吉林省吉林市舒兰市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

吉林省吉林市舒兰市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

‎2018-2019学年第二学期期中考试 高二数学(理)‎ 考生注意:‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.将答案填在相应的答题卡内，在试题卷上作答无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.无理数是实数，是无理数，所以是实数.以上三段论推理（ ）‎ A. 正确 B. 推理形式不正确 C. 两个“无理数”概念不一致 D. 两个“实数”概念不一致 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．‎ ‎【详解】解：∵无理数是实数，是无理数，所以是实数．‎ 大前提：无理数是实数是正确的，‎ 小前提：是无理数是正确的，‎ 结论：是实数是正确的，‎ ‎∴这个推理是正确的，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．‎ ‎2.是虚数单位，则的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 由复数的除法运算，先化简，再由复数的概念，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以其虚部为.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查复数的运算、以及复数的概念，熟记复数的运算法则以及复数概念即可，属于常考题型.‎ ‎3.函数在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线的方程．‎ ‎【详解】解：函数f (x)＝cosx的导数为f′（x）＝﹣sinx，‎ 即有在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝﹣sin0＝0，‎ 切点为（0，1），‎ 则在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝，‎ 即为y－1＝0．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用导数的几何意义和直线的方程，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎4.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“已知a＞b＞0，求证：－＜．”最终的索因应是 A. ＜1 B. ＞1 C. 1＜ D. a－b＞0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，要证－＜，经过分析，只要证1＜，从而得出结论．‎ ‎【详解】解：由a＞b＞0，可得 要证－＜，a，只要证，‎ 即证 ，即证，‎ 即证 ，即证1＜．‎ 故求证“－＜”索的因应是 1＜，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查用分析法证明不等式，属于基础题．‎ ‎5.10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法 A. 种 B. －种 C. 种 D. 种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不相邻问题采用“插空法”.‎ ‎【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排，‎ ‎∴采用插空法来解，‎ 另外六人，有种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁，‎ 有种结果，‎ 根据分步计数原理知共有•，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．‎ ‎6.下列命题正确的是（）‎ A. 复数不是纯虚数 B. 若，则复数为纯虚数 C. 若是纯虚数，则实数 D. 若复数，则当且仅当时，为虚数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对四个选项进行判断，得到正确的选项.‎ ‎【详解】选项A中，当时，复数是纯虚数，故错误；选项B中，时，复数，为纯虚数，故正确；选项C中，是纯虚数，则，即，得，故错误；选项D中，没有给出为实数，当，时，也可以是虚数，故错误.‎ 所以选B项.‎ ‎【点睛】本题考查复数的定义和纯虚数的概念，判断命题的正确，属于简单题.‎ ‎7.若函数f (x)＝＋x，则＝‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用微积分基本定理即可得到结果.‎ ‎【详解】∵f (x)＝＋x，‎ ‎∴‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查微积分基本定理，考查函数的表达式，考查运算能力.‎ ‎8.今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有 A. 210种 B. 162种 C. 720种 D. 840种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先在7个位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，由乘法原理可得答案．‎ ‎【详解】解：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题．‎ 先在7位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，‎ 所以共有••＝210．‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查排列组合的基本知识．分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法．‎ ‎9.已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“a＝1”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把复数的表示形式写成标准形式，根据复数在第四象限，得到复数的坐标所满足的条件，横标大于零，纵标小于零，得到a的取值范围，得到结果．‎ ‎【详解】解：∵复数z＝（a﹣2i）（1+i）＝a+2+（a﹣2）i，‎ ‎∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），‎ 若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，‎ ‎∴﹣2＜a＜2，‎ ‎∴“点M在第四象限”是“a＝1”的必要而不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查充要条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．‎ ‎10.观察下列各式：，，，，，…，则（ ）‎ A. 322 B. 521 C. 123 D. 199‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中数据，归纳推理，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，，，，，…，‎ 等式右边对应数为，‎ 所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；‎ 因此，求，即是求数列“”中的第12项，‎ 所以对应的数列为“”，即第12项为322.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查归纳推理，结合题中数据，找出规律即可，属于常考题型.‎ ‎11.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有 A. 24对 B. 16对 C. 18对 D. 48对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可，相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对.‎ ‎【详解】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，相互平行或相互垂直，‎ 则考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可.‎ 相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对，共6对，‎ 正方体有三组相对面，故3×6=18，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查空间直线平行与垂直的判断，考查空间想象能力，考查分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎12.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是()‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在处取得极大值，得到在的左右两边的单调性，从而得到的正负，从而得到在的左右两边的正负，得到答案.