北京市2020届高三高考数学押题仿真卷（五）（Word版附答案）

北京市2020届高三高考数学押题仿真卷（五）（Word版附答案）

1 2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（五） 本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 若集合  0,1,2A  , 2{ | 3}B x x  ，则 A B = （A） （B）{ 1,0,1} （C）{0,1,2} （D）{0,1} 2. 下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是 （A） 1y x   （B） lny x （C） siny x （D） 1, 0 1, 0 x xy x x      3. 已知函数 π( ) 2sin( )3f x x    ,则“ 2π 3   ”是“ ( )f x 为奇函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 4. 函数 ( )=sin2 3cos2f x x x 在区间 π π[ , ]2 2  上的零点之和是 （A） π 3  （B） π 6  （C） π 6 （D） π 3 5. 已知函数 ( )f x 是定义域为 R 的奇函数,且 (1) 2f   ,那么 ( 1) (0)f f   （A） 2 （B） 0 （C）1 （D） 2 6. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面中最大面积是 （A） 3 2 （B） 2 （C） 5 2 （D）1 2 7. 5 2 12 ）（ x x  的展开式中， 1x 项的系数是（ ） （A） 20 （B） 40 （C） 80 （D） -120 8. 若 ,a b 是函数 2( ) ( 0, 0)f x x px q p q     的两个不同的零点,且 , , 2a b  这三个数适当排序后可成 等差数列,且适当排序后也可成等比数列,则 a b 的值等于 （A）1 （B） 7 （C） 6 （D）5 9. 曲线 xxy 33  过点 )2,1(  的切线条数为 （A）1条 （B）2 条 （C）3条 （D） 4 条 10. 正方体 1111 DCBAABCD  的棱长为1，底面 ABCD 内任一点 M ，作 BCMN  ， 垂足为 N ，满足条件 1|||| 22 1  MNMA .则点 M 的轨迹为 （A）双曲线线的一部分 （B）椭圆的一部分 （C） 抛物线的一部分 （D）圆的一部分 答案：1-5 DDABD 6-10 ACBBC 3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 设i 为虚数单位,如果复数 Z 满足 iZi  )1( ,那么 Z 的共轭复数 Z 的模长为 ______ . 答案 2 2 （12）已知 0, 0x y  ,且 2 4 4x y  ，则 xy 的最大值为 ______ . 答案 1 2 （13）如右图,正方形 ABCD 中, E 为 DC 的中点,若 AB AC AE     , 则  的值为 ______ . 答案 8 （14）已知 ( )f x 和 ( )g x 在定义域内均为增函数,但 ( ) ( )f x g x 不一定是增函数, 例如当 ( )f x  ______ 且 ( )g x  ______ 时, ( ) ( )f x g x 不是增函数. 答案 3)(,)( xxgxxf  （答案不唯一） （15）已知函数 cbxaxxxf  23)( 的导函数 )(xfy  的图像如图所示，给出下列三个结论： ① )(xf 的单调递减区间是 )3,1( ； ②函数 )(xf 在 1x 处取得极小值； ③ 9,6  ba . 正确的结论是____________ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 答案 ①③ 4 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 已知_________，函数  f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2  ． （Ⅰ）若0 2   ，且 2sin 2   ，求  f  的值； （2）求函数  f x 在 0,2 上的单调递减区间． 在①函数    1 sin 2 0,2 2f x x           的图象向右平移 12  个单位长度得到  g x 的图象，  g x 图象关于原点对称； ②向量  3sin ,cos2m x x  ，  1 1cos , , 0,2 4n x f x m n           ； ③函数   1cos sin 6 4f x x x         0  这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解方案一： 选条件① 5 由题意可知， 2 2T    ， 1     1 sin 22f x x    ，   1 sin 22 6g x x        ， 又函数  g x 图象关于原点对称， ,6k k Z     ， 2   ， 6   ，   1 sin 22 6f x x       ， （Ⅰ） 20 ,sin2 2     ， 4   ，   4f f        1 2sin2 3  3 4  ； （Ⅱ）由 32 2 2 ,2 6 2k x k k Z         ，得 2 ,6 3k x k k Z        ， 令 0k  ，得 2 6 3x   ，令 1k  ，得 7 5 6 3x   ， 函数  f x 在 0,2 上的单调递减区间为 2 7 5, , ,6 3 6 3               ． 