2019-2020学年四川省成都市新津中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省成都市新津中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020 学年四川省成都市新津中学高一上学期 12 月月考 数学试题 一、单选题 1．已知集合 ，则 （ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意， 是由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合， 故可以排除 A，再找出集合 A 与集合 B 所共有的元素，即可得出答案。 【详解】 根据题意， 是一个集合，而不是一个元素，故选项 A 错误； ， 其中属于集合 A 且属于集合 B 的元素只有 2，故由元素 2 组成的集合为 ，因此选项 C、D 错误。 故选：B 【点睛】 本题考查集合的相关知识以及交集的概念，应特别注意，两个集合取交集的结果仍为集 合。 2．与角 终边相同的角是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用终边相同角的关系 ，根据 k 的取值进行求解. 【详解】 与角 终边相同的角是 当 k=-4 时， ，所以与角 终边相同的角是 210°. 故答案为：B 【点睛】 本题主要考查终边相同的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能 力. { } { }0,2 , 1,2A B= = A B = { }2 { }0,2 { }0,1 A B A B { } { }0,2 , 1,2A B= = { }2 1650 30 210° 30− ° 210− ° 0 0=1650 +k 360 , ,k zα ⋅ ∈ 1650 0 0=1650 +k 360 , ,k zα ⋅ ∈ 0210α = 1650 3．已知角 的终边过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据角 的终边过点 ，可得 ，再根据 计算求 得结果. 【详解】 已知角 的终边经过点 ， ， ，故选 B. 【点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 4．已知 ，则 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，先通过换元法求出函数 的定义域，再把 看作一个整体， 即看作 ，利用 的范围求出 的范围，即可求出答案。 【详解】 由题意可知，令 ，则 ， ， ，解得 令 ，解得 函数 的定义域为 故选：D 【点睛】 本题主要考查通过换元法求函数的定义域，若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是满足 的 的解集。 α ( )3,4− tanα = 3 4 − 4 3 − 3 4 4 3 α ( )3,4P − 3, 4x y= − = tan y x α =  α ( )3,4P − 3, 4x y∴ = − = 4tan 3 y x α∴ = = − ( ) 21 1f x x+ = − ( )2 1f x − 1 ,12      1 3,2 2     1 ,12      1 3,2 2      ( )f t 2 1x − t t x 1x t+ = 1x t= − 2 2( ) 1 ( 1) 2f t t t t∴ = − − = − + 2 2 0t t− + ≥ 0 2t≤ ≤ 0 2 1 2x≤ − ≤ 1 3 2 2x≤ ≤ ∴ ( )2 1f x − 1 3,2 2      ( )f x ( , )a b ( ( ))f g x ( )a g x b< < x 5．设 在映射 f 下的象是 ，则在 f 下，象 的原象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，设其原象为 ，则应满足 ，解得 ， 的值即可。 【详解】 根据题意，设它的原象为 ，则它在映射 下的象是 ，即满足 ， 解得 ， 所以它的原象为 故选：C 【点睛】 本题主要考查映射的相关知识以及象与原象的概念。 6．计算： ( ) A． B．1 C．-1 D．0 【答案】D 【解析】直接利用诱导公式化简，结合特殊角三角值求解即可． 【详解】 ＝ （﹣cos ） ． 故选 D． 【点睛】 本题考查特殊角的三角函数值，诱导公式的应用，是基础题． 7．已知函数 ，则下列等式成立的是（ ） A． B． ( ),x y ( )2 ,x x y+ ( )4,5 ( )4,5 ( )8,9 ( )2,3 5 3,2 2      ( , )x y 2 4 5 x x y =  + = x y ( , )x y f ( )2 ,x x y+ 2 4 5 x x y =  + = 2 3 x y =  = (2,3) 5sin cos tan3 6 π π π+ − = 3 5sin cos tan3 6 π π π+ − sin 3 π + 6 π tan0− 3 3 0 02 2 = − − = ( ) cos 2 xf x = ( ) ( )2f x f xπ + = ( ) ( )f x f x− = − C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，首先求出函数 的周期为 ，可排除 A 选项，再判 断函数 为偶函数，可排除 B 选项，最后由三角函数诱导公式 可排除 D 选项。 