2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中考试数学（文） 解析版

2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中考试数学（文） 解析版

绝密★启用前 广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二上学期期中考试 数学（文）‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若集合，，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的并集即可．‎ ‎【详解】‎ 由A中不等式变形得：x（x-3）＜0， 解得：0＜x＜3，即A={x|0＜x＜3}， ∵B={x|-1＜x＜2}， ∴A∪B={x|-1＜x＜3}， 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2．已知平面向量，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为， ，且，所以， ，故选B.‎ 考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.‎ ‎3．“（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的（ ）‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充分必要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：当“（x+1）（x﹣3）＜0”成立时，可以推出“x＞﹣1”成立，反之则不一定能推．由此即可得到“（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的充分不必要条件．‎ 解：∵当“（x+1）（x﹣3）＜0”成立时，可得﹣1＜x＜3‎ ‎∴此时必定有“x＞﹣1”成立，故充分性成立；‎ 反之，当“x＞﹣1”成立时，不一定有“﹣1＜x＜3”成立，‎ 因此也不能推出“（x+1）（x﹣3）＜0”成立，故必要性不成立．‎ 综上所述，“（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的充分不必要条件 故选：A 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎4．下列函数中,在区间上为增函数的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的单调性逐一分析，即可确定答案.‎ ‎【详解】‎ 选项A，，底数，在上单调递增，故A正确;‎ 选项B，在上单调递增，则在上单调递减，故B错误；‎ 选项C，，底数，在上单调递减，故C错误；‎ 选项D，，在上单调递减，故D错误.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的判断，考查常见基本初等函数的单调性，属于基础题.‎ ‎5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A． 向右平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度 C． 向左平移个单位长度 D． 向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数， ∴为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．‎ ‎6．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据AB的直线方程，求得其垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标；利用圆心到点的距离等于半径求得半径，得到圆的方程。‎ ‎【详解】‎ 过AB的直线方程为 ，A、B的中点为 ‎ 所以AB的垂直平分线为 ‎ 所以圆心坐标为，解得，即圆心坐标为 半径为 ‎ 所以圆的方程为 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系及其简单应用，注意弦的垂直平分线经过圆心这个特殊性质，属于基础题。‎ ‎7．已知椭圆+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由AF2⊥F1F2结合椭圆基本关系可求A点为，由直线AB的斜率为1可建立方程=1，整理可得关于e的方程，解方程即可。‎ ‎【详解】‎ 如图，由AF2⊥F1F2，设A（c，），（），‎ 则=1，结合解得yA=．∴A．∴=1，‎ 化简得2ac=b2=a2–c2，∴e2+2e–1=0，‎ 解得e=–1或e=<0，舍去．故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆与直线相交的综合，是对椭圆基本关系的灵活应用，属于基础题。‎ ‎8．下列导数运算正确的是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本导数公式判断即可．‎ ‎【详解】‎ ‎， ，，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本导数公式，属于基础题 ‎9．已知，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式化简，可得出 的值，将变形为 ‎ ‎，利用诱导公式化简，求出 的值，然后将所求式子中的角变形为 ‎，利用诱导公式化简后，将的值代入即可求出值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵ ， ∴ ， 则．‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，灵活变换角度，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎10．己知函数恒过定点A．若直线过点A，其中是正实数，则的最小值是 A． B． C． D． 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：‎ 详解：易知函数过定点，∴，即，‎ ‎∴ ，当且仅当，即，时取等号．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查基本不等式求最值，解题时关键是凑配基本不等式的条件：定值，常用方法是“1”的代换．‎ ‎11．若，，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎：∵，， ∴ ， 化为（ ， 解得 ，当且仅当 时取等号． ∴的最小值为． 故选C.．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎12．设是定义在上的奇函数,且,当时，有恒成立，则不等式的解集为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知当时，有恒成立，可判断函数 为减函数，由是定义在R上的奇函数，可得g（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，结合g（x）的图象，解不等式即可 ‎【详解】‎ 设 ‎ 则g（x）的导数为 ∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）＜0， ∴当x＞0时，函数为减函数， 又， ∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵ ‎ ‎∴函数g（x）的图象如图：数形结合可得 ∵xf（x）＞0且，f（x）=xg（x）（x≠0） ∴x2•g（x）＞0 ∴g（x）＞0 ∴0＜x＜1或-1＜x＜0 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知函数，且函数在点(2，f(2))处的切线的斜率是，则＝_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，根据解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，所以，填.‎ ‎【点睛】‎ 解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率. 注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别.‎ ‎14．