2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期期中考试数学试题 一、填空题 ‎1．命题：“， ”的否定为__________.‎ ‎【答案】， ‎ ‎【解析】 由题意得，根据全称命题与特称命题的关系可知，‎ 命题“”的否定为“”‎ ‎2．不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，不等式可化为，所以不等式的解集为.‎ ‎3．已知数列的前项和为，且，则数列的首项为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 设等差数列的首项为，公差为，‎ ‎ 由，得，所以.‎ ‎4．关于的不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，不等式的解集为，‎ ‎ 要使得不等式成的充分不必要条件是，‎ 则，解得，所以不存在这样的实数，所以实数的取值范围为.‎ ‎5．若正项等比数列满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】 根据等比中项可知，当且仅当 时，等号成立，所以的最小值为.‎ ‎6．若直线上存在点满足条件，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，‎ ‎ 因为过坐标原点，其中表示直线的斜率，‎ ‎ 所以可行域内能使得斜率取得最大值，可行域内能使得斜率取得最小值，‎ ‎ 由，解得，此时，‎ 由，解得，此时，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎7．等比数列的前项和为，已知，则公比=________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】∵，‎ ‎①当时, ，满足条件。‎ ‎②当时,可得.解得.‎ 综上可知： 或.‎ 点睛：等比数列求和公式中当和时，公式不一样，切勿用错.‎ 当时， ；‎ 当时， .‎ ‎8．设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由等差数列的前项和公式，‎ ‎ 可设，‎ 则， ，‎ ‎ 所以.‎ ‎9．某种汽车购车时的费用为万元，每年保险，养路费，汽油费共万元，如果汽车的维修费第年万元，从第年起，每年比上一年多万元，这种汽车最多使用__________年报废量合算（即年平均费用最少）.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】 设这种汽车最多使用年报废最合算，‎ ‎ 用年汽车的总费用为万元，‎ ‎ 故年汽车每年的平均费用为万元，‎ ‎ 当且仅当时等号成立，故汽车使用年报废最合算.‎ ‎10．下列说法中所有正确命题的序号是__________．‎ ‎①“”是“”成立的充分非必要条件；‎ ‎②、，则“”是“”的必要非充分条件；‎ ‎③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；‎ ‎④设等比数列的前项和为，则“”是“”成立的充要条件.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】 对于①中， ，则，所以是的必要不充分条件，所以不正确；‎ 对于②中，由时，则，而当，则成立，所以是的必要不充分条件，所以知正确的；‎ 对于③中，原命题的逆命题与原命题的否命题，互为逆否关系，说以一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真是正确的；‎ 对于④中，在等比数列中，当时， ，即成立，‎ 当时，则，所以，所以在等比数列中， 是的充要条件，所以是正确的，故选②③④.‎ ‎11．设是数列的前项和，且， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .‎ ‎【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式.‎ ‎12．已知实数， 满足约束条件，若（）的最大值为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，‎ ‎ 又且，则且，‎ ‎ 所以当直线过点时，目标函数取得最大值，‎ ‎ 又由，解得，即，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 又，‎ ‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最小值为.‎ ‎ ‎ ‎13．对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由 ‎，又对任意的恒成立 ．‎ ‎【考点】1、数列的通项公式；2、数列的前项和．‎ ‎【方法点晴】本题考查数列的通项公式、数列的前项和，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．先由 ‎，再利用数形结合思想和特殊与一般思想将对任意的恒成立转化为： ．‎ ‎14．已知， 均为正数，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】 由均为正数，且，则，‎ ‎ 又由，‎ ‎ ，‎ 当且仅当，即取等号，‎ ‎ 所以，当且仅当取等号，‎ ‎ 所以，所以.‎ ‎ 点睛：本题考查了不等式是的性质，柯西不等式和基本不等式的应用问题，着重考查了学生的推理和计算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中根据基本不等式求解的最小值，在利用柯西不等式求解是解答关键.‎ 二、解答题 ‎15．设（， ）‎ ‎（1）若不等式的解集为，求， 的值；‎ ‎（2）记，若且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】 试题分析：‎ ‎（1）由题意，根据一元二次方程的根与系数的关系列出方程组，即可求解的的值；‎ ‎（2）由，得出函数的解析式，列出不等式组，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得： ，解得 ‎（2）∵，∴‎ 由题意得： ，解得 ‎16．命题：已知实数， 满足约束条件，二元一次不等式恒成立，‎ 命题：设数列的通项公式为，若，使得．‎ ‎（1）分别求出使命题， 为真时，实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题与真假相同，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）或 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意，画出可行域，结合图象得到当目标函数过点时，目标函数取得最大值，联立方程组，求解点的坐标，代入求解最大值，得出范围，再由基本不等式，看求解为真时的范围即可.‎ ‎（2）因为命题与真假相同，分类讨论，即可求解的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）约束条件，画出可行域，结合图象可得 当目标函数过点时，目标函数取得最大值.‎ 得，则的最大值为.所以命题为真： ‎ 由 （当且仅当，即时取等号.）‎ 所以命题为真： ‎ ‎（2）因为命题与真假相同 ‎①若与同为真：则，∴，②若与同为假，则，∴.‎ 综上： 或.‎ ‎17．