高中数学讲义微专题35 形如向量AD=xAC+yAB条件的应用

高中数学讲义微专题35 形如向量AD=xAC+yAB条件的应用

微专题 35 形如 条件的应用 一、基础知识： 1、平面向量基本定理：若平面上两个向量 不共线，则对平面上的任一向量 ，均存在唯 一确定的 ，（其中 ），使得 。其中 称为平面向量的一 组基底。 （1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量 （2）唯一性：若 且 ，则 2、“爪”字型图及性质： （1）已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使得 。则 三点共线 当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间 当 ，则 与 位于 两侧 时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在线段 延长线上 （2）已知 在线段 上，且 ，则 3、 中 确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程 ，可考虑两边对 同一向量作数量积运算，从而得到关于 的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关 于 的方程，再进行求解 二、典型例题： 例 1：在 中， 为 边的中点， 为 的中点，过点 作一直线 分别交 于点 ，若 ，则 的最小值是（ ） AD xAB yAC    1 2,e e  a  1 2,  1 2, R   1 1 2 2a e e     1 2,e e  1 1 2 2a e e     1 1 2 2a e e     1 1 2 2        ,AB AC  AD ,x y AD xAB yAC    , ,B C D  1x y  0 1x y   D A BC D A BC 1x y  D A BC 1x y  0, 0x y  D BC 0xy  D BC D BC : :BD CD m n n mAD AB ACm n m n      AD xAB yAC    ,x y ,x y AD xAB yAC    ,x y ,x y ABC D BC H AD H MN ,AB AC ,M N ,AM xAB AN yAC     4x y A B CD A. B. C. D. 思路：若要求出 的最值，则需从条件中得到 的关系。 由 共线可想到“爪”字型图，所以 ， 其中 ，下面考虑将 的关系转为 的关系。利用条 件中的向量关系： 且 ，所以 ，因为 ，所以 ，由平面 向量基本定理可得： ，所以 ，所以 ，而 ，所以 答案：A 例 2：如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则 实数 的值为（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 观 察 到 三 点 共 线 ， 利 用 “ 爪 ” 字 型 图 ， 可 得 ，且 ，由 可得 ， 所 以 ， 由 已 知 可 得 ： ， 所 以 答案：C 例 3 ： 在 平 面 内 ， 已 知 ， 设 ，则 等于（ ） 9 4 2 3 1 4x y ,x y , ,M H N AH mAM nAN    1m n  ,m n ,x y 1 2AH AD   1 2AD AB AC     1 4AH AB AC    ,AM xAB AN yAC     AH mxAB nyAC    11 44 11 44 mmx x nny y           1 11 14 4m n x y       1 1 1 44 4 1 44 4 4 y xx y x y x y x y                  4 42 4y x y x x y x y    94 4x y  ABC 1 3AN NC  P BN 2 11AP mAB AC    m 9 11 5 11 3 11 2 11 , ,B P N AP mAB nAN    1m n  1 3AN NC  1 4AN AC  1 4AP mAB nAC    2 11AP mAB AC    1 2 8 4 11 11n n   3 11m  1, 3, 0, 30OA OB OA OB AOC           , ,OC mOA nOB m n R     m n A. B. C. D. 思路：所求为 ，可以考虑对 两边同时对同一向量作数量积， 从 而 得 到 的 方 程 ， 解 出 ， 例 如 两 边 同 对 作 数 量 积 ， 可 得 ： ， 因 为 ， ， 所 以 有 ， 同 理 ， 两 边 对 作 数 量 积 ， 可 得 ： ， 即 ， 所 以 ，通过作图可得 或 ，从而 ， 代入可得： 答案：B 小炼有话说：（1）当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算 便可得到关于系数的方程。