2018-2019学年山东省济南市历城二中高一（上）学情数学试卷
2018-2019学年山东省济南市历城二中高一（上）学情数学试卷
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设集合M={0, 1, 2}，N={x|x2−3x+2≤0}，则M∩N=( )
A.{1} B.{2} C.{0, 1} D.{1, 2}
2. 下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A.y=−2x3与y＝x−2x B.y＝(x)2与y＝|x|
C.f(x)＝x2−2x−1与g(t)＝t2−2t−1 D.y=x+1x−1与y=(x+1)(x−1)
3. 下列函数是偶函数且在区间(−∞, 0)上为增函数的是（ ）
A.y＝2x B.y=1x C.y＝|x| D.y＝−x2
4. 函数f(x)＝x2+2(a−1)x+2在区间(−∞, 4]上是单调递减的，则实数a的取值范围是（ ）
A.a≤−3 B.a≥−3 C.a≤5 D.a≥5
5. 下列图象是函数y=x2,x<0x−1,x≥0 的图象的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数f(x)=ax+2,x>1−x2+2x,x≤1 ，当x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则a的取值范围是（ ）
A.[−1, +∞) B.(−1, +∞) C.[−1, 0) D.(−1, 0)
7. 已知M＝{x|x−a＝0}，N＝{x|ax−1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为（ ）
A.1 B.−1 C.1或−1 D.0或1或−1
8. 已知偶函数f(x)在(−∞, 0]上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A.f(−72)
3} B.{x|x<−3或03}
11. 我们把对应法则和值域相同，但定义域不同的函数叫做“同族函数”．已知函数y＝x2，其值域为{1, 4}，则它的“同族函数”共有（ ）个
A.9 B.8 C.7 D.6
12. 数学老师给出一个函数f(x)，甲是、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质
甲；在(−∞, 0]上函数单调递减； 乙：在[0, +∞)上函数单调递增；
丙：在定义域R上函数的图象关于直线x＝1对称； 丁：f(0)不是函数的最小值．
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为谁说的是错误的（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
已知f(x)=x+1,x>02,x=00,x<0 ，则f{f[f(−1)]}＝________．
y=3x+2+1x−2的定义域为________．
已知f(x)＝ax7−bx5+cx3+2，且f(−5)＝3则f(5)+f(−5)＝________．
给出下列四个命题：
①函数y＝|x|与函数y＝(x)2表示同一个函数；
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②奇函数的图象一定通过平面直角坐标系的原点；
③函数y=1x的单调减区间是(−∞, 0)∪(0, +∞)；
④若函数f(x)的定义域为[0, 2]，则函数f(2x)的定义域为[0, 4]；
⑤若f(x+y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝2，则f(2)f(1)+f(4)f(3)+⋯+f(2018)f(2017)=2018
其中不正确命题的序号是________．（填上所有不正确命题的序号）
三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
设全集为实数集R，已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|21时，f(x)>0，且满足f(xy)=f(x)−f(y)．
（1）求f(1)的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若f(2)＝1，解不等式f(x+3)−f(1x)<2．
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参考答案与试题解析
2018-2019学年山东省济南市历城二中高一（上）学情数学试卷
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.
【答案】
D
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
【解析】
求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
【解答】
解：∵ N={x|x2−3x+2≤0}
={x|(x−1)(x−2)≤0}
={x|1≤x≤2}，
∴ M∩N={1, 2}.
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
分别判断函数的定义域和对应法则是否一致即可．
【解答】
A．函数的定义域为{x|x≤0}，y=−2x3=−x−2x，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，
B．y＝(x)2＝x，定义域为{x|x≥0}，函数的定义域不相同，不是同一函数
C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数
D．由x+1≥0x−1≥0 得x≥−1x≥1 得x≥1，
由(x+1)(x−1)≥0得x≥1或x≤−1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数
3.
【答案】
D
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
函数单调性的性质与判断
【解析】
根据偶函数的定义，通过去绝对值判断绝对值函数的单调性的方法，以及一次函数、二次函数的单调性即可找出正确选项．
【解答】
y＝2x不是偶函数；
y=1x不是偶函数；
y=|x|=xx≥0−xx<0 ，∴ 该函数在(−∞, 0)上是减函数；
y＝−x2是二次函数，是偶函数，且在(−∞, 0)上是增函数，所以该项正确．
4.
