2020高中数学 第一章函数的最大(小)值与导数

2020高中数学 第一章函数的最大(小)值与导数

‎1.3.3　‎函数的最大(小)值与导数 学习目标：1.理解函数的最值的概念．(难点)2.了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)3.会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．‎ 思考：函数的极值与最值的区别是什么？‎ ‎[提示]函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．‎ 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．‎ 当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．‎ ‎2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤 ‎(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)函数的最大值一定是函数的极大值．(　　)‎ ‎(2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)‎ ‎(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×‎ ‎2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　)‎ A．无最值　　　　 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值 A　[f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]‎ ‎3．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为(　　)‎ 8‎ A．0 B． C． D． C　[f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________. ‎ ‎【导学号：31062058】‎ ‎[解析]　f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．‎ 令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，‎ 当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0，‎ 当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，‎ ‎∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．‎ ‎∴f(0)＝m＝1.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求函数的最值 角度1　不含参数的函数最值 ‎　求下列各函数的最值．‎ ‎(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；‎ ‎(2)f(x)＝sin 2x－x，x∈.‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，‎ 令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：‎ x ‎－2‎ ‎(－2，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎/‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎/‎ f(x)‎ ‎－1‎ ‎11‎ ‎－1‎ ‎11‎ 从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.‎ 当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.‎ ‎(2)f′(x)＝2cos 2x－1，令f′(x)＝0，得cos 2x＝，‎ 又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．‎ 8‎ ‎∴2x＝±.∴x＝±.‎ ‎∴函数f(x)在上的两个极值分别为 f＝－，f＝－＋.‎ 又f＝－，f＝.‎ 比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.‎ 角度2　含参数的函数最值 ‎　a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值. ‎ ‎【导学号：31062059】‎ ‎[解]　f′(x)＝－3x2＋‎3a＝－3(x2－a)．‎ 若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.‎ ‎∵x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．‎ ‎(1)若0＜＜1，即0＜a＜1，‎ 则当x＝时，f(x)有最大值f()＝‎2a.(如下表所示)‎ x ‎0‎ ‎(0，)‎ ‎(，1)‎ ‎1‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎0‎ ‎2a ‎3a‎－1‎ ‎(2)若≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝‎3a－1.‎ 综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；‎ 当0＜a＜1，x＝时，f(x)有最大值‎2a；‎ 当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值‎3a－1.‎ ‎[规律方法]　1.求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.‎ 8‎ ‎2.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．‎ ‎[解]　f′(x)＝3x2－2ax.‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.‎ ‎①当≤0，即a≤0时，‎ f(x)在[0,2]上单调递增，‎ 从而f(x)max＝f(2)＝8－‎4a.‎ ‎②当≥2，即a≥3时，‎ f(x)在[0,2]上单调递减，‎ 从而f(x)max＝f(0)＝0.‎ ‎③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在上单调递减，‎ 在上单调递增，‎ 从而f(x)max＝ 综上所述，f(x)max＝ 已知函数的最值求参数 ‎　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值. ‎ ‎【导学号：31062060】‎ ‎[解]　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．‎ 求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，‎ 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．‎ ‎(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎－1‎ ‎(－1,0)‎ ‎0‎ ‎(0,2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎－‎7a＋b b ‎－‎16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.‎ 又f(－1)＝－‎7a＋3，f(2)＝－‎16a＋3f(－1)，‎ ‎∴f(2)＝－‎16a－29＝3，解得a＝－2.‎ 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.‎ ‎[规律方法]　已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．‎ ‎[解析]　f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.‎ ‎[答案]　－1‎ 与最值有关的综合问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立，则c满足的条件是什么？‎ 提示：c≤f(x)min或c≥f(x)max.‎ ‎2．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，则c满足的条件是什么？‎ 提示：c≤f(x)max或c≥f(x)min.‎ ‎　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．‎ ‎(1)求f(x)的最小值h(t)；‎ ‎(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围. ‎ ‎【导学号：31062061】‎ ‎[思路探究]　(1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；‎ ‎(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，‎ 8‎ ‎∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，‎ 即h(t)＝－t3＋t－1.‎ ‎(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，‎ 由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．‎ 当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：‎ t ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ g′(t)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ g(t)‎ 极大值1－m ‎∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.‎ h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．‎ 母题探究：1.(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？‎ ‎[解]　令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，‎ 由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．‎ 当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：‎ t ‎0‎ ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ g′(t)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ g(t)‎ ‎－1－m 极大值 ‎1－m ‎－3－m ‎∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m，‎ 存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，‎ 等价于g(t)的最小值g(2)<0.‎ ‎∴－3－m<0，∴m>－3，‎ 所以实数m的取值范围为(－3，＋∞)．‎ ‎2．(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)＜－2t2＋m”，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　∵h(t)＝－t3＋t－1，t∈(0,2)‎ ‎∴h′(t)＝－3t2＋1‎ 由h′(t)＝0得t＝或t＝－(舍)‎ 又当0＜t＜时，h′(t)＞0，‎ 当＜t＜2时，h′(t)＜0.‎ 8‎ ‎∴当t＝时，h(t)max＝－＋－1＝.‎ 令φ(t)＝－2t＋m，t∈(0,2)，‎ ‎∴φ(t)min＞m－4.‎ 由题意可知 ≤m－4，‎ 即m≥＋3＝.‎ ‎∴实数m的取值范围为.‎ ‎[规律方法]　分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 所以实数的取值范围为 ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．下列结论正确的是(　　)‎ A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得 D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 D　[函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]‎ ‎2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)‎ A．π－1　　　　　　　　 B．－1‎ C．π D．π＋1‎ C　[因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.]‎ 8‎ ‎3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(　　)‎ ‎ 【导学号：31062062】‎ A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 ‎ D　[f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.]‎ ‎4．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．‎ ‎[解析]　f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1，－.‎ f(－1)＝5，f＝5，f(1)＝3，f(2)＝7，‎ ‎∴m＜3.‎ ‎【答案】　 ‎5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值. ‎ ‎【导学号：31062063】‎ ‎[解]　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．‎ 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎－2‎ ‎(－2,0)‎ ‎0‎ ‎(0,2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ f(x)‎ ‎－40＋a 极大值a ‎－8＋a 所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.‎ 所以当x＝0时，f(x)取到最大值3.‎ 8‎