【数学】2020届一轮复习苏教版数学归纳法作业

【数学】2020届一轮复习苏教版数学归纳法作业

‎(二十六) 数学归纳法 A组——大题保分练 ‎1．(2018·南通三模)已知函数f0(x)＝(a≠0，bc－ad≠0)．设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.‎ ‎(1)求f1(x)，f2(x)；‎ ‎(2)猜想fn(x)的表达式，并证明你的结论．‎ 解：(1)f1(x)＝f0′(x)＝′＝，‎ f2(x)＝f1′(x)＝′＝.‎ ‎(2)猜想fn(x)＝，n∈N*.‎ 证明：①当n＝1时，由(1)知结论成立，‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时结论成立，‎ 即有fk(x)＝.‎ 当n＝k＋1时，‎ fk＋1(x)＝fk′(x)‎ ‎＝′‎ ‎＝(－1)k－1·ak－1·(bc－ad)·k！[(ax＋b)－(k＋1)]′‎ ‎＝.‎ 所以当n＝k＋1时结论成立．‎ 由①②得，对一切n∈N*结论都成立．‎ ‎2．(2018·镇江模拟)证明：对一切正整数n,5n＋2·3n－1＋1都能被8整除．‎ 证明：(1)当n＝1时，原式等于8，能被8整除；‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，‎ 即5k＋2·3k－1＋1能被8整除．‎ 设5k＋2·3k－1＋1＝8m，m∈N*，‎ 当n＝k＋1时，‎ ‎5k＋1＋2·3k＋1‎ ‎＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·3k－1－4‎ ‎＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4(3k－1＋1)，‎ 而当k≥1，k∈N*时，3k－1＋1显然为偶数，设为2t，t∈N*，‎ 故5k＋1＋2·3k＋1＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4(3k－1＋1)＝40m－8t(m，t∈N*)，也能被8整除，‎ 故当n＝k＋1时结论也成立；‎ 由(1)(2)可知，对一切正整数n,5n＋2·3n－1＋1都能被8整除．‎ ‎3．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n≥2，n∈N*)，求证：S2n＞1＋(n≥2，n∈N*)．‎ 证明：(1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝＞1＋，即n＝2时命题成立；‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，‎ 即S2k＝1＋＋＋…＋＞1＋，‎ 则当n＝k＋1时，‎ S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋ ‎＞1＋＋＋＋…＋ ‎＞1＋＋ ‎＝1＋＋＝1＋，‎ 故当n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*不等式S2n＞1＋都成立．‎ ‎4．(2018·常州期末)记(x＋1)··…·(n≥2且n∈N*)的展开式中含x项的系数为Sn，含x2项的系数为Tn.‎ ‎(1)求Sn；‎ ‎(2)若＝an2＋bn＋c，对n＝2,3,4成立，求实数a，b，c的值；‎ ‎(3)对(2)中的实数a，b，c，用数学归纳法证明：对任意n≥2且n∈N*，＝an2＋bn＋c都成立．‎ 解：(1)因为(x＋1)··…· ‎＝(1＋x)(1＋2x)·…·(1＋nx)‎ ‎＝[1＋(1＋2＋…＋n)x＋…＋n！xn]，‎ 所以Sn＝＝.‎ ‎(2)由题意及(1)可知＝，＝，＝，‎ 又＝an2＋bn＋c，‎ 则解得a＝，b＝－，c＝－.‎ ‎(3)证明：①当n＝2时，由(2)知等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，等式成立，‎ 即＝k2－k－.