【详解】 根据题意可知： 为周期函数，其周期为 = ，即 ， 故选项 A 错误。 且 ，故 为偶函数，即 ， 故选项 C 正确，选项 B 错误。 由题意可知， ， 故选项 D 错误。 故选：C 【点睛】 本次主要考查通过三角函数的周期性和奇偶性判定结论正确与否，以及考查同学们对三 角函数诱导公式的应用的熟练程度。 8．把函数 的图象向左平移 后，所得函数的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，可以根据函数 图像的变换规律得出结论。 【详解】 根据题意，把函数 的图像向左平移 后，所得到的函数的解析式为： ( ) ( )f x f x− = ( ) ( )f x f xπ − = ( ) cos 2 xf x = 4π ( ) cos 2 xf x = cos( ) sin2 x x π − = ( ) cos 2 xf x = 2 1 2 π 4π (4 ) ( )f x f xπ + = ( ) cos cos2 2 x xf x −− = = ( )f x ( ) ( )f x f x= − ( ) cos( ) sin ( )2 2 x xf x f x ππ −− = = ≠ sin 2 3y x π = −   3 π sin 2 3y x π = +   2sin 2 3y x π = +   sin2y x= − sin 2y x= sin( )y A xω ϕ= + sin 2 3y x π = −   3 π ， 故选：A 【点睛】 本题主要考查由 的图像得到 （其中 ）的图像的 过程。 9．函数 图象的一部分如图所示，则 的解析式可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的最值求出 A 和 k,根据周期求出 ω，通过排除即可得到选项. 【详解】 设函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）+k， 由图象知函数的周期 T＝2×（9﹣3）＝12， 即 ，则 ，排除 A，C， 函数的最大值为 7.5，最小值为 0.5， 则 ，解得 k＝4，A＝3.5， 故选：B． 【点睛】 本题考查已知部分图像求解析式，已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）+B 的图象求解析式，(1) . (2)由函数的周期 T 求 .(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 φ. si n 2( ) sin(2 )3 3 3y x x π π ππ  = + − = +   =siny x sin( )y A xω ϕ= + 0, 0A ω> < ( )f x ( )f x ( ) 4sin 43 xf x π= + ( ) 3.5sin 46 xf x π= + ( ) 3.5sin 4.53 xf x π= + ( ) 4sin 3.56 xf x π= + 2 12 π ω = ω 6 π= 7.5 0.5 A k A k + = − + = ( )0, 0A ω> > A ,2 2 max min max miny y y yB − += = 2ω,T π ω= 10．设函数 的值域为 R，则常数 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】试题分析：由于已知中给定的函数是分段函数，因此求解值域要分别求解值域， 再取其并集，那么可知，当 x>2 时，f(x)> ,当 x ,则根二次函数的性质，那 么 f(x)= ，那么值域为 R，可知并集为 R，因此利用数轴法表示得到 a 的范 围是 ，故选 C. 【考点】本试题主要是考查了分段函数的值域。 点评：解决该试题的关键是理解分段函数的值域是各段函数值域的并集。同时要熟练的 运用对数函数和二次函数的性质得到值域，属于中档题。 11．已知 在 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据底数大于零且不为 1 得到 在 为减函数，根据 的单调性得到 ，再根据真数大于零的要求得到实数 的取值范围． 【详解】 设 ， 在 上是增函数， ，即 ，解得 ， 实数 的取值范围是 ， 故选：C． 【点睛】 函数单调性的判断一方面要熟悉基本初等函数的单调性，另一方面也要知道复合函数及 函数的四则运算后函数单调性的判断方法（一般地，增函数与增函数的和为增函数，增 函数与减函数的差为增函数，复合函数的单调性的判断方法是同增异减）.对于与对数 函数有关的复合函数，注意真数恒大于零的要求. 12．