）. ‎ 综上，当且仅当时，成等比数列．‎ ‎【点睛】‎ 等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．数列不定方程的整数解问题，常常利用一些简单的初等数论的知识，从奇偶性分析、整除性等考查解的情况，有时还需要利用数列的单调性来探求这些整数解.‎