若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量 （2）本题也可通过 判定 ，从而想到建立坐标系通过坐标解出 ，进 而求出 例 4：如图，在正六边形 中，点 是 内（包括边界）的一个动点，设 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：因为 为动点，所以不容易利用数量积来得到 的关系， 因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定， 可得： ，则 ，所以设 ，则由 3 3 1 3 3 3 m n  , ,OC mOA nOB m n R     ,m n ,m n OA 2 OC OA mOA nOB OA        1OA  0OA OB   2 cos 3 2 OC OA AOC m OC OA        OB 2 OC OB mOA OB nOB        2 cos 3 OC OB OC BOC n OB        3 1 2 cos m n BOC  60BOC   120BOC   1cos 2BOC   3m n   0OA OB   OA OB  ,m n 3m n   ABCDEF P CDE  ,AP AB AF R           1,2  2,3  2,4  3,4 P ,       3 3 1 31,0 , , , 1, 3 , , , 0, 32 2 2 2B C D F E               1 31,0 , ,2 2AB AF           ,P x y E D F A B C 可得： ，因为 在 内，且 ，所以 所满足的可行域为 ，代入可 得： ，通过线性规划可得： 答案： 例 5：已知 ，则 与 的夹角的余弦 值为__________ 思路：若要求 与 的夹角，可联想到 ，所以只需确定 与 ，由 一方面可以两边同时对 作数量积得到 ，另一方 面等式两边可以同时取模长的平方计算出 ，进而求出 解： 且 答案： 例 6：如图，平面内有三个向量 ，其中 与 的夹角为 ， 与 的夹 角为 ，且 ，若 ，则 的值 为_______ AP AB AF     1 3,2 2P        P CDE : 3 3, : 3 2 3CE x y CD x y    P 3 3 3 3 2 3 x y y x y         3 2 2            3,4    3,4 2 1 11, 2, ,3 2 3OA OB AOB OC OA OB          OA OC OA OC cos , OA OCOA OC OA OC       OA OC  OC 1 1 2 3OC OA OB    OA OA OC  OC cos ,OA OC  1 1 1 1 1 2 3 2 3 6OC OA OB OC OA OA OA OB OA                 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 3 9OC OA OB OC OA OB OA OA OB OB                      13 36 13 6OC  1 136cos , 13131 6 OA OCOA OC OA OC           13 13 , ,OA OB OC   OA OB 2 3  OA OC 6  2, 4 3OA OB OC      ,OC OA OB R          思路一：由图像可得： ，由此条件中可提供 的模长及相互的夹角， 若要求得 ，可考虑求出 的值。则需要两个方程。对 两边同时对 作数量积，即 ，由 ，可得： ， 再 将 两 边 对 作 数 量 积 ， 则 ， 即 ， 所 以 ， 即 思路二：从图形中可想到建系，得到 的坐标，从而利用坐标可求得 的值：如 图 建 系 可 得 ： ， 所 以 ，从而可得 ，所 以 答案：6 例 7：已知在 中， 为 的外心， ， 且 ，则 ___________ 思路：通过观察条件发现很难从几何方向直接求 ，从而考虑 利用计算数量积 ，如何利用 这个条件呢？ 对于已知 可以考虑等式两边对同一向量作 数量积，从而得到关于 的实数方程。由于 是外心，进而 在 上的投影为各边的 中 点 ， 所 以 可 用 数 量 积 的 投 影 定 义 计 算 出 ，结合所求，可确定两边同时与 作 数量积即可。 解 ： 由 ， 可 得 ： （*） 2BOC   , ,OA OB OC     ,  OC OA OB     OA 2 OC OA OA OB OA         2, 12OA OB OA OC        12 4 2   OC OA OB     OB 2 OC OB OA OB OB         2 4 0    12 4 2 4 2 4 0 2                6   , ,OA OB OC   ,       2,0 , 0,2 3 , 1, 3B C A       0,4 3 , , 3 , 2 ,0OC OA OB          0 2 4 24 3 3             6   ABC O ABC =16 10 2AB AC AO xAB yAC    ， ， 32 25 25x y  AO  AO 2 AO 32 25 25x y  AO xAB yAC    ,x y O O ,AB AC ,AB AO AC AO     AO AO xAB yAC    AO AO xAB AO yAC AO          A B C O NM A B C O 在 上的投影向量为 （ 为 中点） ，同理： 所以（*）变形为： 小炼有话说：对于形如 ，若想得到关于 的方程，可以考虑对同一向量 作数量积即可，而向量的选择要尽量能和等式中的向量计算出数量积。 例 8：给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 .如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上变动.若 其中 ,则 的最大值是_____. 思路：所求 的最值，可考虑对 等号两边对 同一向量作数量积，从而转化为 的等式： 即 即 ，从而可发现 ，所以只需求得 的 最大值，其中根据扇形 的特点可知 的终点为 的中点 ，即 ，所以 ，只需 最大即可。可知 重 合时， ，所以 的最大值为 答案： 例 9 ： 已 知 是 外 接 圆 的 圆 心 ， 为 的 内 角 ， 若 ，则 的值为 （ ） A． B． C． D. 