已知函数 ，若方程 有四个不等实根 2 2 log , 2, ( ) , 2 x x f x x a x >= − + ≤ a [5, )+∞ ( ,1]−∞ [1, )+∞ ( ,5]−∞ 2log 2 1= 1≤ 2x a− + a≤ [1, )+∞ ( ) log (3 2 )af x ax= − [ ]1,2 a (0,1) 30, 2      30, 4      3 3,4 2      ( ) 3 2u x ax= − [ ]1,2 ( )f x 0 1a< < a ( ) 3 2u x ax= − ( ) log (3 2 )af x ax= − [1,2] 0 1 (2) 0 a u < <∴ > 0 1 3 4 0 a a < <  − > 30 4a< < ∴ a 30, 4      ( ) ln ,0 2( ) 4 ,2 4 x xf x f x x  < ≤=  − < < ( )f x m= ，不等式 恒成 立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求得2＜x＜4 时 f（x）的解析式，作出函数 f（x）的图象，求得 0＜m＜ln2，x1 ＜x2＜x3＜x4，x1+x4＝x2+x3＝4，x1x2＝1，（4﹣x3）（4﹣x4）＝1， ，运用 数形结合思想和参数分离，以及换元法，可得 k 的范围． 【详解】 当 2＜x＜4 时，0＜4﹣x＜2，所以 f（x）＝f（4﹣x）＝|ln（4﹣x）|， 由此画出函数 f（x）的图象 由题意知，f（2）＝ln2，故 0＜m＜ln2，且 x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4＝x2+x3＝4， x1x2＝1，（4﹣x3）（4﹣x4）＝1， ， 由 ， 可知， ， 得 ， 设 t＝x1+x2，则 又 在 上单调递增，所以 ∴ ，即 ∴实数 的最大值为 故选：B． 【点睛】 本题考查函数方程的转化思想，以及不等式恒成立问题解法，注意运用数形结合思想和 1 2 3 4 1 2 3 4, , , ( )x x x x x x x x< < < ( )2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4x x x x k x x x x+ + + ≥ + + + k 2 5 2 41 16 11 4 1 2 52 2x x+＜ ＜ 1 2 52 2x x+＜ ＜ ( )2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4x x x x k x x x x+ + + ≥ + + + 2 2 2 2 1 2 2 1( 4) ( 4) 8x x x x k+ + − + − ≥ ( )2 2 1 2 1 22 2 8 32 8x x x x k+ − + + ≥ 2 4t 14 4t k− + ≥ 2 4t 14t − + 52 2     ， 2 4t 14 10t − + ＞ 4 10k ≤ 5 2k ≤ k 5 2 换元的方法，考查运算能力，属于中档题． 二、填空题 13．已知函数 是定义在 上的单调递增函数，且 . 则 m 的取值范围是______. 【答案】 【解析】由题意可知， 是定义在 上的单调递增函数，则对于任意 ，若 ，则 。 【详解】 根据题意，函数 是定义在 上的单调递增函数，对于任意 ，若 ，则 ，又因为 ， 所以 ， 解得 故答案为： 【点睛】 本题主要考查函数单调性的应用，通过函数值的大小关系得出自变量的大小关系，进而 求参数范围。 14．已知 ，且 ，则 的值为_____． 【答案】 【解析】由 θ 的范围，得到 cosθ＜sinθ，进而得到所求式子的值为负数，然后把所求式 子平方，利用同角三角函数间的基本关系化简后，将 sinθcosθ 的值代入，开方即可得到 值． 【详解】 由 θ ，根据函数正弦及余弦函数图象得到 cosθ＜sinθ，即 cosθ﹣sinθ＜0， ∵sinθcosθ ， ∴（cosθ﹣sinθ）2＝cos2θ﹣2sinθcosθ+sin2θ＝1﹣2sinθcosθ＝1﹣2 ， 则 cosθ﹣sinθ ． ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )2 1 3f m f m+ < − 4m < − ( )f x ( ),−∞ +∞ 1 2, - +x x ∈ ∞ ∞（ ， ） 1 2( ) ( )f x f x< 1 2x x< ( )f x ( ),−∞ +∞ 1 2, - +x x ∈ ∞ ∞（ ， ） 1 2( ) ( )f x f x< 1 2x x< ( ) ( )2 1 3f m f m+ < − 2 1 3m m+ < − 4m < − 4m < − 1sin cos 8 θ θ = 4 2 π πθ< < cos sinθ θ− 3 2 − 4 π ＜ 2 π＜ 1 8 = 1 3 8 4 × = 3 2 = − 故答案为 . 【点睛】 本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本 题的关键，同时注意根据 θ 的范围判断所求式子的正负，开方得到满足题意的解． 15．函数 的图象如右图所示，试写出该函数的两条性质： _________________________________________________． 