已知实数x，y满足条件，则的最小值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出实数x，y满足的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断，即可求出x+y的最大值．‎ ‎【详解】‎ 已知实数x，y满足，,‎ 在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，‎ 顶点A（2，2），B（﹣4，2），‎ 由图可知，当x=-4，y=2时，‎ z的最小值是-2．‎ 故答案为：-2．‎ ‎【点睛】‎ 利用线性规划求最值的步骤：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域．‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．‎ ‎(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.‎ ‎15．若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设弦两端点为，.因为是A,B的中点，所以，将A,B两点代入椭圆方程得，，两式相减得，‎ 整理得，即。‎ 考点：中点弦问题 ‎16．若数列的首项，且，则=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将变形为，即得出是以2为首项，1为公差的等差数列。‎ ‎【详解】‎ 得且 所以 即是以2为首项，1为公差的等差数列。‎ ‎=n+1，从而 ‎【点睛】‎ 本题主要考察等差数列的定义及通项公式，考察的核心要素是数学运算及推理逻辑。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．‎ ‎（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据充分不必要条件的定义进行求解即可． （2）根据复合命题真假关系，进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由x2﹣2x﹣8≤0得﹣2≤x≤4，即p：﹣2≤x≤4，记命题p的解集为A=[﹣2，4]，‎ p是q的充分不必要条件，∴A⊊B，∴，解得：m≥4． ‎ ‎（2）∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假， ‎ ‎①若p真q假，则，无解，②若p假q真，则，‎ 解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的判断，利用定义法是解决本题的关键．‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，bn＝an－30，‎ ‎(1)求通项公式an；‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．‎ ‎【答案】(1) ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式，解方程组即可（2）分析数列的项符号的变化，知其所有负数项的和最小.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由a3＝10，S6＝72，得解得 所以an＝4n－2.‎ ‎(2)由(1)知bn＝an－30＝2n－31.‎ 由题意知得≤n≤.‎ 因为n∈N＋，所以n＝15.‎ 所以{bn}前15项为负值时，Tn最小．‎ 可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，属于中档题.‎ ‎19．中，内角的对边分别为，的面积为，若 ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求角．‎ ‎【答案】（1），（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角形面积公式和余弦公式，得cosA=，即，再根据三角形内角的取值范围，求得角A的值；‎ ‎（2）根据正弦定理求得角B的值，再根据三角形的内角和，求得角C的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 中， ‎ ‎ ‎ ‎(2) ，，‎ 由得 且B>A 或 或 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形面积公式和余弦定理，正弦定理的应用，三角形面积公式中既含有角，又含有边，可与正弦定理和余弦定理联系起来，为解三角形提供条件；已知三边关系，可转化为接近余弦定理的形式，运用余弦定理理解三角形，注意整体代入思想的应用.‎ ‎20．已知O为坐标原点，抛物线y2=–x与直线y=k（x+1）相交于A，B两点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB；‎ ‎（2）当△OAB的面积等于时，求实数k的值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用直线与抛物线联立方程组，通过韦达定理，推出A、B两点纵坐标的关系，求出OA与OB的斜率之积为-1，从而得OA⊥OB；（2）设直线与横轴的交点为N，求出N（-1，0），利用，根据△OAB的面积等于可求k的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）显然k≠0．‎ 联立，消去x，得ky2+y–k=0． ‎ 如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠0，x2≠0，‎ 由根与系数的关系可得y1+y2=–，y1·y2=–1． ‎ 因为A，B在抛物线y2=–x上，‎ 所以=–x1，=–x2，·=x1x2．‎ 因为kOA·kOB=·=–1，所以OA⊥OB．‎ ‎（2）设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，‎ 令y=0，则x=–1，即N（–1，0）．‎ 因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=ON·|y1|+ON·|y2|‎ ‎=ON·|y1–y2|=×1×，‎ 所以，解得k=±．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线的关系，韦达定理的应用，三角形面积的转化，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题。‎ ‎21．设函数在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值，并求的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用导数的几何意义求出a,b的值,再利用导数求函数的单调区间.(2)转化为，再构造函数证明其最大值小于1即得证.‎ ‎【详解】‎ ‎⑴，由已知，，故a=-2,b=-2.‎ ‎，当时，，‎ 当时，，故f(x)在单调递减，在单调递减； ‎ ‎⑵，即，设，‎ ‎，所以g(x)在递增，在递减，‎ 当x≥0时，.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为证明.‎ ‎22．已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为 ‎．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．‎ ‎【答案】（1）;（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据已知得到方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先求直线MN的方程，，即得直线MN经过的定点，再讨论当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．当时，过定点．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：∵点在椭圆上，∴，‎ 又∵离心率为，∴，∴，‎ ‎∴，解得，，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 设，，则，，‎ ‎∴，‎ 由中点坐标公式得，‎ 将的坐标中的用代换，得的中点，‎ ‎∴直线的方程为，，‎ 令得，∴直线经过定点，‎ 当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．‎ 当时，过定点．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中直线的定点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出直线的方程为，，其二是讨论当时，直线也经过定点.‎