2020届校联盟（全国i卷）高三上学期12月教育教学质量监测考试数学（理）试题（解析版）

2020届校联盟（全国i卷）高三上学期12月教育教学质量监测考试数学（理）试题（解析版）

‎2020届校联盟（全国i卷）高三上学期12月教育教学质量监测考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据复数的除法运算法则先计算出，再减去，即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法运算，属于容易题.‎ ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解不等式，确定集合，解不等式，确定集合，再将集合与集合求交集，即可.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，，则，故.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，属于较易题.‎ ‎3．记等比数列的前n项和为，若,，则（ ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等比数列的通项公式求出即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设等比数列的公比为q，‎ 依题意，，‎ 解得或，‎ 则或．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎4．设向量m，n满足，现有如下命题：命题的值可能为9；命题“”的充要条件为“”；则下列命题中，真命题为（ ）‎ A．p B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先判断命题与命题的真假，再由简单逻辑联接词连接命题的真假表即可判断.‎ ‎【详解】‎ 依题意，的最大值为8，即向量m，n共线反向时取得，故命题p为假；‎ ‎，故命题q为真；‎ 故为真．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的真假判断以及简单逻辑联接词联接命题的真假表，属于基础题.‎ ‎5．记抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，若，且，则抛物线C的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据中点坐标公式求出点，代入抛物线方程求出即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，故点N为线段MF的中点；‎ 因为，则，‎ 代入中，得，即．解得．‎ 故抛物线C的准线方程为．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求抛物线的准线方程，需熟记抛物线的定义，属于基础题.‎ ‎6．函数在上的图象大致为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先判断函数的奇偶性，排除C；再验证的值，排除B，D，即可.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C；，排除B，D.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象问题.此类问题可根据函数的单调性、奇偶性、特值检验，通过排除法解决.属于中档题.‎ ‎7．元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗“我有一壶酒携着游春走，遇店添一倍，开始逢友饮一斗，”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若入的的值为，输出的值为9则判断框中可以填（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的与值，当时退出循环，因此判断框可填入条件.‎ ‎【详解】‎ 运行该程序，第一次，，，第二次，，，第三次，，，第四次，，，第五次，，，此时，需要输出的值，观察可知.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程，判断程序运行的值是解题的关键.属于较易题.‎ ‎8．2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款，法国8款，荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国．A地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区有6家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、乙、丙3名检测员分别负责进行检测，每人至少抽检1家商店，且检测过的商店不重复检测，则甲检测员检测2家商店的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意分类讨论三人各检测的数量分配，求出所以情况的数量，再求出满足甲检测2家商店的情况数量，根据古典概型概率的求法即可求解.‎ ‎【详解】‎ 若3人检测的数量为2：2：2，则所有的情况为种，‎ 若3人检测的数量为3：2：1，则所有的情况为种，‎ 若3人检测的数量为4：1：1，则所有的情况为种，‎ 故所有的情况为540种，其中满足甲检测2家商店的情况为种，‎ 故所求概率.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考了排列组合在实际中的应用以及古典概型概率的求法，属于基础题.‎ ‎9．已知正方体中，点是线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则直线，所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取线段上靠近的三等分点，过点作，且 ‎，连接，，故，，则，即异面直线，所成角的为，分别计算长度，由余弦定理，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 取线段上靠近的三等分点，过点作，且，连接，，，故；，所以，则即为直线，的所成角；不妨设，则，，，故.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的余弦值，解决此类问题的关键在于将异面直线的夹角通过平移转化为共面直线的夹角.属于中档题.‎ ‎10．已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意首先求出函数的周期为4，从而求出；再由函数的奇偶性即可求出，由，代入解析式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 故函数的周期为4，则；‎ 而，由可得；‎ 而,‎ 解得．