【答案】函数具有偶函数性质，同时函数的最小值为 2，最大值为 5. 【解析】试题分析：由于结合图像可知，函数在 y 轴左侧随着 x 的增大而增大，故是递 增；在 y 轴右侧则恰好相反，递减的。因此可知函数的最大值为 5，最小值为 2，同时 关于 y 轴对称，因此是偶函数，故答案为函数是偶函数，同时函数的最小值为 2，最大 值为 5. 【考点】本试题主要是考查了函数图像与性质的关系。 点评：结合图像的特点来分析函数的性质，主要是理解奇偶性和函数的单调性的图形特 点，进而得到结论。属于基础题。 16．设函数 ，若 对任意的实数 都成立， 则 的最小值为__________． 【答案】 【解析】根据题意 取最大值 ，根据余弦函数取最大值条件解得 的表达 式，进而确定其最小值. 【详解】 因为 对任意的实数 x 都成立，所以 取最大值 ， 所以 ， 3 2 − ( )y f x= ( ) ( )cos 06f x x πω ω = − >   ( ) 4f x f π ≤    x ω 2 3 ( )f x 4f π     ω ( ) 4f x f π ≤    ( )f x 4f π     22 π( ) 8 ( )4 6 3k k Z k k Zω ωπ π− = ∈ ∴ = + ∈， 因为 ，所以当 时， 取最小值为 . 【点睛】 函数 的性质 （1） . （2）周期 （3）由 求对称轴，最大值对应自变量满足 ， 最小值对应自变量满足 ， （4）由 求增区间；由 求减区间. 三、解答题 17．（1）求值： . （2）已知 ，求： 的值. 【答案】（1）2（2） 【解析】(1)利用对数的运算性质即可得到答案；（2）根据三角函数的基本关系式，化 简 为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】 （1）解：原式= = =2 （2）原式＝ ＝ = 【点睛】 本题考查对数运算性质，考查三角函数的化简、求值问题，其中解答中合理利用同角三 角函数的基本关系式，化简得到“齐次式”，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与 0>ω 0k = ω 2 3 cos( ) ( 0, 0)y A x B Aω ϕ ω= + + > > max min= +y A B y A B= −， 2π .T ω= π( )x k k Zω ϕ+ = ∈ 2 π( )x k kω ϕ+ = ∈Z +2 ( )x k kω ϕ π π+ = ∈Z 2 2 ( )2 2k x k k π ππ ω ϕ π− + ≤ + ≤ + ∈Z 32 2 ( )2 2k x k k π ππ ω ϕ π+ ≤ + ≤ + ∈Z 2 3 3 3 32log 2 log log 89 − + tan 3α = 2sin 2sin cosα α α− 3 10 2sin 2sin cosα α α− 2 3 3 3 32log 2 log log 89 − + 3 9log 4 832  × ×   2 2 2 2 2 sin 2sin cos tan 2tan sin cos tan 1 α α α α α α α α − −=+ + 2 2 3 2 3 3 1 − × + 3 10 运算能力，属于基础题. 18．（本小题满分 12 分） 某种产品投放市场以来，通过市场调查，销量 t（单位：吨）与利润 Q（单位：万元） 的变化关系如右表，现给出三种函数 ， ， 且 ，请你根据表中的数据，选取一个恰当的函数，使它能合理描 述产品利润 Q 与销量 t 的变化，求所选取的函数的解析式，并求利润最大时的销量. 销量 t 1 4 6 利润 Q 2 5 4.5 【答案】 ，利润最大时的销量为 4.5 吨 【解析】试题分析：由单调性或代入验证可得，应选函数 ， 4 分 由条件 得 ∴ ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 8 分 又 ． ∴当 时， 的最大值是 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 10 分 ∴利润最大时的销量为 4.5 吨 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 12 分 【考点】本试题主要是考查了函数模型是应用。 点评：对于已知中的数据能分析得到不是单调的函数，排除了对数函数和一次函数，因 此只能是二次函数，进而代点得到解析式。然后结合二次函数的对称轴和开口方向得到 最值。属于基础题。 19．已知函数 . ( 0)y ax b a= + ≠ 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ log ( 0by a x b= > 1)b ≠ 21 9 4 4Q t t= − + 2Q at bt c= + + 2 16 4 5 936 6 2 a b c a b c a b c   + + =  + + =   + + = 1 ,4 9 4 0. a b c  = −  =  =  21 9 4 4Q t t= − + 2 21 9 1 9 81( )4 4 4 2 16Q t t t= − + = − − + 9 2t = Q 81 16 ( ) 3sin 4f x x π = +   （1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； （2）写出 的值域、最小正周期、对称轴，单调区间. 