数学理卷·2018届黑龙江哈尔滨市第三十二中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届黑龙江哈尔滨市第三十二中学高三上学期期中考试（2017

绝密★启用前 哈尔滨市第三十二中学校2017-2018学年度上学期 高三理科期中考试 考试范围：高三一轮复习；考试时间：120分钟 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（共12道，每题5分）‎ ‎1．集合A={x|x2+2x＞0}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（　　）‎ A. （﹣3，1） B. （﹣3，﹣2） C. R D. （﹣3，﹣2）∪（0，1）‎ ‎2．已知复数满足 为虚数单位），则 A. B. C. D. ‎ ‎3．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知平面向量， 且，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．设命题,则为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6．（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．将写为根式，则正确的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．函数y＝ logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是(　　)‎ A. 5 B. C. D. ‎ ‎9．在等差数列中，若，则等于（ ）‎ A. 15 B. 20 C. 25 D. 30‎ ‎10．如图，当输入的x值为5时，则输出的结果 （ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎11．等于(　　)‎ A. －1 B. 1 C. D. ‎ ‎12．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)＝x,则函数y＝f(x)-log3|x|的零点个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（共4道，每题5分）‎ ‎13．曲线在点处切线的斜率为_________________.‎ ‎14．等比数列的前项和为， ， ，则=___________.‎ ‎15．已知， ， 与的夹角为．则__________．‎ ‎16．在中，已知，则边长_________.‎ 三、解答题（共6道，前5题每题12分，最后1题10分）‎ ‎17．在中，内角的对边分别为，向量，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18．已知数列的前项和为，且满足， ‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎19．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为.‎ ‎（1）求正方体各顶点的坐标；‎ ‎（2）求的长度.‎ ‎20．为迎接党的“十九”大的召开，某校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”党史知识竞赛，从参加考试的学生中抽出50名学生，将其成绩（满分100分，成绩均为整数）分成六段， ，…， 后绘制频率分布直方图（如下图所示）‎ ‎（Ⅰ）求频率分布图中的值；‎ ‎（Ⅱ）估计参加考试的学生得分不低于80的概率；‎ ‎（Ⅲ）从这50名学生中，随机抽取得分在的学生2人，求此2人得分都在的概率.‎ ‎21．设与是函数的两个极值点.‎ ‎（1）试确定常数和的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎22．选修4-5：不等式选讲 设函数（），．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围．‎ 绝密★启用前 哈尔滨市第三十二中学校2017-2018学年度上学期 高三理科期中考试标准答案 一、选择题（共12道，每题5分）‎ ‎1．（本题5分）集合A={x|x2+2x＞0}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（　　）‎ A. （﹣3，1） B. （﹣3，﹣2） C. R D. （﹣3，﹣2）∪（0，1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】解+2x>0得： 或解+2x3<0得： ‎ 所以易知A∩B=(3, 2)∪(0，1)‎ 故选D ‎2．（本题5分）已知复数满足 为虚数单位），则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴‎ 故选：C ‎3．（本题5分）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题,‎ ‎4．（本题5分）已知平面向量， 且，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,选B.‎ ‎5．（本题5分）设命题,则为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵命题 ‎∴为： ‎ 故选：C ‎6．（本题5分）（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，选A ‎7．（本题5分）将写为根式，则正确的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】将写为根式，结果应是2次根下5的立方，所以 故选D．‎ ‎8．（本题5分）函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是(　　)‎ A. 5 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图可知，对数函数y＝logax单增，所以有.‎ 故选A.‎ ‎9．（本题5分）在等差数列中，若，则等于（ ）‎ A. 15 B. 20 C. 25 D. 30‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质得，所以。故。选B。‎ ‎10．（本题5分）如图，当输入的x值为5时，则输出的结果 （ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】输入，不满足条件，有；不满足条件有， ，满足条件，‎ 所以.‎ 故选D.‎ ‎11．