【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试69不等式选讲作业
考点测试69 不等式选讲
高考概览
考纲研读
1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：
|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；
|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；
|ax＋b|≥c；
|x－c|＋|x－b|≥a
3．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法
一、基础小题
1．不等式1<|x＋1|<3的解集为( )
A．(0，2) B．(－2，0)∪(2，4)
C．(－4，0) D．(－4，－2)∪(0，2)
答案 D
解析 由－3
的解集是( )
A．(0，2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 A
解析 由|t|>t知t<0，故<0，其解集为00，下面四个不等式中，正确的是( )
①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|．
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④
答案 C
解析 ∵ab>0，即a，b同号，则|a＋b|＝|a|＋|b|，
∴①④正确，②③错误．选C．
4．若|mx－1|<3的解集为(－1，2)，则m的值是( )
A．2或－4 B．2或－1
C．2或－4或－1 D．2
答案 D
解析 由方程的思想，知－1和2是方程|mx－1|＝3的两个根，∴|m×(－1)－1|＝3，解得m＝2或m＝－4；
|2m－1|＝3，解得m＝2或m＝－1，故m＝2．选D．
5．不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集为________．
答案
解析 |2x＋1|－2|x－1|>0⇔|2x＋1|>2|x－1|
⇔(2x＋1)2>4(x－1)2⇔12x>3⇔x>，
∴原不等式的解集为xx>．
6．若不等式|x－1|＋|x＋3|>a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，4)
解析 由题意知(|x－1|＋|x＋3|)min>a．因为|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4(当－3≤x≤1时取等号)，所以a<4．
二、高考小题
7．(2015·山东高考)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，1) C．(1，4) D．(1，5)
答案 A
解析 ①当x<1时，原不等式等价于1－x－(5－x)<2，即－4<2，∴x<1；
②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)<2，即x<4，∴1≤x<4；
③当x>5时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解．
综合①②③知x<4．选A．
8．(2015·重庆高考)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________．
答案 －6或4
解析 当a≤－1时，f(x)＝
∴f(x)min＝－a－1，∴－a－1＝5，∴a＝－6；
当a>－1时，f(x)＝
∴f(x)min＝a＋1，∴a＋1＝5，∴a＝4．综上，a＝－6或a＝4．
三、模拟小题
9．(2018·山东德州模拟)若关于x的不等式|x－2|＋|x＋3|1的解集；
(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)>1的解集为xx>．
(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立．
若a≤0，则当x∈(0，1)时，|ax－1|≥1，不符合题意；
若a>0，|ax－1|<1的解集为00，b>0，a3＋b3＝2．证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2．
证明 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4．
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2．
二、模拟大题
6．(2018·河南豫南九校联考)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|．
(1)若关于x的不等式f(x)f(x)min，
f(x)＝绘制函数f(x)的图象如图所示，观察函数的图象，可得实数a的取值范围是(4，＋∞)．
解法二：f(x)＝|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，当且仅当－1≤x≤3时，f(x)取得最小值4．
关于x的不等式f(x)4，即实数a的取值范围是(4，＋∞)．
(2)由题意可得x＝是方程|x＋1|＋|x－3|＝a的解，据此有a＝＋1＋－3＝5，求解绝对值不等式|x＋1|＋|x－3|<5可得－1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求证：abc≥8．
解 (1)由已知得f(x－2)－f(x－3)＝|x－1|－|x－2|＝则－1≤f(x)≤1，
由于∃x0∈R，使不等式|x0－1|－|x0－2|≥u成立，所以u≤1，即M＝{u|u≤1}．
(2)证明：由(1)知t＝1，则(a－1)(b－1)(c－1)＝1，
因为a>1，b>1，c>1，所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，
则a＝(a－1)＋1≥2>0(当且仅当a＝2时等号成立)，
b＝(b－1)＋1≥2>0(当且仅当b＝2时等号成立)，
c＝(c－1)＋1≥2>0(当且仅当c＝2时等号成立)，
则abc≥8＝8(当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立)．
10．(2018·河南郑州二模)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a．
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)得|2x＋1|≥|x|，两边平方整理得3x2＋4x＋1≥0，
解得x≤－1或x≥－，
∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪－，＋∞．
(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x＋1|－|x|，
令h(x)＝|2x＋1|－|x|，
则h(x)＝
故h(x)min＝h－＝－，
所以实数a的取值范围为a≥－．