方案二：选条件②   1 13sin ,cos2 , cos ,2 4m x x n x           ，  f x m n    3 1sin cos cos22 4x x x    1 3 1sin 2 cos22 2 2x x       1 sin 22 6x      ，又 2 2T    ， 1  ，   1 sin 22 6f x x       ， （Ⅰ） 20 ,sin2 2     ， 4   ，   4f f        1 2sin2 3  3 4  ； 6 （Ⅱ）由 32 2 2 ,2 6 2k x k k Z         ，得 2 ,6 3k x k k Z        ， 令 0k  ，得 2 6 3x   ，令 1k  ，得 7 5 6 3x   ， 函数  f x 在 0,2 上的单调递减区间为 2 7 5, , ,6 3 6 3               ． 方案三：选条件③   1cos sin 6 4f x x x        1cos sin cos cos sin6 6 4x x x         23 1 1sin cos cos2 2 4x x x    3 1sin 2 cos24 4x x   1 3 1sin 2 cos22 2 2x x       1 sin 22 6x      ， 又 2 2T    ， 1  ，   1 sin 22 6f x x       ， （Ⅰ） 20 ,sin2 2     ， 4   ，   4f f        1 2sin2 3  3 4  ； （Ⅱ）由 32 2 2 ,2 6 2k x k k Z         ，得 2 ,6 3k x k k Z        ， 令 0k  ，得 2 6 3x   ，令 1k  ，得 7 5 6 3x   ． 函数  f x 在 0,2 上的单调递减区间为 2 7 5, , ,6 3 6 3               ． 17. （本小题满分 14 分） 已知 ABCD 为直角梯形， 90 ABCDAB ， SA 平面 ABCD ， 1AD ， 2 BCABSA . 7 （Ⅰ）求异面直线 AB 与 SC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求直线 SA 与平面 SCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角 CSDA  的余弦值. 解：以 A 为坐标原点O ，建立空间直角坐标系 xyzO  . 则 )0,0,0(A ， )0,0,2(B ， )0,2,2(C ， )0,1,0(D ， )2,0,0(S . ………1 分 （Ⅰ） )0,0,1(2)0,0,2( AB ， )1,1,1(2)2,2,2( SC ， 3 3 3 1 |||| ·,cos  SCAB SCABSCAB . 所以异面直线 AB 与 SC 所成角的余弦值为 3 3 . ………4 分 （Ⅱ） )1,1,1(2)2,2,2( SC ， )0,1,2(DC . ………5 分 设平面 SCD 的法向量为 ),,( zyxm  ，则 0· SCm ， 0· DCm . 用坐标表示，得 0)1,1,1(·),,( zyx ， 0)0,1,2(·),,( zyx ， 即      02 0 yx zyx ，令 1x ，得 )1,2,1( m . ………7 分 )1,0,0(2)2,0,0( SA ， 6 6 6 1 |||| ·m,cos  SAm SASAm   . 所以直线 SA 与平面 SCD 所成角的正弦值为 6 6 . ………8 分 8 （Ⅲ）平面 SCD 的法向量 )1,2,1( m ， 平面 SAD 的法向量 )0,0,1(n . 6 6 6 1 |||| n·m,cos  nmnm   . 由图形可知二面角 CSDA  的大小为钝角， 所以二面角 CSDA  的余弦值为 6 6 . ………14 分 （18）（本小题满分 14 分） 2020 年我国全面建成小康社会,其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积 30 平方米.下 表为 2007 年—2016 年中,我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.单位:平方米. （Ⅰ）现从上述表格中随机抽取一年数据,试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的 概率; （Ⅱ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据,求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米 的概率; （Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据.记 2012—2016 年中城镇人 均住房面积的方差为 2 1s ,农村人均住房面积的方差为 2 2s ,判断 2 1s 与 2 2s 的大小.（只需写出结 论）. 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 城 镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6 农 村 23.3 24.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.4 45.8 9 （注:方差 2 2 2 2 1 2 1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn        ,其中 x 为 1x 2x ,…… nx 的平均数） 解（Ⅰ）记事件 A 为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准 2( ) 5P A  所以该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率为 2 5 （Ⅱ）随机抽取连续两年数据:共 9 次. 两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米:共 5 次. 设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米”为事件 A , 因此 5( ) 9P A  （Ⅲ） 2 1s  2 2s . 