【答案】
A
【考点】
二次函数的图象
二次函数的性质
【解析】
若y＝x2+2(a−1)x+2在区间(−∞, 4]上单调递减，则1−a≥4，解得答案．
【解答】
函数y＝x2+2(a−1)x+2的图象是开口朝上，且以直线x＝1−a为对称轴的抛物线，
若y＝x2+2(a−1)x+2在区间(−∞, 4]上单调递减，
则1−a≥4，
解得：a≤−3，
5.
【答案】
C
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
从单调性上分段判断函数图象，
【解答】
当x<0时，y＝x2，为二次函数，对称轴为x＝0，故y＝x2在(−∞, 0)上是减函数，
当x≥0时，y＝x−1，为一次函数，且是增函数，f(0)＝−1，
6.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
【解析】
判断函数的单调性，利用分段函数以及单调性列出不等式组，转化求解即可．
【解答】
函数f(x)=ax+2,x>1−x2+2x,x≤1 ，当x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2>0，
可得：函数是增函数，
所以：a<0−1+2≤a+2 ，解得a∈[−1, 0)．
7.
【答案】
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D
【考点】
交集及其运算
【解析】
根据题意，M＝{a}，若M∩N＝N，则N⊆M，对N是不是空集进行分2种情况讨论，分别求出符合条件的a的值，综合可得答案．
【解答】
根据题意，分析可得，
M是x−a＝0的解集，而x−a＝0⇒x＝a；
故M＝{a}，
若M∩N＝N，则N⊆M，
①N＝⌀，则a＝0；
②N≠⌀，则有N＝{1a}，
必有1a=a，
解可得，a＝±1；
综合可得，a＝0，1，−1；
8.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据函数奇偶性和单调性的关系，转化到[0, +∞)上进行判断即可．
【解答】
∵ 偶函数f(x)在(−∞, 0]上是增函数，
∴ f(x)在[0, +∞)上是减函数，
则f(4)0，显然成立；
当m≠0时，有m>0△≤0
即m>0△=(4m)2−4m(m+3)≤0
解之得 00f(x)<0 x<0f(x)>0 ．
因为函数y＝f(x)为奇函数，且在(0, +∞)上是减函数，又f(3)＝0，
所以解得x>3或x<−3，
即不等式的解集为{x|x<−3或x>3}．
11.
【答案】
A
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
根据值域先求出对应x的值，结合值域和对应法则关系进行求解即可．
【解答】
由x2＝1得x＝1或x＝−1，由x2＝4得x＝2，或x＝−2，
若函数的值域为{1, 4}，则x＝1或x＝−1，至少选1个，x＝2，或x＝−2，至少选一个，
共有3×3＝9种，
12.
