数学卷·2018届广东省汕头市金山中学高二上学期12月月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届广东省汕头市金山中学高二上学期12月月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．在空间中，设m表示直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若α∥β，m∥α，则m∥β B．若α⊥β，m⊥α，则m∥β C．若α⊥β，m∥α，则m⊥β D．若α∥β，m⊥α，则m⊥β ‎2．已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则m的范围为（　　）‎ A．（4，7） B．（5.5，7） C．（7，+∞） D．（﹣∞，4）‎ ‎3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A． B． C．2 D．6‎ ‎5．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．则当底面ABC水平放置时，液面高为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎6．设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎7．设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．若3a2+3b2﹣4c2=0，则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎9．直线x+a2y+1=0与直线（a2+1）x﹣by+3=0互相垂直，a，b∈R则|ab|的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．5‎ ‎10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．给出下列四个命题：‎ ‎①命题“∀x∈R，都有x2﹣x+1≥”的否定是“∃x∈R，使x2﹣x+1＜”‎ ‎②命题“设向量=（4sinα，3），=（2，3cosα），若∥，则α=的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2；‎ ‎③集合A={x|x2﹣x=0}，B={y|y=﹣lg（sinx）}，C={y|y=}则x∈A是x∈B∩C的充分不必要条件． ‎ 其中正确命题的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎12．已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有 ‎（　　）个．‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分.把答案填在答卷中相应横线上）‎ ‎13．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的　　 条件．‎ ‎14．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则+的最小值是　　．‎ ‎15．已知O为坐标原点，F是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为　　．‎ ‎16．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=2，AA1=2，点A、B、C、D在球O的表面上，球O与BA1的另一个交点为E，与CD1的另一个交点为F，且AE⊥BA1，则球O的表面积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知公差为正数的等差数列{an}满足a1=1，2a1，a3﹣3，a4+5成等比数列．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=（﹣1）nan，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．‎ ‎（1）求f（x）的值域；‎ ‎（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．‎ ‎19．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．‎ ‎（1）求O点到面ABC的距离；‎ ‎（2）求二面角E﹣AB﹣C的正弦值．‎ ‎20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），而且过点H（，）．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．‎ ‎21．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．‎ ‎（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省汕头市金山中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．在空间中，设m表示直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若α∥β，m∥α，则m∥β B．若α⊥β，m⊥α，则m∥β C．若α⊥β，m∥α，则m⊥β D．若α∥β，m⊥α，则m⊥β ‎【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】利用直线与平面垂直的判定定理与线面平行的判断定理，平面与平面平行的判定与性质定理，对选项逐一判断即可．‎ ‎【解答】解：若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故A错误；‎ 若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故B错误；‎ 若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故C错误；‎ 若α∥β，m⊥α，根据两个平行的平面与同一直线的夹角相同，可得m⊥β，故D正确 故选D ‎　‎ ‎2．已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则m的范围为（　　）‎ A．（4，7） B．（5.5，7） C．（7，+∞） D．（﹣∞，4）‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】利用椭圆焦点在y轴上，可得不等式，从而可求m的范围．‎ ‎【解答】解：由题意，m﹣4＞7﹣m＞0，∴5.5＜m＜7‎ ‎∴m的范围为（5.5，7）‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质．‎ ‎【分析】设出椭圆的标准方程，由题意结合等差中项的定义建立关于a、b、c的等式，结合b2=a2﹣c2消去b得到关于a、c的二次方程，解之可得c、a的比值，即得此椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：设椭圆的方程为 ‎∵椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，‎ ‎∴2×2b=2c+2a，可得b=（a+c）‎ ‎∵b2=a2﹣c2，‎ ‎∴[（a+c）]2=a2﹣c2，化简得5c2+2ac﹣3a2=0‎ 等式两边都除以a2，得5e2+2e﹣3=0，解之得e=（﹣1舍去）‎ 即椭圆的离心率为 故选：C ‎　‎ ‎4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A． B． C．2 D．6‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】通过三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据，求出几何体的体积即可．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，‎ 底面直角梯形的底边长分别为：2，1；高为2，‎ 棱锥的高为：2；‎ 所以棱锥的体积为： =2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．则当底面ABC水平放置时，液面高为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】根据题意，当底面ABC水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，‎ 设△ABC的面积为S，则S梯形=S，‎ 水的体积V水=S×AA1=6S，‎ 当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，‎ 则有V水=Sh=6S，‎ 故h=6；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系，注意不等式恒成立问题的处理方法．