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性和周期性求函数值以及根据函数值求参数值，属于中档题.‎ ‎11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过引直线l交双曲线C的渐近线于y轴右侧P，Q两点，其中，记的内心为M．若点M到直线PQ的距离为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意设P，Q分别在第一象限、第四象限；由的内心为M．‎ 过点M分别作，垂足为N，，垂足为T，可得四边形MTPN为正方形，焦点到渐近线的距离为b，可知，，从而可求得渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 不妨设P，Q分别在第一象限、第四象限；则M在角平分线上，‎ 过点M分别作，垂足为N，，垂足为T，‎ 由可得四边形MTPN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b，得；‎ 又，故，故，故，故,‎ 故所求渐近线方程为．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，其中，若在上恒成立，则 的最大值为（ ）‎ A． B．0 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意求出，根据恒成立求出的范围，从而由求出的取值范围，进而求出答案.‎ ‎【详解】‎ 因为,故；‎ 由，即，‎ 得，，‎ 故，，‎ 故，解得，；‎ 又，故，‎ 故，‎ 故的最大值为0．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数中不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 利用切线的斜率是函数在切点处导数,求出切线斜率,再利用直线方程的点斜式,即可求出切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 函数在处的切线斜率为，‎ 又切点坐标为，‎ 切线方程为．‎ 故答案为:．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎14．已知实数，满足，则的最大值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出可行域，平移目标函数，根据图象，确定最大值即可.‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示；观察可知，当直线过点时，有最大值；联立，解得，故的最大值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划问题，属于较易题.‎ ‎15．记等差数列的前n项和为，若，，则的前n项和______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由等差数列的通项公式以及前项和公式代入可求得，再由分组求和即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为是等数差数列，，而，‎ 所以，解得，，则，；‎ 数列构成首项为9，公差为9的等差数列；‎ 若n为偶数，则，‎ 若n为奇数，则T ‎ ‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项公式以及分组求和，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎16．已知三棱锥P-ABC中，是面积为的等边三角形，，则当点C到平面PAB的距离最大时，三棱锥P-ABC外接球的表面积为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先确定当平面平面PAB时，三棱锥P-ABC的体积达到最大；‎ 然后作出球的球心求出半径，即可求出外接球的表面积.‎ ‎【详解】‎ 当平面平面PAB时，三棱锥P-ABC的体积达到最大；‎ 记点D，E分别为，的外心，并过两个三角形的外心作三角形所在平面的垂线，两垂线交于点O，‎ 则点O即为三棱锥P-ABC外接球的球心，AO即为球的半径；‎ 因为﹐故；‎ 在中，，则，‎ 由正弦定理可，故，‎ 记AB的中点为F，则，‎ 故，‎ 故外接球的表面积．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查立体几何中球的外接内切问题、正弦定理解三角形，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求A的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值以及周长的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）面积的最大值为，周长最大值为 ‎【解析】（1）利用正弦定理边化角以及余弦定理即可求解.‎ ‎（2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，，‎ 故,即，‎ 由余弦定理得，，故，因为，故；‎ ‎（2）由余弦定理，，即，‎ 当且仅当时等号成立；‎ 故的面积，‎ 故面积的最大值为.‎ 而，‎ 故，当且仅当时等号成立；‎ 故的周长 故周长的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式以及基本不等式，在运用基本不等式时注意验证等号成立的条件，属于基础题.‎ ‎18．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是菱形，，，点P，Q，M分别是线段SD，PD，AP的中点，点N是线段SB上靠近B的四等分点．‎ ‎（1）若R在直线MQ上，求证：平面ABCD；‎ ‎（2）若平面ABCD，求平面SAD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）利用面面平行的判定定理、面面平行的性质定理即可证出.‎ ‎（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设，求出平面SBC的一个法向量与平面SAD的一个法向量，利用向量的数量积即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，，故，‎ 而平面ABCD，平面ABCD，故平面ABCD；‎ 因为，故，‎ 而平面ABCD，平面ABCD，故平面ABCD；‎ 因为，故平面平面ABCD；‎ 因为平面QMN，故平面ABCD；‎ ‎（2）如图，‎ 以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，‎ 设平面SBC的一个法向量为，则，‎ 取，可得，‎ 易知平面SAD的一个法向量，‎ 设平面SAD与平面SBC所成锐二面角为，则，‎ ‎∴平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查面面平行的判定定理、面面平行的性质定理以及空间向量求二面角，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19．