‎ 当n＝k＋1时，由 f(x)＝(x＋1)·…· ‎＝· ‎＝知 Tk＋1＝Sk＋Tk ‎＝，‎ 所以＝ ‎＝＝.‎ 又(k＋1)2－(k＋1)－＝＝上式，‎ 即等式＝(k＋1)2－(k＋1)－也成立．‎ 综上可得，对任意n≥2且n∈N*，都有＝an2＋bn＋c成立．‎ B组——大题增分练 ‎1．(2018·南通、泰州一调)用数学归纳法证明：当x∈N*时，cos x＋cos 2x＋cos 3x＋…‎ ‎＋cos nx＝－(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z)．‎ 证明：①当n＝1时，‎ 等式右边＝－ ‎＝ ‎＝ ‎＝cos x＝等式左边，等式成立．‎ ‎②假设当n＝k时等式成立，‎ 即cos x＋cos 2x＋cos 3x＋…＋cos kx ‎＝－.‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ 有cos x＋cos 2x＋cos 3x＋…＋cos kx＋cos[(k＋1)x]‎ ‎＝－＋cos[(k＋1)x]‎ ‎＝－ ‎＝sin[(k＋1)x]cosx－cos[(k＋1)x]sinx＋2sinxcos[(k＋1)x]÷2sinx－ ‎＝－ ‎＝－，‎ 这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．‎ 根据①和②可知，对任何n∈N*等式都成立．‎ ‎2．已知数列{an}共有3n(n∈N*)项，记f(n)＝a1＋a2＋…＋a3n.对任意的k∈N*,1≤k≤3n，都有ak∈{0,1}，且对于给定的正整数p (p≥2)，f(n)是p的整数倍．把满足上述条件的数列{an}的个数记为Tn.‎ ‎(1)当p＝2时，求T2的值；‎ ‎(2)当p＝3时，求证：Tn＝[8n＋2(－1)n]．‎ 解：(1)由题意，当n＝2时，数列{an}共有6项．‎ 要使得f(2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，‎ 故T2＝C＋C＋C＋C＝25＝32. ‎ ‎(2)证明：由题意及(1)的分析可知，‎ 当p＝3时，Tn＝C＋C＋C＋…＋C .‎ 当1≤k≤n，k∈N*时，‎ C＝C＋C ‎＝C＋C＋C＋C ‎＝2C＋C＋C ‎＝2(C＋C)＋C＋C＋C＋C ‎＝3(C＋C)＋C＋C， ‎ 于是Tn＋1＝C＋C＋C＋…＋C ‎＝C＋C＋3(C＋C＋C＋C＋…＋C＋C)＋Tn－C＋Tn－C ‎＝2Tn＋3(23n－Tn)‎ ‎＝3×8n－Tn. ‎ 下面用数学归纳法证明Tn＝[8n＋2(－1)n]．‎ 当n＝1时，T1＝C＋C＝2＝[81＋2(－1)1]，‎ 即n＝1时，命题成立．‎ 假设n＝k (k≥1，k∈N*) 时，命题成立，‎ 即Tk＝[8k＋2(－1)k]．‎ 则当n＝k＋1时，‎ Tk＋1＝3×8k－Tk＝3×8k－[8k＋2(－1)k]‎ ‎＝[9×8k－8k－2(－1)k]‎ ‎＝[8k＋1＋2(－1)k＋1]，‎ 即n＝k＋1时，命题也成立．‎ 于是当n∈N*，有Tn＝[8n＋2(－1)n]．‎ ‎3．(2018·扬州调研)在数列{an}中，an＝cos(n∈N*)．‎ ‎(1)试将an＋1表示为an的函数关系式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝1－(n∈N*)，猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论．‎ 解：(1)an＝cos＝cos ‎＝22－1，‎ ‎∴an＝2a－1，∴an＋1＝± ，‎ 又n∈N*，n＋1≥2，an＋1>0，∴an＋1＝ .‎ ‎(2)当n＝1时，a1＝－，b1＝1－2＝－1，∴a1>b1；‎ 当n＝2时，a2＝，b2＝1－＝，∴a2＝b2；‎ 当n＝3时，a3＝，b3＝1－＝，∴a30，‎ 即证＋2>0，‎ 显然成立．‎ ‎∴n＝k＋1时，结论也成立．‎ 综合①②可知：当n≥3时，an

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