高中数学选修2-2课时练习第二章 章末检测

高中数学选修2-2课时练习第二章 章末检测

章末检测 一、选择题 ‎1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图像是(　　)‎ A．圆 B．拋物线 C．椭圆 D．直线 答案　D 解析　函数的瞬时变化率处处为0，说明函数的导数为0，即函数是一个常数函数，即y＝c(c为常数)，所以图像应为x轴或平行于x轴的直线．‎ ‎2．若对任意x∈R，f′(x)＝3x2，f(1)＝2，则f(x)等于(　　)‎ A．x3－1 B．x3＋1‎ C．x3＋2 D．x3－2‎ 答案　B 解析　f′(x)＝3x2，∴f(x)＝x3＋c(c为常数)，‎ 又∵f(1)＝2，∴c＝1，∴f(x)＝x3＋1.‎ ‎3．函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0，则x0等于(　　)‎ A．a B．±a C．－a D．a2‎ 答案　B 解析　y′＝′＝＝.由题意得＝0，即x－a2＝0，所以x0＝±a.‎ ‎4．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为(　　)‎ A. B. C. D.· 答案　B 解析　s′＝.当t＝4时，s′＝·＝.‎ ‎5．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)‎ C．(2，＋∞) D．(－1,0)‎ 答案　C 解析　由题意知x＞0，且f′(x)＝2x－2－，即f′(x)＝＞0，∴x2－x－2＞0，‎ 又∵x＞0，∴x＞2.‎ ‎6．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是(　　)‎ A．(e，e) B．(e,1)‎ C．(1，e) D．(1,1)‎ 答案　A 解析　令f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1，‎ 设P(x0，y0)，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，‎ ‎∴x0＝e，此时y0＝x0 ln x0＝e ln e＝e，‎ ‎∴点P的坐标为(e，e)，故选A.‎ ‎7．下列函数在点x＝0处没有切线的是(　　)‎ A．y＝x3＋sin x B．y＝x2－cos x C．y＝xsin x D．y＝＋cos x 答案　D 解析　A、B、C项各函数在x＝0时存在导数，而D在x＝0时不存在导数，所以没有切线．‎ ‎8．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)‎ A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直 答案　B 解析　函数在某点处的导数为0，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为0.‎ ‎9．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　)‎ A．cos2x＋sin2x B．cos2x－sin2x C．2cos x·sin x D．cos x·sin x 答案　B 解析　y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x(－sin x)＝cos2x－sin2x.‎ ‎10．若函数y＝f(x)＝x3，且f′(a)＝3，则a等于(　　)‎ A．1 B．－1 ‎ C．±1 D．不存在 答案　C 解析　∵f′(x)＝3x2，又f′(a)＝3，所以‎3a2＝3，‎ 所以a＝±1.‎ 二、填空题 ‎11．下列四个命题中，正确命题的序号为________．‎ ‎①若f(x)＝，则f′(0)＝0；②(logax)′＝xln a；‎ ‎③加速度是质点的位移s对时间t的导数；④曲线y＝x2在点(0,0)处有切线．‎ 答案　④‎ 解析　①因为f′(x)＝，当x趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数f(x)在x＝0处不存在导数，故错误；②(logax)′＝，故错误；③瞬时速度是位移s对时间t的导数，故错误；④曲线y＝x2在点(0,0)处的切线方程为y＝0，故正确．‎ ‎12．函数f(x)＝sin(4x－2)，则f′(x)＝________.‎ 答案　4cos(4x－2)‎ 解析　f′(x)＝cos(4x－2)·(4x－2)′＝4cos(4x－2)．‎ ‎13．已知函数f(x)＝(ax－1)2，且f′(1)＝0，则a的值为________．‎ 答案　0或1‎ 解析　f′(x)＝(a2x2－2ax＋1)′＝‎2a2x－‎2a，‎ f′(1)＝‎2a(a－1)＝0，故a＝0或a＝1.‎ ‎14．设f＝x2－＋ln x(x>0)，则f′(1)＝________.‎ 答案　－5‎ 解析　令＝t，则x＝.∴f(t)＝2－2t＋ln ，‎ ‎∴f(x)＝2－2x＋ln ，f′(x)＝－2x－3－2－，‎ ‎∴f′(1)＝－2－2－1＝－5.‎ 三、解答题 ‎15．求下列函数的导数 ‎(1)y＝；‎ ‎(2)y＝＋；‎ ‎(3)y＝exln(2x)；‎ ‎(4)y＝－sin (1－2cos2)．‎ 解　(1)∵‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵y＝＋＝.‎ ‎∴y′＝.‎ ‎(3)∵y＝exln(2x)，‎ ‎∴y′＝exln(2x)＋[ln(2x)]′ex ‎＝exln(2x)＋(ln 2＋ln x)′ex ‎＝exln(2x)＋ex.‎ ‎(4)∵y＝－sin ‎＝sin cos ＝sin x，‎ ‎∴y′＝cos x.‎ ‎16．拋物线①y＝x2－2x＋2与②y＝－x2＋ax＋b的一个交点P 处的切线互相垂直，求证：拋物线②通过与a，b无关的一个定点，并求此定点的坐标．‎ 证明　设点P的横坐标为m，则 解方程组得2(a＋b)＝5即b＝.‎ ‎∴y＝－x2＋ax＋－a＝＋a(x－1)．‎ 知此拋物线恒过，所以即为定点．‎ ‎17．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，且f(2x＋1)＝‎4g(x)，f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求a，b，c，d的值．‎ 解　因为f(2x＋1)＝‎4g(x)，‎ 所以4x2＋(4＋‎2a)x＋a＋b＋1＝4x2＋4cx＋4d.‎ 于是，有　 由f′(x)＝g′(x)，‎ 得2x＋a＝2x＋c，即a＝c.③‎ 由①③联立解得a＝c＝2，‎ 所以f(x)＝x2＋2x＋b.‎ 又因为f(5)＝30.‎ 即25＋10＋b＝30，‎ 所以b＝－5，‎ 将a＝2，b＝－5代入②，‎ 得d＝－.‎ 所以a＝2，b＝－5，c＝2，d＝－.‎ ‎18．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．‎ ‎(1)求f(x)的最小值；‎ ‎(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．‎ 解　由题设和均值不等式可知，f(x)＝ax＋＋b≥2＋b，‎ 其中等号成立当且仅当ax＝1，‎ 即x＝时，f(x)取最小值2＋b.‎ ‎(2)f′(x)＝a－，‎ 由题设知，f′(1)＝a－＝，解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去)．‎ 将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1.‎ 所以a＝2，b＝－1.‎