2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、选择题 ‎1．某工厂生产三种不同型号的产品，产品数量之比依次为。现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号的产品共有件，那么此样本的容量为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，总体中中种型号产品所占的比例是，因样本中种型号产品有件，则，解得，故选C.‎ ‎2．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】执行程序框图， ，第一次循环 ， ；第二次循环 ， ；因为 不成立，退出循环，输出 ，故选B.‎ ‎3．25（10）化成二进制数为（ ）‎ A. 11001（2） B. 10101（2）‎ C. 10011（2） D. 11100（2）‎ ‎【答案】A ‎【解析】， ， ，故选A.‎ ‎4．下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题 B. 命题“若，则”‎ 的否命题 C. 命题“若，则”的否命题 D. 命题“若，则”的逆命题 ‎【答案】D ‎【解析】中逆否命题与原命题同真假，原命题假，故错误； 中命题的否命题是“，则”，当时不成立； 中命题的否命题是“若，则”，当时， ，故错误； 中命题“若，则”的逆命题是“若，则”，无论是正数、负数、零都成立，故选D.‎ ‎5．命题使;命题都有.则下列结论正确的是（ ）‎ A. 命题是真命题 B. 命题是真命题 C. 命题是真命题 D. 命题是假命题 ‎【答案】C ‎【解析】命题： ，故不存在使，命题为假，命题，故，都有为真， ，命题“”是假命题， ，非为假，故命题 “非”是假命题， ，非为真，故命题“非”是真命题，故选C.‎ ‎6．“是”成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】因为，必要，若，则 或 ，即不一定成立，所以 ‎“是”成立的充分不必要条件，故选A.‎ ‎7．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）‎ A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生” B. “至少1名男生”与“全是女生”‎ C. “至少1名男生”与“全是男生” D. “恰好有1名男生”与“恰好2名女生”‎ ‎【答案】B ‎【解析】从名男生和名女生中任选名学生参加演讲比赛，“至少名男生”与“全是女生”是对立事件；“至少名男生”与 “至少有名是女生”不互斥；“至少名男生与”全是男生“不互斥；“怡好有名男生”与“怡好名女生”是互斥不对立事件，故选B. ‎ ‎8．已知双曲线的焦点为，则此双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意可知 所以双曲线的渐近线方程为 故答案选 ‎9．如果数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为， ， 的平均数为 的方差为，故选D.‎ ‎10．是圆内一定点， 是圆周上一个动点，线段 的垂直平分线与交于,则点的轨迹是（ ）‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】 ,所以点E的轨迹是以O,A为焦点的椭圆,选B.‎ ‎11．已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的准线方程为，设准线与轴的交点为，由题意，得，故，故点的坐标为，由点在双曲线 上，可得，解得，故，故双曲线的离心率，故选D.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质、双曲线的离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题根据方法①求出离心率．‎ ‎12．过抛物线的焦点作斜率为的直线，交抛物线于两点，若 ‎，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，联立直线与抛物线的方程，可得，解得， ， ，并且由抛物线的定义知 的值分别等于 到准线的距离， ，故选A.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ 二、填空题 ‎13．命题：“”的否定为________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：全称命题“”的否定是“”，所以命题“”的否定是“”‎ ‎【考点】含有一个量词命题的否定.‎ ‎14．如图，古铜钱外圆内方，外圆直径为，中间是边长为的正方形孔,随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率是__________; ‎ ‎ ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】古铜钱外圆内方，外圆直径为，面积为，中间是边长为的正方形孔，面积为，根据几何概型概率公式可得，随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率为，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎15．为了解名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔为_______; ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：抽样间隔为,故填.‎ ‎【考点】系统抽样.‎ ‎16．下列命题正确的是_______（写出正确的序号）‎ ‎①已知、， ，则动点的轨迹是双曲线左边一支；‎ ‎②已知椭圆的长轴在轴上,若焦距为,则实数的值是；‎ ‎③抛物线的焦点坐标是。‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】① ， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线右边一支，故①错误；②根据题意，椭圆长轴在轴上，则其标准方程为： ，且有，解可得，若椭圆的焦距为，即，则有，即，解可得，②正确；③当 时，整理抛物线方程得， 焦点坐标为，当时，同样可得焦点坐标为，③错误；故答案为②.‎ 三、解答题 ‎17．某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的指数与当天的空气水平可见度（单位： ）的情况如下表：‎ ‎（1）设，根据上表的数据， 用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（附参考公式： ，其中， ）‎ ‎ 参考数据： ‎ ‎（2）根据求出的回归直线方程预测当指数时,当天空气水平的可见度约是多少?‎ ‎【答案】(1) （2）当天空气水平的可见度约是 ‎【解析】试题分析：（1）根据表中数据计算平均数，利用求出，将样本中心点坐标代入回归方程可得，从而可得出线性回归方程；（2）将代入回归方程即可预测当天空气水平的可见度.‎ 试题解析:（1）由,,‎ 得,回归直线方程为: ‎ ‎（2）当时,求得.‎ 答: 当天空气水平的可见度约是 ‎18．已知命题 “存在”; ‎ 命题：“曲线 表示焦点在轴上的椭圆”; ‎ 命题: “关于的不等式成立”.‎ ‎ （1）若“且”是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎ （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值范围； （2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．‎ 试题解析：（1）若为真： ‎ 解得或 ‎ 若为真：则 ‎ 解得或 ‎ 若“且”是真命题，则 ‎ 解得或 ‎ ‎（2）若为真，则，即 ‎ 由是的必要不充分条件，‎ 则可得 或 ‎ 即或 解得或 ‎ ‎19．已知椭圆的离心率为，点分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于两点，求的面积．‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出椭圆方程，利用椭圆的离心率为，建立方程，联立，即可求椭圆的方程：（2）设,由得 , 根据韦达定理，弦长公式点到直线距离公式以及三角形面积公式即可求得的面积.‎ 试题解析:由得 所以 所以 又因为焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎（2）解:设 由得 所以 ‎ ‎ ‎ 到的距离 ‎ 所以 ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎20．某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份).现从回收的年龄在岁的问卷中随机抽取了份， 统计结果如下面的图表所示.‎ ‎（1）分别求出的值；‎ ‎（2）从年龄在答对全卷的人中随机抽取人授予“环保之星”，求年龄在的人中至少有人被授予“环保之星”的概率.‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据频率直方分布图，通过概率的和为，求出所需频率，根据频率与频数的故选可求得求出的值；（2）年龄在中答对全卷的人记为,年龄在中答对全卷的人记为，分别列举出所有的基本事件，根据古典概型概率公式概率公式计算即可.‎ 试题解析：（1）解: ‎ ‎ ‎ ‎（2）解:年龄在之间答对全卷的有人分别为 ： ；‎ ‎ 年龄在之间答对全卷的有人分别为 ： ‎ ‎ 事件A：年龄在的人中至少有人被授予“环保之星基本事件为 共15个 其中事件A：包括， ， ， ， 共9个 ‎ ‎ 答：年龄在的人中至少有人被授予“环保之星的概率为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及离散型随机变量的应用，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先， …. ，再， ….. 依次 …. … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎21．已知抛物线的焦点坐标为.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点作互相垂直的直线,与抛物线分别相交于两点和两点，求四边形面积的最小值.‎ ‎【答案】(1) （2）最小值.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由焦点坐标为可确定焦点在轴上， ，从而可得抛物线 的标准方程；（2）设直线的方程为， ,直线与抛物线联立得，整理得 , 根据韦达定理，弦长公式点到直线距离公式以及三角形面积公式即可求得四边形面积为，化简后，利用基本不等式可得结果.‎ 试题解析：（1）解:由焦点坐标为可确定焦点在轴上， ，‎ ‎ 所以抛物线的标准方程： ‎ ‎（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， ‎ 直线与抛物线联立得，整理得 ‎ 所以 ‎ 由抛物线的定义可知 同理可得 ‎ 所以四边形ABCD的面积为， ‎ 当且仅当时取最小值.‎ ‎22．已知椭圆上的点到左焦点的最短距离为，长轴长为.‎ ‎⑴求椭圆的标准方程；‎ ‎⑵过椭圆的右焦点作斜率存在且不等于零的直线与椭圆相交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) （2）， ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆的点到左焦点的最短距离为，长轴长为列出关于 、 、的方程组，结合性质 ，求出 、 、，即可得结果；（2）设直线方程为， ，由得，根据韦达定理，平面向量数量积公式将用 与 表示，利用 即可得结果.‎ 试题解析：⑴解:由得 所以椭圆的标准方程为： ‎ ‎⑵解:设直线方程为， ‎ 由得 所以 ‎ 要使上式为定值，即与无关，则应有 所以 ‎ 此时，定点为