【答案】(1)见解析；(2) 值域为 ，最小正周期为 ，对称轴为 ，单调增区间为 ，单调区间为 . 【解析】(1)由题意知，利用五点法画出一个周期的图像，需找出 在一个周期上 的五个关键点，即 ，令 ，得出相应的 的值，进而得出 以及 的值，最后列表、描点、连线、画出图像。 (2) 的值域、最小正周期、对称轴，单调区间可根据图像写出。 【详解】 解：（1）列表如下： x 0 π 2π 0 1 0 0 0 3 0 0 ( )f x [ ]3,3− 2π ,4x x k k Z π π = + ∈    ( )3 2 , 24 4k k k Z π ππ π − + + ∈   ( )52 , 24 4k k k Z π ππ π + + ∈   =sinty 30, , , ,22 2t π ππ π= 4t x π= + x sin 4x π +   3sin 4x π +   ( )f x 4 π− 4 π 3 4 π 5 4 π 7 4 π 4x π+ 2 π 3 2 π sin 4x π +   1− 3sin 4x π +   3− 描点画图如图所示 （2）由图可知，值域为 ，最小正周期为 ， 对称轴为 ， 单调增区间为 ， 单调区间为 . 【点睛】 本题主要考查五点作图法，利用 ，令 得出相应的 的值， 然后列表、描点、连线、画出图像；同时考查了正弦函数 的性质，在写函数单 调区间与对称轴时应注意函数的周期性。 20．已知二次函数 （ 且 ），当 时，有 ；当 时，有 ，且 . （1）求 的解析式； （2）若关于 x 的方程 有实数解，求实数 m 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据题意可知： 为函数 的两个零点，即二次方程 两根，可设 ，将 代入函数求得 的解析式。 （2）由题意可知，方程 有实数解，即 有实数解， 可利用根的判别式求得 的取值范围；或者利用分离参数法，将原方程写成 ，等式右侧二次函数的值域即 的取值范围。 【详解】 [ ]3,3− 2π ,4x x k k Z π π = + ∈    ( )3 2 , 24 4k k k Z π ππ π − + + ∈   ( )52 , 24 4k k k Z π ππ π + + ∈   t xω ϕ= + 30, , , ,22 2t π ππ π= x =sinxy ( ) 2f x ax bx c= + + , ,a b c∈R 0a ≠ [ ]3,1x∈ − ( ) 0f x ≤ ( ) ( ), 3 1,x∈ −∞ − +∞ ( ) 0f x > ( )2 5f = ( )f x ( ) 9 3f x m= + ( ) 2 2 3f x x x= + − 7 9m ≥ − -3 1， ( )f x 2 0ax bx c+ + = ( ) ( )( )( )1 3 0f x a x x a= − + ≠ ( )2 5f = ( )f x ( ) 9 3f x m= + 2 2 9 6 0x x m+ − − = m ( ) ( )221 1 72 6 19 9 9m x x x= + − = + − m 解：（1）由题意知： 是二次方程 两根. 可设 ， ∵ ，∴ . 即 ，∴ . （2）∵关于 x 的方程 有实数解. 即 有实数解. ∴ . 即 . 方法二：∵关于 x 的方程 有实数解. 即 有实数解. ∴ . 【点睛】 本题主要考查利用待定系数法求解函数的解析式，以及利用二次函数的性质或分离参数 法求参数范围。 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 的图象过点 ，且图象上与点 P 最近的一个最低点是 ． （Ⅰ）求 的解析式； （Ⅱ）若 ，且 为第三象限的角，求 的值； （Ⅲ）若 在区间 上有零点，求 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知： , 得 ，∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 又 且过点 ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 3,1− 2 0ax bx c+ + = ( ) ( )( )( )1 3 0f x a x x a= − + ≠ ( )2 5f = ( )2 5 5f a= = 1a = ( ) 2 2 3f x x x= + − ( ) 9 3f x m= + 2 2 9 6 0x x m+ − − = ( )4 4 9 6 0m∆ = + + ≥ 7 9m ≥ − ( ) 9 3f x m= + ( ) ( )221 1 72 6 19 9 9m x x x= + − = + − 7 9m ≥ − ( ) sin( )( 0, 0,| | )2f x A x A