设数列的前项和，满足（）；‎ ‎（1）记，求数列的前和.‎ ‎（2）记，且数列的前和为，若不等式，对任意恒成立，求实数的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据数列中与的关系，即可求解数列的通项公式，进而得出的通项公式及数列的前项和.‎ ‎（2）由（1）得 ，利用裂项相消，求得数列的和，即可得到的最小值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为（）当时， ，‎ 当时， ，对适用 所以，所以 所以 ‎（2）因为 ‎ 所以 ‎ 故从而的最小值为 ‎18．服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.‎ ‎（1）将2017年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；‎ ‎（2）该服装厂2017年的促销费用投入多少万元时，利润最大？‎ ‎【答案】（1）（）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意知：每件产品的销售价格为，即可表示出利润关于促销费用的函数关系式.‎ ‎（2）由（1）中的函数关系式，利用基本不等式求最值，即可得出2017年促销费用多少时，利润最大.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知：每件产品的销售价格为 所以 ‎ ‎ （）‎ 所以（）‎ ‎（2）由 ‎ 当且仅当，即时取等号.‎ 又 当时，当时， 有最大值；‎ 当时，易证关于为增函数，所以时， 有最大值；‎ 答：当时，该服装厂2017年的促销费用投入万元时，利润最大；‎ 当时，该服装厂2017年的促销费用投入万元时，利润最大.‎ ‎19．数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，（ ‎ ‎），设 ‎（1）若，求证： 是等比数列，并求出的通项公式；‎ ‎（2）若，又数列满足： ：‎ ‎①求数列的前和；‎ ‎②求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由，得故，进而，可得数列为等比数列，即可求解数列的通项公式；‎ ‎（2）①由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和.‎ ‎②证明：由（1）得，对于给定的，若存在， ，且， ，‎ 得出取，则，使得，得以证明.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为.‎ 故，即，所以 故数列为等比数列，且，所以 ‎（2） ‎ ‎，故数列是以为首项， 为公差的等差数列，‎ 易求出 ‎① ， ‎ 以上两式相减得： ‎ 所以 ‎②证明：由且，知，‎ 对于给定的，若存在， ，且， ，‎ 只需，只需 取，则 所以对于数列中的任意一项，‎ 都存在与，使得，‎ 即数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：对任意， ，都有成立；‎ ‎（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使得整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意令，则，可得，即可求解实数的取值范围； ‎ ‎（2）对任意， ，作差化简，即可.‎ ‎（3）由题意得，由不等式恒成立得且，结合二次函数的图象，分类讨论，即可求解的表达式.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为， 恒成立，令， ，则 所以，解得 ‎（2）对任意， ，‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎（3）对称轴， 由不等式恒成立得且 因为，当，即时，则， 在为减函数.‎ 由题意知： 由且，解得： ‎ 所以时， ‎ 当，即时，则总成立 由题意得： ， 在为减函数， 在为增函数，‎ 又，则， ‎ 由， 解得，所以时， ‎ 综上 点睛:本题考查了函数的综合应用，解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，不等式的性质的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.‎ ‎21．设矩阵A＝的逆矩阵为，矩阵B满足AB＝，求，B．‎ ‎【答案】A－1＝，B =‎ ‎【解析】试题分析：由的逆矩阵公式可得，再根据矩阵运算得B＝A－1AB 试题解析：因为A＝，所以|A|＝＝－7＋6＝-1．‎ 由逆矩阵公式得，A－1＝． …5分 因为AB＝，所以B＝A－1AB＝＝． ‎ ‎【考点】矩阵逆矩阵 ‎22．已知矩阵的两个特征向量， ，若，求.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，可求得则由， ， ，进而可求得.‎ 试题解析：‎ 设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，‎ 则由可解得： ， ， ‎ 又 ，‎ 所以 ‎ ‎23．解关于的不等式： .‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：由题意，可分五种情况分类讨论，即可求解不等式的解集.‎ 试题解析：‎ ‎（1），原不等式的解为 ‎（2），原不等式可化为 方程的解为和 ‎①原不等式的解为： 或 ‎②‎ 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当，原不等式的解集为 综上：当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 ‎24．已知数列的前项和为，满足与的等差中项为（）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（3）设 ，若集合恰有个元素，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）11；（3）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意得，递推作差，得，得到数列为等比数列，即可求解通项公式；‎ ‎（2）原问题等价于（）恒成立，可分为奇数恒成立， 为偶数时，等价于恒成立，利用函数的单调性和最值，即可求解；‎ ‎（3）由（1）得，判定出数列的单调性，求得的值，集合题意集合即可得出 的范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由与的等差中项为得，①‎ 当时， ②‎ ‎①②得， ，有因为在①中令，得 是以，公比为的等比数列 数列的通项公式为 ‎（2）原问题等价于（）恒成立.当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立；当为偶数时，等价于恒成立，令， ，则等价于对恒成立， 故在上递增 故即故正整数的最大值为 ‎（3）由 及 得， ‎ 当时， ；当时， ‎ ‎， ， ， ， ‎ 由集合恰有个元素，得 点睛：本题考虑数列的通项公式的求解，数列与函数的关系，恒成立问题的求解等问题，充分体现了数列是一种特殊的函数，利用函数的性质研究数列问题的一种方法，试题综合性强，属于难题，对数学思维的要求高，解答中把数列的求解问题，转化为构造函数，利用函数的性质求解是解答的关键.‎