（本题5分）等于(　　)‎ A. －1 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，故选D.‎ ‎12．（本题5分）若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)＝x,则函数y＝f(x)-log3|x|的零点个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为f(x＋2)＝f(x),所以f(x)的周期为2;而f(x)为偶函数,所以f(x＋2)＝f(x)=f(-x),即f(x)的对称轴为y轴;结合x∈[0,1]时,f(x)＝x,画出函数f(x)的草图,及y=log3|x|的图像(如图所示);由图像可得:y=log3|x|与y=f(x)的图像有4个交点,所以函数y＝f(x)-log3|x|的零点个数是4.‎ 本题选择C选项.‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（共4道，每题5分）‎ ‎13．（本题5分）曲线在点处切线的斜率为_________________.‎ ‎【答案】2e ‎【解析】. 时有： .‎ 即曲线在点处切线的斜率为.‎ ‎14．（本题5分）等比数列的前项和为， ， ，则=___________.‎ ‎【答案】510；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎【解析】由题 ‎ ‎15．（本题5分）已知， ， 与的夹角为．则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以 。答案： 。‎ ‎16．（本题5分）在中，已知，则边长_________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由余弦定理得 三、解答题（共6道，前5题每题12分，最后1题10分）‎ ‎17．（本题12分）在中，内角的对边分别为，向量，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)向量垂直的充要条件为数量积等于0，结合平面向量数量积的坐标运算得到三角方程，求解三角方程可得；‎ ‎(2)利用正弦定理边化角，然后结合(1)中的结论得到三角恒等式，整理计算可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，则.‎ ‎∵，∴，∴，‎ 则，又，∴，则.‎ ‎（2）∵，∴.‎ ‎∵，∴，‎ 即.‎ ‎∵上式不成立，即，‎ ‎∴.‎ ‎18．（本题12分）已知数列的前项和为，且满足， ‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由和项与通项关系求，注意验证是否满足（2）先根据，利用裂项相消法求前项和.‎ 试题解析：解：（1）根据题意可得：‎ ‎ （2）设的前项和为 ‎ 由（1）得：‎ ‎ 则 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎19．（本题12分）如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为.‎ ‎（1）求正方体各顶点的坐标；‎ ‎（2）求的长度.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标；（2）要求空间中两点的距离，可直接利用空间两点的距离公式求解出来.‎ 试题解析：（1）正方体各顶点的坐标如下：‎ ‎.‎ ‎（2）解法一：.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 解法二：∵，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 在中，，‎ ‎∴.‎ ‎20．（本题12分）为迎接党的“十九”大的召开，某校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”党史知识竞赛，从参加考试的学生中抽出50名学生，将其成绩（满分100分，成绩均为整数）分成六段， ，…， 后绘制频率分布直方图（如下图所示）‎ ‎（Ⅰ）求频率分布图中的值；‎ ‎（Ⅱ）估计参加考试的学生得分不低于80的概率；‎ ‎（Ⅲ）从这50名学生中，随机抽取得分在的学生2人，求此2人得分都在的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由频率和为1，列方程可求出；（2）用样本得分不低于80的频率估计参加考试的学生得分不低于80的概率，（3）通过列举出所有可能结果，应用古典概型概率计算方法求出概率.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，所以 ‎（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名学生得分不低于80的频率为，‎ 所以参加考试的学生得分不低于80的概率的估计值为.‎ ‎（Ⅲ）所抽出的50名学生得分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为;‎ 得分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为.‎ 从这5名学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是 又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为.‎ ‎21．（本题12分）设与是函数的两个极值点.‎ ‎（1）试确定常数和的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先对函数进行求导，根据可求出和的值． （Ⅱ）将和的值代入导函数，然后根据函数的单调性与其导函数之间的关系可判断函数的单调性．‎ 试题解析：‎ ‎（1） ‎ 由题意可知： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎22．（本题10分）选修4-5：不等式选讲 设函数（），．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，不等式等价于对与大小关系讨论；（2）恒成立等价于恒成立，令，只要的最小值大于等于即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，‎ 无解；‎ 解得；‎ 解得．‎ 综上，不等式的解集为．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（2），转化为，‎ 令，‎ 因为，所以 在下易得，令，得．‎ 考点：1、函数基本性质；2、恒成立问题；3、含有绝对值的不等式．‎