πω ϕ ω ϕ= + > > < ( ,0)12P π ( , 2)6Q π− − ( )f x 3( )12 8f πα + = α sin cosα α+ ( )y f x m= + [0, ]2 π m ( )f x 2sin(2 )6x π= − sin cosα α+ 191 sin 2 4 α= − + = − [ ]2,1− ( )4 12 6 4 T π π π= − − = T π= 2ω = 2A = ( ,0)12P π sin( 2 ) 012 π ϕ× + = 6 πϕ∴ = − ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 4 分 （Ⅱ）由 得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 为第三象限的角，∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 （Ⅲ）∵ ，∴ ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 10 分 ∴①当 时，函数 在 上只有一个零点； ②当 时，函数 在 上有两个零点； 综合①、②知 的取值范围是 12 分 【考点】本试题考查了三角函数的性质。 点评：理解函数的性质与其参数之间的关系式，进而得到解析式，同时能熟练的利用 与 三者的关系来求解同角的正余弦值的关系。 22． 已知函数 在区间 上有最大值 4 和最小值 1，设 . （1）求 的值； （2）若不等式 在区间 上有解，求实数 的取值范围； （3）若 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】【详解】试题分析： (1)由题意可得二次函数 在[2,3]上为增函数，据此可得： ，求解方程组 可得： . ( )f x 2sin(2 )6x π= − 3( )12 8f πα + = 32sin 2 8 α =  α sin cosα α+ 191 sin 2 4 α= − + = − [0, ]2x π∈ 52 , 1 2sin(2 ) 26 6 6 6x x π π π π− ≤ − ≤ ∴− ≤ − ≤ 1 1 2m m− < ≤ = −或 ( )y f x m= + [0, ]2 π 2 1m− < ≤ − ( )y f x m= + [0, ]2 π m [ ]2,1− sin cosα α+ 2 2sin cos ,sin cosα α α α+ ( )2g(x) 2 1 0ax ax b a= − + + > [ ]2,3 ( )f (x) g x x = a,b ( )f 2 2 0x xk− ⋅ ≥ [ ]-1,1 k ( ) 2f 2 1 3 0 2 1 x xk k− + ⋅ − = − k 1 0 a b = = 1k ≤ 0k > ( )g x (2) 1 (3) 4 g g =  = 1 0 a b =  = (2)由题意知 ，分离参数有 ，结合二次函数的性 质换元可得 . (3)原方程可化为： 令 ，换元后讨论可得 . 试题解析： （1） ∴ ∴ 在[2,3]上为增函数 ∴ ∴ . (2)由题意知 ∴不等式 可化为 可化为 令 , ∴ ，故 ，令 , 由题意可得 在 上有解等价于 , . (3)原方程可化为： 令 ，则方程可化为： ∵原方程有三个不同的实数解。由 的图象知 有两个根 且 或 令 ，则 或 ∴ . ( ) 1 2f x x x = + − 21 1( ) 2 12 2x xk ≤ − ⋅ + 1k ≤ 22 1| (2 3 ) 2 1| (1 2 ) 0x xk k− − + − + + = ( 2 1 0)x − ≠ 2 1xt = − 0k > 2( ) ( 1) 1g x a b a= + + − − 0a > ( )g x (2) 1 (3) 4 g g =  = 1 0 a b =  = ( ) 1 2f x x x = + − ( )2 2 0x xf k− ≥ 2 12 22 x x x k−+ ≥ 21 1( ) 2 12 2x xk ≤ − ⋅ + 1 2xt = 2 2 1k t t∴ ≤ − + [ 1,1]x∈ − 1[ ,2]2t ∈ 2( ) 2 1h t t t= − + 2 2 1k t t≤ − + 1[ ,2]2t ∈ ( )max (2) 1k g t h≤ = = 1k∴ ≤ 22 1| (2 3 ) 2 1| (1 2 ) 0x xk k− − + − + + = ( 2 1 0)x − ≠ 2 1xt = − 2 (2 3 ) (1 2 ) 0t k t k− + + + = ( 0)t ≠ 2 1xt = − 2 (2 3 ) (1 2 ) 0t k t k− + + + = ( 0)t ≠ 1 2,t t 1 20 1t t< < < 1 20 1, 1t t< < = 2( ) (2 3 ) (1 2 )h t t k t k= − + + + (0) 1 2 0 (1) 0 h k h k = + >  = − < (0) 1 2 0 (1) 0 2 30 12 h k h k k   = + >  = − =  + < < 0k >