【答案】
B
【考点】
奇偶函数图象的对称性
函数单调性的性质与判断
【解析】
根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想．
【解答】
解；如果甲、乙两个同学回答正确，
∵ 在[0, +∞)上函数单调递增；
∴ 丙说“在定义域R上函数的图象关于直线x＝1对称”错误，
此时f(0)是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，
所以只有乙回答错误．
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二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
【答案】
3
【考点】
函数的求值
求函数的值
【解析】
根据分段函数，直接代入进行求值即可．
【解答】
由分段函数可知，f(−1)＝0，
∴ f（f(−1)）＝f(0)＝2．
∴ f{f[f(−1)]}＝f(2)＝2+1＝3．
【答案】
{x|x≥−23,x≠2}
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由题设条件，令3x+2≥0，x−2≠0发即可解出函数的定义域．
【解答】
由题意得3x+2≥0x−2≠0 解得x≥−23,x≠2
函数的定义域为{x|x≥−23,x≠2}
【答案】
4
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
由题意设g(x)＝ax7−bx5+cx3，则得到g(x)＝-＝−g(x)，即g(5)+g(−5)＝0，求出f(5)+f(−5)的值．
【解答】
设g(x)＝ax7−bx5+cx3，则g(−x)＝−ax7+bx5−cx3＝−g(x)，
∴ g(5)＝−g(−5)，即g(5)+g(−5)＝0
∴ f(5)+f(−5)＝g(5)+g(−5)+4＝4，
【答案】
①②③④
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
对各命题运用相关的知识点进行分析、判断．
【解答】
对于①，函数y＝|x|的定义域为R，而函数y＝(x)2的定义域为[0, +∞)，定义域不同，故两函数不是同一个函数，①不正确；
对于②，奇函数在x＝0有定义时，其图象一定通过平面直角坐标系的原点；②不正确；
对于③，函数y=1x的单调减区间是(−∞, 0)和(0, +∞)；不能用∪连结，故③不正确；
对于④，若函数f(x)的定义域为[0, 2]，则0≤2x≤2，解之得0≤x≤1，故函数f(2x)的定义域为[0, 1]，
故④不正确；
对于⑤，由f(x+y)＝f(x)f(y)，可知f(x+1)f(x)=f(1)=2，则f(2)f(1)+f(4)f(3)+⋯+f(2018)f(2017)=1009×2＝2018，
故⑤正确；
三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
【答案】
∵ A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|20 (x1−1)(x2−1)>0
∴ f(x1)−f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2)−−−−−−−−−−−−−
∴ f(x)=2x−1在[2, 6]上是减函数--------------
∵ f(x)=2x−1在[2, 6]上是减函数
∴ f(x)=2x−1在x＝2时取得最大值，最大值是2−−−−−−−−
在x＝6时取得最小值，最小值是0.4−−−−−−−−−−
【考点】
函数的值域及其求法
函数单调性的性质与判断
【解析】
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（1）可得函数为减函数，由定义法可证；
（2）由单调性可知，x＝2时取得最大值，x＝6时取得最小值，代值计算即可．
【解答】
f(x)=2x−1在[2, 6]上是减函数--------
下面证明：设x1，x2是区间[2, 6]上的任意两个实数，且x1<x2，---------
则f(x1)−f(x2)=2x1−1−2x2−1=2(x2−x1)(x1−1)(x2−1)−−−
由2≤x10 (x1−1)(x2−1)>0
∴ f(x1)−f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2)−−−−−−−−−−−−−
∴ f(x)=2x−1在[2, 6]上是减函数--------------
∵ f(x)=2x−1在[2, 6]上是减函数
∴ f(x)=2x−1在x＝2时取得最大值，最大值是2−−−−−−−−
在x＝6时取得最小值，最小值是0.4−−−−−−−−−−
【答案】
把k＝1代入B得：B＝{x|x≤1}，
∵ 全集U＝R，
∴ ∁UB＝{x|x>1}，
∵ A＝{x|−1≤x<3}，
∴ A∩∁UB＝{x|11}，
∵ A＝{x|−1≤x<3}，
∴ A∩∁UB＝{x|1x2>0，
则f(x1)−f(x2)＝f(x1x2)，
∵ x1>x2>0，∴ x1x2>1，∴ f(x1x2)>0，
∴ f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴ f(x)在(0, +∞)上是增函数．
∵ f(2)＝1，∴ f(12)＝f(1)−f(2)＝−1，
∴ f(4)＝f(2)−f(12)＝2，
∵ f(x+3)−f(1x)<2，
∴ f(x2+3x)01x>0 ，
解得0x2>0，则f(x1)−f(x2)＝f(x1x2)>0，从而得出结论；
（3）计算f(4)＝2，再根据函数的单调性和定义域列不等式组求出x的范围．
【解答】
令x＝y＝1可得f(1)＝f(1)−f(1)＝0，
设x1>x2>0，
则f(x1)−f(x2)＝f(x1x2)，
∵ x1>x2>0，∴ x1x2>1，∴ f(x1x2)>0，
∴ f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴ f(x)在(0, +∞)上是增函数．
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∵ f(2)＝1，∴ f(12)＝f(1)−f(2)＝−1，
∴ f(4)＝f(2)−f(12)＝2，
∵ f(x+3)−f(1x)<2，
∴ f(x2+3x)01x>0 ，
解得0
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