湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期10月联考 理科数学试题

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荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟 ‎2019届高三10月联考 理科数学试题 ‎ ‎ 本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将答题卡交回。‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）‎ ‎1．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．下列命题中错误的是 A．命题“若，则”的逆否命题是真命题 B．命题“”的否定是“”‎ C．若为真命题，则为真命题 D．使“”是“”的必要不充分条件 ‎ ‎4．若，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎5．已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎6．若将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于原点对称，则最小时，‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数，若，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．‎ 加油时间 加油量(升)‎ 加油时累计里程(千米)‎ ‎2018年10月1日 ‎12‎ ‎35000‎ ‎2018年10月15日 ‎60‎ ‎35600‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 ‎ ‎9．平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，若，且，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数（为自然对数的底），则的大致图象是 ‎ A B C D ‎11．已知函数，分别为的内角所对的边，且，则下列不等式一定成立的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎12．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．函数的图象恒过定点, 点在幂函数的图象上，则 ．‎ ‎14．若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． ‎ ‎15．已知命题，命题，若为真命题，则实数 的取值范围为 ．‎ ‎16．已知，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 如图,是直角斜边上一点,．‎ ‎（Ⅰ）若，求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求的长．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：‎ 该函数模型如下：‎ 根据上述条件，回答以下问题：‎ ‎（Ⅰ）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？‎ ‎（Ⅱ）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）‎ ‎（参考数据：）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若时,恒成立，求实数的取值范围； ‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为：为参数)，曲线的极坐标方程为:．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点, 求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若，求实数的取值范围．‎ ‎ 荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟 ‎2019届高三10月联考理科数学参考答案 一． 选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C B A D C C A C A D 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：（Ⅰ）在△ABC中,根据正弦定理,有. ‎ 因为,所以.………………………………3分 又 所以. ‎ 于是,所以. ……………………………………6分 ‎（Ⅱ）设,则,,.‎ 于是,, ………………………………………9分 在中,由余弦定理,得 ,‎ 即,得，故 ．………12分 ‎18．证明：（Ⅰ）连接，交于点，设中点为，连接．‎ 因为，分别为，的中点，所以，且，‎ 因为，且，所以，且． ‎ 所以四边形为平行四边形，所以，即． 2分 因为平面，平面，所以．‎ 因为是菱形，所以．‎ 因为，所以平面． 4分 因为，所以平面．‎ 因为平面，所以平面平面． 5分 ‎（Ⅱ）因为直线与平面所成角为，所以，所以． ‎ 所以，故△为等边三角形．设的中点为，连接， ‎ 则．以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐 标系． 7分 则，，，，‎ ‎．‎ 设平面的法向量为，则即 令，则所以．…………………………………………9分 设平面的法向量为，‎ 则即令则所以．‎ ‎，‎ 设二面角的大小为，由于为钝角，所以， 11分 即二面角的余弦值为． 12分 ‎19．解：（Ⅰ）由图可知，当函数取得最大值时，，…………………1分 此时，……………………………………………………………2分 当，即时，函数取得最大值为．………………4分 故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值毫克/百毫升．………………5分 ‎（Ⅱ）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时．‎ 由，得， …………………………………………………7分 两边取自然对数，得 ………………………………………………………8分 即，所以， …………………………………11分 故喝啤酒后需个小时后才可以合法驾车．………………………………………………12分 注：如果根据图象猜6个小时，可给结果分2分．‎ ‎20．解：（Ⅰ）由已知得，∴，则的方程为；...........4分 ‎（Ⅱ）假设存在点,使得为定值，‎ 当直线的斜率不为时，可设直线的方程为，‎ 联立, 得..............................................................6分 设，则，............................7分 ‎ ‎ ‎ .............................................................................9分 要使上式为定值, 即与无关，应有 解得，此时．.................................................................................11分 当直线的斜率为时，不妨设，当的坐标为时 综上，存在点使得为定值．.……………………………………12分 ‎21．解:（Ⅰ）法一：若时, 则..................................................1分 ‎，在上单调递增，‎ 则................................................................................................................. .....3分 则在上单调递增，..............................................................4分 ① 当，即时，，则在上单调递增，‎ ‎ 此时，满足题意................................................................................................5分 ‎②若,由在上单调递增，‎ 由于，.‎ 故,使得. 则当 时,,‎ ‎∴函数在上单调递减. ∴,不恒成立.舍去．‎ 综上所述,实数的取值范围是. ............................................ .....................................7分 法二：若时, 则...................................................................................1分 ① ‎，令，则，在上单调递增，‎ 则，故．………………………………………………….... .... .... ...3分 ‎∴.‎ ‎∴函数在区间上单调递增. ∴，成立.......….............5分 ‎②若,由.‎ ‎∴函数在上单调递增.‎ 由于，.‎ 故,使得. 则当时,,‎ ‎∴函数在上单调递减. ∴,不恒成立.舍去．‎ 综上所述,实数的取值范围是. .........................................................................7分 ‎（Ⅱ）证明:由(Ⅰ)知,当时,在上单调递增.‎ ‎...................... ........ ..................... ........................ ...................................... .....................9分 则,即. ∴. ‎ ‎∴,即.............................................................................................. .....12分 ‎22.解：（Ⅰ）., 由,得, ‎ 所以曲线的直角坐标方程为,‎ 由,消去解得：.所以直线l的普通方程为．………5分 ‎（Ⅱ）把 代入, 整理得,‎ 设其两根分别为 ，则 ‎． .……………………………………………10分 亦可求圆心到直线的距离为，从而．‎ ‎23．解：（Ⅰ）可化为， 所以，所以，‎ 所以所求不等式的解集为．………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）因为函数在上单调递增，‎ ‎，，.‎ ‎ 所以 所以，所以，所以.‎ 即实数的取值范围是．……………………………………………………………10分