为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？‎ 不合格 合格 男生 ‎14‎ ‎16‎ 女生 ‎10‎ ‎20‎ ‎（1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？‎ ‎（2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望．‎ 附：‎ ‎0．100‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎2．703‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ ‎【答案】（1）没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关；（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】（1）根据独立性检验的思想即可判断.‎ ‎（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，X的可能取值为，求出各随机变量的概率，列出分布列即可求出期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）完善列联表如下所示：‎ 不合格 合格 合计 男生 ‎14‎ ‎16‎ ‎30‎ 女生 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎24‎ ‎36‎ ‎60‎ ‎，‎ 故没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关．‎ ‎（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，故X的可能取值为，‎ ‎,,,‎ ‎,，‎ 故X的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立性检验以及数学期望，解题的关键是列出列联表和分布列，属于基础题.‎ ‎20．已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，点 在椭圆C上，延长交椭圆于N点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）P，Q为椭圆上的点，记线段MN，PQ的中点分别为A，B（A，B异于原点O），且直线AB过原点O，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为3‎ ‎【解析】（1）利用待定系数法以及椭圆的离心率即可求解.‎ ‎（2）由（1）可知，可求，与椭圆联立，设，，根据设而不求的思想求出，设直线，‎ 与椭圆方程联立，由弦长公式以及点到直线的距离公式求出面积表达式，借助基本不等式即可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，，‎ 解得，，故椭圆C的方程为；‎ ‎（2）由（1）可知，，故直线，‎ 设，，则，两式相减得，‎ 因为PQ不过原点，所以，即，‎ 同理：，‎ 又因为直线AB过原点O，所以，所以，‎ 设直线，‎ 由得，‎ 由，得，‎ 由韦达定理得，，‎ 所以,‎ 又因为到直线PQ的距离，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以面积的最大值为3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎21．已知函数，．‎ ‎（1）若，求函数的最值；‎ ‎（2）讨论函数的零点个数．‎ ‎【答案】（1）最小值为，最大值为1；（2）当或时，在内有1个零点；当时，在内无零点．‎ ‎【解析】（1）求出导函数，令，求出极值，再求出端点值即可求解. ‎ ‎（2）由题意将问题转化为函数的零点个数，对求导，根据导函数结合定义域分三种情况讨论①当时；②当时；③当时，分别求出函数的最值和单调区间，从而可判断出函数零点的个数.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，则，，‎ 令，解得；‎ 而，，，‎ 故函数的最小值为，最大值为1．‎ ‎（2）令，‎ 因为，故，‎ 令，故问题转化为函数的零点个数；‎ 而，‎ ‎①当时，即，当时，，‎ 故在上单调递减，‎ ‎，，‎ 故当，即时，在上恒成立，‎ 当时，在内无零点；‎ 当，即，‎ 即时，，‎ 由零点存在性定理可知，此时在内有零点，‎ 因为函数在内单调递减，此时在内有一个零点；‎ ‎②当时，即，当时，，在上单调递增，‎ ‎，，‎ 故当，即时，，‎ 由零点存在性定理，此时在内有零点，‎ 因为在内单调递增，故仅有1个零点；‎ 当时，，此时在内无零点；‎ ‎③当时，即，‎ 当时，，‎ 当时，．‎ 则函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 故，‎ 故，此时在内无零点；‎ 综上所述，当或时，在内有1个零点；‎ 当时，在内无零点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数在函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于，两点.‎ ‎（1）求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）：，：；（2）‎ ‎【解析】（1）将，相加，消去参数，整理得直线的普通方程；在方程两边同时乘以，再利用转化为直角坐标方程即可. ‎ ‎（2）将直线的参数方程为（为参数），代入曲线的直角坐标方程，利用参数的几何意义求解，即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，直线：；曲线：，即；‎ ‎（2）依题意，直线的参数方程为（为参数），‎ 代入中，可得，设，对应的参数分别为，，‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程的几何意义.属于中档题.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）或；（2）见解析 ‎【解析】（1）分类讨论；；；分别求解，再取并集，即可.‎ ‎（2）确定分段函数的最小值，再加上，变形整理为，根据均值定理证明，即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，；‎ 当时，原式化为，解得；‎ 当时，原式化为，解得，故；‎ 当时，原式化为，解得，故；‎ 综上所述，不等式的解集为或.‎ ‎（2）依题意，，所以，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法，以及均值定理证明不等式.属于中档题.‎