‎ ‎【解答】解：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R ‎①a=0，则1＞0恒成立 ‎②a≠0，则，故0＜a＜1‎ 由①②得0≤a＜1．即命题甲⇔0≤a＜1．因此甲推不出乙，而乙⇒甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】圆锥曲线的轨迹问题．‎ ‎【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5＞|AC|‎ ‎，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，‎ ‎∴|MA|=|MQ|． 又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，‎ 点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且 2a=5，c=1，∴b=，‎ 故椭圆方程为 =1，即 ．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．若3a2+3b2﹣4c2=0，则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由已知中3a2+3b2﹣4c2=0，可以求出圆x2+y2=1的圆心（原点）到直线ax+by+c=0的距离，然后根据圆半径、弦心距、半弦长构造直角三角形，满足勾股定理，即可求出弦长．‎ ‎【解答】解：∵3a2+3b2﹣4c2=0‎ ‎∴a2+b2=c2‎ 则圆x2+y2=1的圆心到直线ax+by+c=0的距离d==；‎ 则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长l=2=1；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．直线x+a2y+1=0与直线（a2+1）x﹣by+3=0互相垂直，a，b∈R则|ab|‎ 的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．5‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】由直线与直线互相垂直的性质得a2+1﹣a2b=0，从而|b|=||，进而|ab|=|a•|=|a+|，由此能求出|ab|的最小值．‎ ‎【解答】解：∵直线x+a2y+1=0与直线（a2+1）x﹣by+3=0互相垂直，a，b∈R，‎ ‎∴a2+1﹣a2b=0‎ ‎∴|b|=||，‎ ‎∴|ab|=|a•|=|a+|≥2‎ ‎∴|ab|的最小值是2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由正方体的结构特征，我们取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，可证得∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角，解△OEF即可得到答案．‎ ‎【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：‎ ‎∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，‎ 故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，‎ 则在△OEF中，EF=，OE=‎ 故cos∠OEF==‎ 故选D ‎　‎ ‎11．给出下列四个命题：‎ ‎①命题“∀x∈R，都有x2﹣x+1≥”的否定是“∃x∈R，使x2﹣x+1＜”‎ ‎②命题“设向量=（4sinα，3），=（2，3cosα），若∥，则α=的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2；‎ ‎③集合A={x|x2﹣x=0}，B={y|y=﹣lg（sinx）}，C={y|y=}则x∈A是x∈B∩C的充分不必要条件． ‎ 其中正确命题的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】写出原命题的否定，可判断①；根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③．‎ ‎【解答】解：①命题“∀x∈R，都有x2﹣x+1≥”的否定是“∃x∈R，使x2﹣x+1＜”，故①正确；‎ ‎②命题“设向量=（4sinα，3），=（2，3cosα），‎ 若∥，则6sin2α﹣6=0，即sin2α=1，‎ 故原命题若∥，则α=为假命题，其逆否命题假命题，‎ 其逆命题、否命题为真命题，‎ 故②正确；‎ ‎③集合A={x|x2﹣x=0}={0，1}，‎ B={y|y=﹣lg（sinx）}=[0，+∞），‎ C={y|y=}=[0，1]，‎ 故B∩C=[0，1]，‎ 则x∈A是x∈B∩C的充分不必要条件． 故③正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有 ‎（　　）个．‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】设△MF1F2的内切圆的半径等于r，根据2πr=3π，求得 r 的值，由椭圆的定义可得 MF1 +MF2=2a，故△MF1F2的面积等于 （ MF1 +MF2+2c ）r=8r，又△MF1F2的面积等于 2c yM=12，求出yM的值，可得答案．‎ ‎【解答】解：设△MF1F2的内切圆的半径等于r，则由题意可得 2πr=3π，∴r=．‎ 由椭圆的定义可得 MF1 +MF2=2a=10，又 2c=6，‎ ‎∴△MF1F2的面积等于 （ MF1 +MF2+2c ）r=8r=12．‎ 又△MF1F2的面积等于 •2c•|yM|=12，∴|yM|=4，‎ 故 M是椭圆的短轴顶点，故满足条件的点M有2个，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分.把答案填在答卷中相应横线上）‎ ‎13．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的　充分不必要　 条件．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：若直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行，‎ 则a（a+1）=2，即a2+a﹣2=0，解得：a=1或a=﹣2，‎ 故“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行“的充分不必要条件，‎ 故答案为：充分不必要．‎ ‎　‎ ‎14．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则+的最小值是　4　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，得到ab关系式，然后通过”1“的代换利用基本不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），‎ 所以直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，可得：a+b=1，‎ ‎+=（+）（a+b）=2+≥4，当且仅当a=b=．‎ ‎+的最小值是：4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎15．已知O为坐标原点，F是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+‎ a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），‎ 令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±，可得P（﹣c，±）．‎ 设直线AE的方程为y=k（x+a），‎ 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），‎ 设OE的中点为H，可得H（0，），‎ 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即=，即为a=3c，‎ 可得e==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=2，AA1=2，点A、B、C、D在球O的表面上，球O与BA1的另一个交点为E，与CD1的另一个交点为F，且AE⊥BA1，则球O的表面积为　8π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】连结EF，DF，说明三棱柱ABE﹣DCF是球O的内接直三棱柱，求出球的半径，即可求解球的表面积．