‎ ‎【详解】因为函数在处取得极大值，‎ 故时，单调递增，所以，‎ 时， 单调递减，所以，‎ 所以的图像，在时，‎ 在时，‎ 故选D项.‎ ‎【点睛】本题考查已知函数极大值求导函数的正负，判断函数图像，属于中档题.‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数．‎ ‎【详解】解：设复数在复平面内对应的点关于原点对称，复数的实部相反，虚部相反，‎ ‎＝－20＋18i，‎ 所以＝20－18i．‎ 故答案为：20－18i．‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义，对称点的坐标的求法，基本知识的应用．‎ ‎14.某单位将4名新来的员工小张、小王、小李、小刘分配到营销、财务、保管三个部门中，每个部门至少安排1名员工，其中小张不能分配到营销部门，那么不同的分配方案有______．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析小张有2种方法，再分两种情况讨论其他三名员工，①三个部门每部门一人，②小王、小李、小刘中一个部门1人，另一个部门2人，分别求出情况种数，从而可得答案.‎ ‎【详解】小张不能分配到营销部门，则小张可以放在财务、保管部门，有A21种方法，‎ 另外三个员工有2种情况，‎ ‎①三人中，有1个人与小张分配一个部门，即小王、小李、小刘每人一个部门，有A33种，‎ ‎②三人中，没有人与小张分配一个部门，这三人都被分配到小张没有分配的另外2个部门，‎ 则这三人中一个部门1人，另一个部门2人，有C32A22种情况，‎ 则另外三名员工有A33+C32A22种安排方法，‎ ‎∴不同的分配方案有A21（A33+C32A22）＝24，‎ 故答案为：24．‎ ‎【点睛】本题考查排列组合的简单应用， 一般思路，按照先分组，再分配的原则求解即可.‎ ‎15.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是2的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，由四边形ABCD为正方形，得到OB＝OA，∠BOA＝90°，∠MBO＝∠OAN＝45°，而四边形ORQP为正方形，得∠NOM＝90°，所以∠MOB＝∠NOA，则△OBM≌△OAN，即可得到S四边形MONB＝S△AOB.‎ ‎【详解】解：连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，‎ 如图示：‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴OB＝OA，∠BOA＝90°，∠MBO＝∠OAN＝45°，‎ 而四边形ORQP为正方形，‎ ‎∴∠NOM＝90°，‎ ‎∴∠MOB＝∠NOA，‎ ‎∴△OBM≌△OAN，‎ ‎∴S四边形MONB＝S△AOB2×2＝1，‎ 即它们重叠部分的面积为1，‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质．‎ ‎16.已知函数f (x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是______．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，明确函数的单调性，从而得到函数的最值.‎ ‎【详解】由题意可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴函数f (x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是，‎ 故答案为：18‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查运算能力，属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知复数＋x＋(－3x＋2)i（x∈R）是复数6－20i的共轭复数，求实数x的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由共轭复数的定义可得可得，解之可得答案．‎ ‎【详解】因为复数6－20i的共轭复数为6＋20i，‎ 由题意得：＋x＋(－3x＋2)i＝6＋20i， ‎ 根据复数相等的充要条件，得：‎ 方程①的解为：x＝－3或x＝2．‎ 方程②的解为：x＝－3或x＝6．‎ 所以实数x的值为－3．‎ ‎【点睛】本题考查共轭复数的概念，属基础题．明确相关概念是解题关键．‎ ‎18.做一个容积为256方底无盖水箱，求它的高为何值时最省料．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设此水箱的高为x，底面棱长为a，则a2x＝256，其表面积S＝4ax+a2a2a2，利用均值不等式即可得出．‎ ‎【详解】解：设此水箱的高为x，底面棱长为a，则a2x＝256，‎ 其表面积S＝4ax+a2a2a2≥3×26＝192．‎ 当且仅当a＝8即h4时，S取得最小值．‎ 答：它的高为4 dm时最省料．‎ ‎【点睛】本题考查了正方体的体积与表面积、均值不等式，属于基础题．‎ ‎19.个相同的红球和个相同的白球放入袋中，现从袋中取出个球，若取出的红球个数多于白球个数，则有多少种不同的取法？‎ ‎【答案】(种).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由取出个球且取出的红球个数多于白球个数可知，取出的个球中至少有个红球，分为全为红球和4个球里有3个红球两种情况，分别得到取法的数量，然后相加得到答案.‎ ‎【详解】解:依题意知，取出的个球中至少有个红球，可分两类:‎ 取出的全是红球有的取法有：‎ 取出的球中有个红球的取法有；‎ 由分类计数原理，共有(种).‎ ‎【点睛】本题考查利用组合解决问题，分类计数原理，属于简单题.‎ ‎20.从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．‎ 试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？‎ ‎（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？‎ ‎（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻五位数有几个？（所有结果均用数值表示）‎ ‎【答案】（1）576；（2）576；（3）144‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列；‎ ‎（2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；‎ ‎（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.‎ ‎【详解】（1）偶数在末尾，五位偶数共有＝576个． ‎ ‎（2）五位数中，偶数排在一起的有＝576个． ‎ ‎（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有＝144．‎ ‎【点睛】本题主要考查了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．‎ ‎21.设函数g(x)＝－1－ax，若当x≥0时，x(－1－ax)≥0，求a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ g′（x）＝ex﹣a，根据a的取值范围利用导数性质能求出a的取值范围．‎ ‎【详解】由已知可得g′(x)＝－a．‎ 若a≤1，则当x∈（0，＋∞）时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，‎ 而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，‎ 即x(－1－ax)≥0． ‎ 若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，‎ 而g(0)＝0，从而当x∈（0，lna）时，g(x)＜0，‎ 即x(－1－ax)＜0．‎ 综上，得a的取值范围为(－∞，1]．‎ 点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎ ‎22.试比较3－与（n为正整数）的大小，并予以证明．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差法可得3－－＝，确定3－与的大小关系等价于比较与2n＋1的大小，利用数学归纳法证明即可.‎ ‎【详解】证明：3－－＝， ‎ 于是确定3－与的大小关系等价于比较与2n＋1的大小．‎ 由2＜2×1＋1，＜2×2＋1，＞2×3＋1，＞2×4＋1，＞2×5＋1， ‎ 可猜想当n≥3时，＞2n＋1， ‎ 证明如下：‎ ⅰ当n＝3时，由上可知显然成立．‎ ⅱ假设当n＝k时，＞2k＋1成立．‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ ‎＝2×＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，‎ 所以当n＝k＋1时猜想也成立，‎ 综合ⅰ和ⅱ，对一切n≥3的正整数，都有＞2n＋1．‎ 所以当n＝1，2时，3－＜；‎ 当n≥3时，3－＞（n为正整数）．‎ ‎【点睛】本题考查大小的比较，考查作差法、考查数学归纳法，考查转化思想，属于中档题.‎ ‎ ‎