2013天津卷（理）数学试题

2013天津卷（理）数学试题

‎2013·天津卷(理科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 已知集合A＝{x∈||x|≤2}，B＝{x∈|x≤1}，则A∩B＝(　　)‎ A．(－∞，2] B．[1，2]‎ C．[－2，2] D．[－2，1]‎ ‎1．D　[解析] A∩B＝{x∈|－2≤x≤2}∩{x∈|x≤1}＝{x∈|－2≤x≤1}．‎ ‎2． 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为(　　)‎ A．－7 B．－4 C．1 D．2‎ ‎2．A　[解析] 作出可行域，如图阴影部分．‎ 联立解得(5，3)，当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z＝3－2×5＝－7.‎ ‎3． 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为(　　)‎ 图1－1‎ A．64 B．73 C．512 D．585‎ ‎3．B　[解析] 当x＝1时，S＝0＋1＝1；当x＝2时，S＝1＋23＝9；当x＝4时，S＝9＋43＝73满足题意输出．‎ ‎4． 已知下列三个命题：‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；‎ ‎②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；‎ ‎③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．‎ 其中真命题的序号是(　　)‎ A．①②③ B．①②‎ C．①③ D．②③‎ ‎4．C　[解析] 由球的体积公式V＝πR3知体积与半径是立方关系，①正确．平均数反映数据的所有信息，标准差反映数据的离散程度，②不正确．圆心到直线的距离为＝＝r，即直线与圆相切，③正确．‎ ‎5．， 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)‎ A．1 B. C．2 D．3‎ ‎5．C　[解析] 双曲线的离心率e＝＝＝2，解得＝，联立得y＝.又因为S△OAB＝×＝，将＝代入解得p＝2.‎ ‎6． 在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．C　[解析] 由余弦定理得AC2＝2＋9－2×3××＝5，即AC＝，由正弦定理得＝，‎ 解得sin ∠BAC＝.‎ ‎7． 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．B　[解析] f(x)＝2x|log0.5 x|－1＝＝ ‎∵f(x)＝－2xlog2x－1在(0，1]上递减且x接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)＝－1<0，∴f(x)在(0，1]上有一零点；又∵f(x)＝2xlog2x－1在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝22×log2 2－1＝3>0，∴f(x)在(1，＋∞)上有一零点．故f(x)共有2个零点．‎ ‎8． 已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，设关于x的不等式f(x＋a)f(x＋a)可解得－0，则当a＝________时，＋取得最小值．‎ ‎14．－2　[解析] ＋＝＋＝＋＋≥＋2 ≥－＋1＝，当且仅当＝时，等号成立．联立a＋b＝2，b>0，a<0.可解得a＝－2.‎ ‎15．， 已知函数f(x)＝－sin2x＋＋6sin xcos x－2cos2 x＋1，x∈‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间0，上的最大值和最小值．‎ ‎15．解：(1)f(x)＝－sin 2x·cos－cos 2x·sin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2 sin2x－.‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间0，上是增函数，在区间，上是减函数．又f(0)＝－2，f＝2 ，‎ f＝2，故函数f(x)在区间0，上的最大值为2 ，最小值为－2.‎ ‎16．， 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．‎ ‎(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；‎ ‎(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎16．解：设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.‎ 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ ‎17．，， 如图1－3所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．‎ ‎(1)证明：B1C1⊥CE；‎ ‎(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；‎ ‎(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为.求线段AM的长．‎ 图1－1‎ ‎17．解：方法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)．‎ ‎(1)证明：易得＝(1，0，－1)，＝(－1，1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.‎ ‎(2)＝(1，－2，－1)，‎ 设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)，‎ 则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为＝(－3，－2，1)．‎ 由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1，0，－1)为平面CEC1的一个法向量．‎ 于是cos〈，〉＝＝＝－，从而sin〈，〉＝.‎ 所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.‎ ‎(3)＝(0，1，0)，＝(1，1，1)．设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量．‎ 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则 sin θ＝|cos〈，〉|＝＝‎ ＝.‎ 于是＝，解得λ＝(负值舍去)，所以AM＝.‎ 方法二：(1)证明：因为侧棱CC1⊥平面A1B1C1D1，‎ B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，从而B1E2＝B1C＋EC，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E.又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以 B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.‎ ‎(2)过B1 作B1G⊥CE于点G，联结C1G.由(1)，B1C1⊥CE.故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角．在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝.在Rt△B1C1G中，B1G＝，所以sin∠B1GC1＝，即二面角B1－CE－C1的正弦值为.‎ ‎(3)联结D1E, 过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，联结AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．‎ 设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有MH＝x，AH＝x.在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝，得EH＝MH＝x.在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos 135°，得x2＝1＋x2＋x.‎ 整理得5x2－2 x－6＝0，解得x＝(负值舍去)，所以线段AM的长为.‎ ‎18．， 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，求k的值．‎ ‎18．解：(1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，‎ 代入椭圆的方程有＋＝1，解得y＝±.于是＝，解得b＝.‎ 又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，‎ 所以所求椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)．‎ 由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0，‎ 可得x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 因为A(－，0)，B(，0)，‎ 所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)‎ ‎＝6－2x1x2－2y1y2‎ ‎＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)‎ ‎＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2‎ ‎＝6＋.‎ 由已知得6＋＝8，解得k＝±.‎ ‎19． 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Tn＝Sn－(n∈*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．‎ ‎19．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－，故等比数列{an}的通项公式为an＝×－n－1＝(－1)n－1·.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝1－－n＝ 当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn－≥S2－＝－＝－.‎ 综上，对于n∈*，总有－≤Sn－≤.‎ 所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.‎ ‎20． 已知函数f(x)＝x2ln x.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)；‎ ‎(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)．证明：当t>e2时，有<<.‎ ‎20．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎0， ，＋∞‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极小值  所以函数f(x)的单调递减区间是0，，单调递增区间是，＋∞.‎ ‎(2)证明：当00，‎ 令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．‎ 由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝－t<0，h(et)＝e2tln et－t＝t(e2t－1)>0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．‎ ‎(3)证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s>1，从而＝＝＝＝，‎ 其中u＝ln s.‎ 要使<<成立，只需0e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．‎ 所以s>e，即u>1，从而ln u>0成立．‎ 另一方面，令F(u)＝ln u－，u>1.F′(u)＝－，令F′(u)＝0，得u＝2.当10；当u>2时．F′(u)<0，故对u>1，F(u)≤F(2)<0，因此ln u<成立．‎ 综上，当t>e2时，有<<.‎