‎ ‎【解答】解：连结EF，DF，易证得BCEF是矩形，‎ 则三棱柱ABE﹣DCF是球O的内接直三棱柱，‎ ‎∵AB=2，AA1=2，‎ ‎∴tan∠ABA1=，即∠ABA1=60°，‎ 又AE⊥BA1，‎ ‎∴AE=，BE=1，‎ ‎∴球O的半径R==，‎ 球O表面积为：4πR2=4π=8π．‎ 故答案为：8π．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知公差为正数的等差数列{an}满足a1=1，2a1，a3﹣3，a4+5成等比数列．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=（﹣1）nan，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）公差d为正数的等差数列{an}满足a1=1，2a1，a3﹣3，a4+5成等比数列．可得=2a1•（a4+5），即（2d﹣2）2=2（6+3d），解出即可得出．‎ ‎（2）由（1）可得，对n分类讨论即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）公差d为正数的等差数列{an}满足a1=1，2a1，a3﹣3，a4+5成等比数列．‎ ‎∴=2a1•（a4+5），即（2d﹣2）2=2（6+3d），化为：2d2﹣7d﹣4=0，d＞0，解得d=4，∴an=4n﹣3．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 当n为偶数时，，‎ 当n为奇数时，n+1为偶数，Tn=Tn+1﹣bn+1=2（n+1）﹣（4n+1）=﹣2n+1，‎ 综上，．‎ ‎　‎ ‎18．设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．‎ ‎（1）求f（x）的值域；‎ ‎（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．‎ ‎【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（I）将f（x）=cos（x+π）+2化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．‎ ‎（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a．‎ ‎【解答】解：（I）f（x）=cos（x+π）+2‎ ‎=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1‎ ‎=﹣cosx﹣sinx+cosx+1‎ ‎=cosx﹣sinx+1‎ ‎=sin（x+）+1‎ 因此函数f（x）的值域为[0，2]‎ ‎（II）由f（B）=1 得sin（B+）+1=1，即sin（B+）=0，即B+=0或π，B=或﹣‎ 又B是三角形的内角，所以B=‎ 由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB 即1=a2+3﹣3a，整理a2﹣3a+2=0‎ 解得a=1或a=2‎ 答：（I）函数f（x）的值域为[0，2]‎ ‎（II）a=1或a=2‎ ‎　‎ ‎19．如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．‎ ‎（1）求O点到面ABC的距离；‎ ‎（2）求二面角E﹣AB﹣C的正弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】通过以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用点O到面ABC的距离公式d=，两个平面的法向量夹角公式=即可得出．．‎ ‎【解答】解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．‎ 则A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．‎ ‎∴，．‎ 设平面ABC的法向量为，‎ 则，令x=1，则z=2，y=1，∴．‎ ‎∴点O到面ABC的距离d===．‎ ‎（2）=（2，﹣1，0）．‎ 设平面EAB的法向量为，则，‎ 令a=1，得b=c=2，∴．‎ 由（1）知平面ABC的法向量．‎ ‎===．‎ ‎∴==．‎ 结合图形可知，二面角E﹣AB﹣C的正弦值是．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），而且过点H（，）．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的定义；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）解法一：根据椭圆E：的一个交点为，过点，可得a2﹣b2=3，，联立即可求得椭圆E的方程；‎ 解法二：椭圆的两个焦点分别为，利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），求出，同 设圆G的圆心为，利用，即可得到线段OT的长度；‎ 解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），求出，，可得，由切割线定理可得线段OT的长度．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解法一：由题意，∵椭圆E：的一个交点为，‎ ‎∴a2﹣b2=3，①‎ ‎∵椭圆过点．‎ ‎∴，②‎ ‎①②解得a2=4，b2=1，‎ 所以椭圆E的方程为．…‎ 解法二：椭圆的两个焦点分别为，‎ 由椭圆的定义可得，所以a=2，b2=1，‎ 所以椭圆E的方程为．…‎ ‎（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），‎ 直线PA1：，令y=0，得；‎ 直线PA2：，令y=0，得； ‎ 设圆G的圆心为，‎ 则r2=，‎ 而，所以，所以，‎ 所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…‎ 解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），‎ 直线PA1：，令y=0，得；‎ 直线PA2：，令y=0，得；‎ 则，而，所以，‎ 所以，由切割线定理得OT2=|OM|•|ON|=4‎ 所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…‎ ‎　‎ ‎21．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．‎ ‎（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；圆的一般方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得 ‎|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，‎ 可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，‎ 由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，‎ 由AC=AD，可得∠D=∠C，‎ 即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，‎ 则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，‎ 故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，‎ 且有2a=4，即a=2，c=1，b==，‎ 则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；‎ ‎（Ⅱ）椭圆C1： +=1，设直线l：x=my+1，‎ 由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），‎ 由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，‎ 则|MN|=•|y1﹣y2|=•‎ ‎=•=12•，‎ A到PQ的距离为d==，‎ ‎|PQ|=2=2=，‎ 则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•‎ ‎=24•=24，‎ 当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，‎ 即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．‎