上海教育高中数学二上数列的极限

上海教育高中数学二上数列的极限

‎7.7（1）数列的极限 一、教学内容分析 极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要. ‎ 二、教学目标设计 ‎1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.‎ ‎2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.‎ ‎3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣. ‎ 三、教学重点及难点 重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.‎ 难点：数列极限的定义的理解. ‎ 四、教学用具准备 电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发 思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈. ‎ 实例引入 五、教学流程设计 几何 理解 数列的极限 概念 符号 运用与深化(例题解析、巩固练习)‎ 课堂小结并布置作业 六、教学过程设计 一、 情景引入 ‎ 1、创设情境，引出课题 ‎1. 观察 ‎ 教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？‎ 学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完.‎ 2. ‎ 思考 教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？‎ 学生 ： ‎ ‎3．讨论 教师； 随着的增大，数列的项会怎样变化？‎ 学生： 慢慢靠近0.‎ 教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题 二、学习新课 ‎ 2、观察归纳，形成概念 ‎（1）直观认识 教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势 ‎（a） ‎ ‎①“项”随的增大而减小 ②但都大于0‎ ‎③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0‎ ‎（b） ‎ ‎①“项”的正负交错地排列，并且随的增大其绝对值减小 ‎②当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0‎ ‎（c） ‎ ‎①“项”随的增大而增大 ②但都小于1‎ ‎③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数1‎ 教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：‎ ‎（a）从右趋近 （c）从左趋近 （b）从左右 两方趋近，使学生明白不同的趋近方式 教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其 实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.” ‎ 概念辨析 教师：归纳数列极限的描述性定义 学生：一般地，如果当项数无限增大时，数列的项无限的趋近于某一个常数那么就说数列以为极限.‎ 教师：是不是每个数列都有极限呢？‎ 学生1：（思考片刻）不是.如 学生2： ‎ 教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.‎ n是偶数 n是奇数 ‎（a）‎ ‎（b）无穷数列：21世纪教育网 学生1：数列（a）有极限，当是奇数时，数列的极限是0，当是偶数时，数列 的极限是1.数列（b）的极限是0.4.‎ 教师： 有不同意见吗？ ‎ 学生2：数列（b）的极限是0.34‎ 学生3：数列（b）的极限不存在 ‎（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b）的极限持有各自不同的观点，但对数列（a）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）‎ 教师： 数列（a）有极限吗？数列（b）的极限究竟是多少？（学生们沉思）‎ 学生4：数列（a）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列（b）的极限是.‎ 教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b）的逼近过程），同学们对（a）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b）随着的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.‎ ‎（2）量化认识 教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？ ‎ 学生：用和之间的距离的缩小过程，即 趋近0 ‎ 教师：现在以数列为例说明这种过程观察：‎ ‎ ‎ 距离量化：，随着的增大，的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要充分的大，都有比给定的正数小.‎ 教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找.‎ 问题拓展 学生：老师再来几个其它的数列 教师：以上我们以提到的和 为例，大家可以再操作一下.‎ 教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？ ‎ 学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项，使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.‎ 教师：顺理成章的给出数列极限的定义： ‎ 一般地，设数列是一个无穷数列，是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数，就有，那么就说数列以为极限，记作，或者时.‎ 教师：常数数列的极限如何？‎ 学生：是这个常数本身.‎ 教师：为什么？‎ 学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小.‎ 三、巩固练习 讲授例题 已知数列 ‎① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来.‎ ‎②写出的解析式.[21世纪教育网 ‎③中的第几项以后的所有项都满足 ‎④指出数列的极限.‎ 课堂练习 第41至42的练习.‎ 四、课堂小结 ‎①无穷数列是该数列有极限的什么条件.‎ ‎②常数数列的极限就是这个常数.‎ ‎③数列极限的描述性定义.‎ ‎④数列极限的的定义.21世纪教育网 五、作业布置 ‎1．课本第42页习题2，3,4‎ ‎2．根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写一篇《我看极限》的短文，格式不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.）‎ 七、教学设计说明 对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.‎