数学理卷·2019届河北省邢台一中高二上学期第四次月考（2017-12）

数学理卷·2019届河北省邢台一中高二上学期第四次月考（2017-12）

‎2017-2018年度 高二年级 第四次月考 理科数学试卷 一、选择题（本小题共12小题。每题5分，共60分）‎ ‎1．抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3．计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制数转换成十进制形式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是 A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除 C. 不都能被5整除 D. 能被5整除 ‎5．已知两个不同的平面和两个不重合的直线，有下列四个命题：‎ ‎①若， ，则； ②若， ，则；‎ ‎③若， ， ，则； ④若， ，则.‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎6．下列说法正确的个数是（ ）‎ ‎①“若，则中至少有一个不小于”的逆命题是真命题 ‎② 命题“设，若，则或”是一个真命题 ‎③“”的否定是“”‎ ‎④是的一个必要不充分条件 A. B. C. D. ‎ ‎7．若无论实数取何值时，直线与圆都相交，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，且，则此抛物线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知函数的导函数为,且满足,则( )‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎10．将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到（如图2）所示的几何体，侧视图的视线方向（如图2）所示，则该几何体的侧视图为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．在棱长为1的正方体中，点， 分别是侧面与底面的中心，则下列命题中错误的个数为（ ）‎ ‎①平面； ②异面直线与所成角为；‎ ‎③与平面垂直； ④．‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎12．设双曲线的左、右焦点分别为，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二 填空题 ‎13．已知角是的内角，则“”是“”的__________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分又不必要”之一).‎ ‎14．若曲线的一条切线是直线，则实数的值为__________．‎ ‎15．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上， 平面， ， ， ， ，则球的表面积为__________．‎ ‎16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．‎ 三 解答题 ‎17．(本小题满分10分)‎ 已知命题：方程在[－1，1]上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围 ‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知圆过， 两点，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程.‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知函数：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1， f(1))的切线方程为y＝3x＋1‎ ‎(1)y＝f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式；‎ ‎(2)函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求b的取值范围．‎ ‎20(本小题满分12分)‎ 是否存在实数使得对都成立，若存在求出实数的值，若不存在说明理由。‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 如图，三棱柱中，侧面为菱形，.‎ ‎（Ⅰ）证明：;‎ ‎（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的左右焦点分别是，离心率，为椭圆上任一点，且的最大面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设斜率为的直线交椭圆于两点，且以为直径的圆恒过原点，若实数满足条件，求的最大值.‎ BCCBA CCBBD AA ‎13【答案】充分不必要 14【答案】 15【答案】 16答案：(－1,1)‎ ‎17【答案】‎ 解析：由，得，显然，或，，故或， 只有一个实数满足不等式，即抛物线与轴只有一个交点，或 所以命题“p或q”是真命题时且，又命题“p或q”是假命题，故的取值范围为 ‎18【答案】（1）；（2）或 ‎（1）设圆的方程为，圆心 ，根据题意有，计算得出，‎ 故所求圆的方程为.‎ ‎（2）如图所示， ，设是线段的中点，‎ 则，‎ ‎∴， .‎ 在中，可得.‎ 当直线的斜率不存在时，满足题意，‎ 此时方程为.‎ 当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为： ，‎ 即，由点到直线的距离公式：‎ ‎，得，此时直线的方程为.‎ ‎∴所求直线的方程为或 ‎19【答案】(1) f(x)＝x3＋2x2－4x＋5; (2) b≥0‎ 解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,求导数得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，‎ 过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为：y－f(1)＝f′(1)(x－1)，‎ 即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)‎ 而过y＝f(x)上P(1，f(1))的切线方程为：y＝3x＋1‎ 即 又∵y＝f(x)在x＝－2时有极值，故f′(－2)＝0 ∴－4a＋b＝－12③‎ 由①②③相联立解得a＝2，b＝－4， c＝5,所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5‎ ‎(2)y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增 又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由(1)知2a＋b＝0 ‎ ‎∴f′(x)＝3x2－bx＋b 依题意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立 注意到，所以3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立等价于：，令知当时，当时，所以在[-2，1）上有最大值为，故知，且当x=1时f′(x)≥0也成立,所以 ‎20 数学归纳法证明 ‎21【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ‎ 解析：（I）连接，交于，连接．因为侧面为菱形，所以，且为与的中点．又，所以平面，故 ‎．又,故．‎ ‎（II）因为，且为的中点，所以，又因为， ．故，从而两两垂直．以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以为等边三角形．又,则， ， ， ．‎ ‎,,．‎ 设是平面的法向量，则即所以可取．‎ 设是平面的法向量，则同理可取．‎ 则．所以二面角的余弦值为．‎ ‎22【答案】（Ⅰ）椭圆的方程；（Ⅱ）的最大值为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）依题意得：，这是一个关于的方程组，解这个方程组便可得的值，从而得椭圆的方程.‎ ‎（Ⅱ）设，由于以为直径的圆恒过原点，所以，即……………………………………………………①‎ 设直线的方程，联立方程组，再由根与系数的关系可得：、，代入①便得一个含的等式. ‎ 将变形化简得：.‎ 因此，要求的最大值，只需求的最大值，而可以用含的式子表示出来，再利用前面含的等式换掉一个变量，得一个只含一个变量的式子，再利用求函数最值的方法，便可求出其最大值. ‎ 试题解析：（Ⅰ）依题意得：，解得：，‎ 于是：椭圆的方程，‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程由得：，‎ 设，则.‎ 由于以为直径的圆恒过原点，于是，即，‎ 又，‎ 于是：，即 依题意有：，即.‎ 化简得：.‎ 因此，要求的最大值，只需求的最大值，下面开始求的最大值： ‎ ‎.‎ 点到直线的距离，于是：.‎ 又因为，所以，‎ 代入得.‎ 令，‎ 于是：.‎ 当即，即时，取最大值，且最大值为.‎ 于是：的最大值为.‎