19. （本小题满分 15 分） 已知函数 ln( ) 1x af x x   . （Ⅰ）当 1a  时,求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程; （Ⅱ）求函数 ( )f x 的单调区间; （Ⅲ）当 1a  时,求函数 ( )f x 在上区间  0,e 零点的个数. 解（Ⅰ）当 1a  时, 2 ln( ) xf x x   , (1) 0f   , 0k  (1) 0f  ,切点(1,0) , 切线方程是 1y  . 10 （Ⅱ） 2 1 ln( ) x af x x    , 令 ( ) 0f x  , 1 ax e  x 、 ( )f x 及 ( )f x 的变化情况如下 x 1(0, )ae  1 ae  1( , )ae   ( )f x  0  ( )f x 增 减 所以, ( )f x 在区间 1(0, )ae  上单调递增, ( )f x 在区间 1( , )ae   上单调递减 （Ⅲ）法一:由（Ⅱ）可知 ( )f x 的最大值为 1 1 1 1( ) a a a ef e e     （1）当 1a  时, ( )f x 在区间 (0,1) 单调递增,在区间 (1, )e 上单调递减 由 (1) 0f  ,故 ( )f x 在区间  0,e 上只有一个零点 （2）当 1a  时, 1a   ,1 0a  , 1 1ae   且 1 1 1 1( ) 0 a a a ef e e      因为 ( ) 0af e  ,所以, ( )f x 在区间  0,e 上无零点 综上,当 1a  时, ( )f x 在区间  0,e 上只有一个零点 当 1a  时, ( )f x 在区间  0,e 上无零点 （Ⅲ）法二: 11 令 ln( ) 1 0x af x x    , ln 1x a x   lna x x  令 ( ) lng x x x  1 1( ) 1 0xg x x x      , 1x  x (0,1) 1  1,e ( )g x  0  ( )g x 减 极小值 1 增 由已知 1a  所以,当 1a  时, ( )f x 在区间  0,e 上只有一个零点 当 1a  时, ( )f x 在区间  0,e 上无零点 20．（本小题满分 14 分） 已知椭圆C 的焦点为 )0,2( 和 )0,2( ，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 24 . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线 )(: Rmmxyl  与椭圆C 交于 BA, 两点.当 m 变化时，求 AOB 面积的最大值（O 为 坐标原点）. 解（Ⅰ）设椭圆的标准方程为 )0(12 2 2 2  bab y a x ， 长轴长 242 a ， 22a ，半焦距 2c ， 4222  cab . ………2 分 椭圆C 的标准方程为 148 22  yx . ………3 分 12 （Ⅱ）      mxy yx 82 22 ，消去 y 并整理，得 08243 22  mmxx . ………5 分 判别式 0)82(34)4( 22  mm ， 解得 3232  m .由题意，知 0m . ………6 分 设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，由韦达定理， 得 3 4 21 mxx  ， 3 82 2 21  mxx . ………7 分 设直线l 与 y 轴的交点为 E ，则 ),0( mE . 所以 AOB 面积 ||||2 1 21 xxmS  . ………9 分 2 21 22 )(4 1 xxmS  ]4)[(4 1 21 2 21 2 xxxxm  ]3 824)3 4[(4 1 2 22  mmm )12(9 2 24 mm  8)6(9 2 22  m )120( 2  m 所以，当 62 m ，即 6m 时， AOB 面积取得最大值 22 . ………14 分 13 21.（本小题满分 14 分） 已知集合 1 2{ | ( , , ), {0,1}, 1,2, , }n n iS X X x x x x i n    …， ( 2)n  . 对于 1 2 1 2( , , , ), ( , , )n n nA a a a B b b b S   … ,定义 A与 B 之间的距离为 1 ( , ) | | n i i i d A B a b    . （Ⅰ） 2,A B S  ,写出所有 ( , ) 2d A B  的 ,A B ; （Ⅱ）任取固定的元素 nI S ,计算集合 { | ( , ) }(1 )k nM A S d A I k k n     中元素个数; （Ⅲ）设 nP S , P 中有 ( 2)m m  个元素,记 P 中所有不同元素间的距离的最小值为 d . 证明: 12n dm   . 20.（本小题满分 14 分） 解（Ⅰ） (1,1) (0,0) A B (1,0) (0,1) A B (0,1) (1,0) A B (0,0) (1,1) A B （Ⅱ）当 1k  时, 0 1 1 1 n nM n C C    当 2k  时, 0 1 2 2 +n n nM C C C  写出 0 1| | k k n n nM C C C    , 特别的,| | 2n nM  . 所以 KM 元素个数为 0 1 2 k n n n nC C C C    14 （Ⅲ）记 1 2 1 21 1' {( , , , ) | ( , , , , , ) }nn d n dP c c c c c c c P       , 我们证明| '| | |P P .一方面显然有| '| | |P P .另一方面, , nA B S  且 A B , 假设他们满足 1 1 2 2 1 1, , , n d n da b a b a b      .则由定义有 ( , ) 1d A B d  , 与 P 中不同元素间距离至少为d 相矛盾. 从而 1 2 1 21 1( , , , ) ( , , , )n d n da a a b b b     . 这表明 'P 中任意两元素不相等.从而| '| | |P P m  . 又 'P 中元素有 1n d  个分量,至多有 12n d  个元素. 从而 12n dm   .证毕. ………14 分