专题32+平面向量++平面向量的数量积-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试

专题32+平面向量++平面向量的数量积-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试

‎2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎32 平面向量 平面向量的数量积 ‎ 【考点讲解】‎ 一、 具本目标：‎ ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ 考纲解读：‎ ‎1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低； ‎ ‎2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键； ‎ ‎(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.‎ 二、知识概述：‎ 一）主要公式：‎ ‎1.向量的数量积：已知两个非零向量、，它们的夹角为，则·=.‎ 若=(,),=(,)，则·=.‎ ‎2.向量的模：若=，则||=.‎ ‎3.两向量的夹角余弦值： .‎ ‎4.向量垂直的等价条件：.‎ 二）主要知识点：‎ ‎1.两个向量的夹角 ‎（1）定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB＝θ 叫做向量与的夹角．‎ （2） 夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，‎ 夹角θ＝180°.‎ ‎（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥.‎ ‎2.平面向量数量积：‎ ‎（1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，‎ 即＝，其中θ是与的夹角．‎ 规定. ‎ 当⊥时，θ＝90°，这时.‎ ‎（2）的几何意义：‎ 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．‎ ‎3.向量数量积的性质：‎ ‎（1），.‎ ‎（2）(θ为与的夹角).‎ ‎（3）.‎ ‎4.数量积的运算律 ‎（1）交换律：.‎ ‎（2）分配律： ‎ ‎（3）对.‎ ‎5.数量积的坐标运算：设，有下面的结论：‎ ‎（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎（3）‎ ‎（4） (θ为与的夹角).‎ ‎【真题分析】1.【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，‎ 已知,则的值为（ ）‎ A.-15 B.-9 C.-6 D. 0‎ ‎【答案】C ‎2.【2017北京，理6】设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】如果存在负数，使得，此时两向量方向相反，夹角为180°，一，两向量的数量积为：‎ 成立.如果，‎ 此时两向量的夹角在90°到180°之间，两向量不一定是相反方向，也就是不一定存在一个负数，使得成立，所以是充分不必要条件.‎ ‎【答案】A ‎3.【2014山东.理12】 在中，已知，当时，的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎4. 【2016高考浙江理数】已知向量,，若对任意单位向量，均有 ,则的最大值是 ．‎ ‎【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用． ‎ 由题意可知，即最大值为.‎ ‎【答案】‎ ‎5.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为 ．‎ ‎【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，‎ 在等腰梯形ABCD中,由∥,‎ 得,, ,‎ 所以=‎ ‎【答案】 ‎ ‎6.【2016·江苏卷】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，‎ ·＝－1，则·的值是________．‎ 则【答案】 ‎7.【2017课标1，理13】已知向量的夹角为60°，，，则 .‎ ‎【解析】本题考点是平面向量的数量积公式的运用，‎ 法一：由题意可知 所以.‎ ‎【答案】‎ 法二：利用如下图形，可以判断出 的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，由平面几何的知识可以求出菱形对角线的长为.‎ ‎【答案】‎ ‎8.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【模拟考场】‎ ‎1.已知向量，，则（ ）‎ A．2 B．-2 C．-3 D．4‎ ‎【答案】A 2. 已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），‎ 则实数t的值为（ ）‎ A.4 B.–4 C. D.–‎ ‎【解析】由，可设，又，所以 ‎. ‎ 所以，故选B.‎ ‎【答案】B ‎3.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】设，，∴，，‎ ‎，‎ ‎∴，故选B.‎ ‎【答案】B ‎4.已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的投影为（ ）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【答案】A ‎5.设向量，，且，则的值为__________．‎ ‎【解析】因为，所以有，可以得到，‎ 则，应填答案. ‎ ‎【答案】2‎ ‎6.在中，，，.若，，且，则的值为___________.‎ ‎【解析】由题意可知：，‎ ‎，‎ ‎=，‎ 所以可得.‎ ‎【答案】‎ ‎7.已知， ， ，若向量满足，则 的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎8.已知两个不共线的向量，它们的夹角为θ，且，x为正实数．‎ ‎(1)若与垂直，求tanθ；‎ ‎(2)若θ＝，求的最小值及对应的x的值，并判断此时向量与是否垂直．‎ ‎【解析】(1)因为与垂直，‎ 所以.‎ 所以，‎ 所以32－2×3×1×cosθ－8×12＝0，‎ 所以cosθ＝，‎ 又θ∈(0，π)，sinθ＝＝，所以tanθ＝＝.‎ ‎(2) ‎ ‎＝‎ 故当x＝时，取最小值为，‎ 此时 ‎＝×9－3×1×cos＝0，‎ 故向量与垂直. ‎