思路：本题所求与等式中的系数 相关， 是外心所以 在 上的投影为两边中点， 考虑两边同时对 做数量积，再结合正弦定理变形等式即可 AO  AB AM M AB 21 1282AB AO AM AB AB         21 1002AC AO AN AB AC          2 128 100 4 32 25 100AO x y x y     10AO  AO xAB yAC    ,x y OA OB 120o AB ,OC xOA yOB    ,x y R x y x y OC xOA yOB    ,x y 2 OC xOA yOB OC OA xOA yOB OA              1 2OC OA x y    2 OC xOA yOB OC OB xOA OB yOB              1 2OC OB x y      1 12 2 22 2x y x y x y OC OA OB                      OC OA OB    AOB OA OB  AB M OM   cos ,OC OA OB OC OM OC OM          cos ,OC OM  ,C M cos , 1OC OM   x y 2 2 O ABC , ,A B C ABC cos cos 2sin sin B CAB AC m AOC B     m 1 sin A cos A tan A m O O ,AB AC AO 解： 可得： （*），因为 是外心 （*）变形为 在 中，设外接圆半径为 ，即 ，且 （*）变形为： 例 10 ： 已 知 的 外 接 圆 圆 心 为 ， 且 满 足 ， 且 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 思 路 ： 由 外 接 圆 的 性 质 可 知 在 上 的 投 影 为 中 点 ， 所 以 考 虑 对 两 边 同 时 对 作 数 量 积 ， 从 而 得 到 系 数 的 关 系 ： ，因为 ，所 以 有 ， 再 结 合 ， 解 三 元 一 次 方 程 组 即 可 得 到 ： 答案：A 三、历年好题精选 1、如图，在正方形 中， 为 的中点， 是以 为圆心， 为半径的圆弧上的 任意一点，设 ，则 的最小值为__________ 答案： 2、（2016，郑州一测）已知点 ， ， ，平面区 cos cos 2sin sin B CAB AC m AOC B     2cos cos 2sin sin B CAB AO AC AO m AOC B         O 2 21 1,2 2AB AO AB AO AC AC         2 2 21 cos 1 cos 22 sin 2 sin B CAB AC m AOC B     ABC R R AO  2 sin , 2 sinAB R C AC R B        2 2 21 cos 1 cos2 sin 2 sin 22 sin 2 sin B CR C R B m RC B   sin cos sin cosC B B C m    sin( ) sin sinm B C A A      ABC O ,4 3 2CO mCA nCB m n      4 3CA  6CB  CA CB   36 24 24 3 12 3 O ,CA CB ,CA CB CO mCA nCB    ,CA CB  ,m n 2 2 CO CA mCA nCB CA CO CB mCA CB nCB                     2 21 124, 182 2CO CA CA CO CB CB           24 48 18 36 m nCB CA mCA CB n            4 3 2m n  36CA CB   ABCD E AB P A AB AC DE AP       1 2 (0, 1)A  (3,0)B (1,2)C 域 是由所有满足 的点 组成的区域，若区域 的面积为 ，则 的最小值为________． 3 、（ 2015 ， 北 京 ） 在 中 ， 点 ， 满 足 ．若 ，则 ； ． 4 、（ 2015 ， 新 课 标 I ） 设 为 所 在 平 面 内 一 点 ， 且 ，则（ ） A. B. C. D. 5、（安徽六校联考）如图，在扇形 中， ， 为弧 上且与 不重合 的一个动点，且 ，若 存在最大值，则 的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 6、（2016，河南中原第一次联考）在直角梯形 中， 为 边上 一点， 为 中点，则 （ ） A. B. C. D. 7、如图，在直角梯形 中， ，动点 在以 点 为 圆 心 ， 且 与 直 线 相 切 的 圆 上 或 圆 内 移 动 ， 设 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8、如图，四边形 是边长为 1 的正方形， ，点 为 内 （ 含 边 界 ） 的 动 点 ， 设 ，则 的最大值 P AM AB AC     (2 ,m  2 )n  M P 16 m n ABC M N 2 ,AM MC BN NC     MN xAB yAC    x  y  D ABC 3BC CD  1 4 3 3AD AB AC     1 4 3 3AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    OAB 60AOB   C AB ,A B OC xOA yOB     0u x y      1,3 1,33      1 ,12      1 ,22      ABCD 2 2 ,AB AD DC E  BC 3 ,BC EC F  AE BF  2 1 3 3AB AD  1 2 3 3AB AD  2 1 3 3AB AD   1 2 3 3AB AD   ABCD , , 1, 2AD AB AB DC AD DC AB   ∥ P C BD  ,AP AD AB R           1,2  0,3  1,2  1,2 OABC 3OD  P BCD  ,OP OC OD R          A B CN M O A C B D P 等于__________ 9、在 中， ，若 （ 是 的 外心），则 的值为___________ 10、在 中，边 ，过 作 于 ，且 ， 则 ________ 11、如图， 是圆 的直径， 是圆 上的点，且 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 12、如图，将 的直角三角板 和 的直角三角板 拼在一起组成平面四边形 ，其中 的直角三角板的斜边 与 的 直 角 三 角 板 的 所 对 的 直 角 边 重 合 ， 若 ，则 分别等于（ ） A. B. C. D. 13、如图，在 中， ，过点 的直线分别交射线 于不同的两点 ， 若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 14、在 中，点 在线段 的延长线上，且 ， 点 在线段 上（与 不重合），若 ，则 的取值范围是________ 15 、 已 知 在 中 ， ， 点 为 的 外 心 ， 若 ，则有序实数对 为（ ） A. B. C. D. ABC 2 2, 1AB AC AB AC      1 2AO x AB x AC    O ABC 1 2x x ABC 21, 2, 3AC AB A    A AP BC P AP AB AC       AB O ,C D O 60 , 45 ,CBA ABD     CD xOA yBC    x y  3 3 1 3 2 3 3 45 ADC 30 ABC ABCD 45 AC 30 30 DB xDA yDC    ,x y 3,1 3 1, 3 2, 3 3, 3 1 ABC 2CM MB  M ,AB AC ,P Q ,AP mAB AQ nAC     mn m 6 3 2 3 6 2 ABC D BC 3BC CD  O CD ,C D  1AO xAB x AC     x ABC 1, 6, 2AB BC AC   O ABC AO sAB t AC     ,s t 4 3,5 5      3 4,5 5      4 3,5 5     3 4,5 5     C A PB M Q 习题答案： 1、解析：本题所处图形为正方形与圆的一部分，所以考虑建系处理，以 为轴建立坐 标系。设正方形边长为单位长度，则 ， 点所在圆方程为 ， 设 则 ， ， ， 由 得： ，解得： 设 令 ，所以： 由 可 得 ： ， 结 合 分 式 的 单 调 性 可 得 当 时 ， ,AB AD  1,1C   10,1 , ,02D E      P  2 2 1 0, 0x y x y     ,P x y  1,1AC  1 ,2DE         ,AP x y   AC DE AP     1 12 1 x y           2 2 2 3 2 y x x y x y         2 2 3 2 2 3 11 32 2 2 2 y x y x y x y x y x y x y                 1 sin 1cos , sin , 0, ,2 2 2cos sin yx y k x y                  2 2 2 2 2 2 2 2 2tan 2 1 tan 11 tan tan 2tan 1sin 1 1 1 22 2 2 2cos sin 2 21 tan 2tan 1 tan tan 1 tan tan2 2 2 2 2 22 1 tan 1 tan2 2                                      tan , 0,12k k          2 22 2 1sin 1 1 1 1 1 1 1 32cos sin 2 1 2 2 1 3 5111 1 2 4 k k k kk k                         0,1k  1 1 ,11 2k       1 1 01 kk    达到最小值，即 2、答案： 解析：设 ， ， ∵ ，∴ ． ∴ ，∴ ， ∵ ∴ ，即 ∴ 表示的可行域为平行四边形，如图： 由 ，得 ，由 ，得 ， ∴ , ∵ 到直线 的距离 ， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， . 3、答案： sin 1 2cos sin      min sin 1 1 2cos sin 2          min 1 2    4 2 2 ( , )M x y (3,1), (1,3)AB AC   AM AB AC     ( , 1) (3,1) (1,3) (3 , 3 )x y            3 1 3 x y           3 1 8 3 3 8 x y x y          2 ,2m n     3 12 8 3 32 8 x y m x y n          17 3 8 1 13 3 8 3 x y m x y n           17 3 8 1 13 3 8 3 x y m x y n           3 17 3 13 x y x y      (8,7)A 3 8 1 3 13 x y m x y       (3 2, 2)B m m  2 2(3 6) ( 2) ( 2) 10AB m m m       (8,7)A 3 8 3x y n    8 16 10 nd  8 16( 2) 10 16 10 nAB d m       ( 2) ( 2) 2m n    22 22 ( 2) ( 2) ( )2 m nm n        2( 4) 8m n   4 2 2m n   1 1,2 6x y   O y x D C BA x+3y=8n 3 x+3y=13 3x y=8m+13x y=17 解析： ，所以 4、答案：A 解析：由图可想到“爪字形图得： ， 解得： 5、答案：D 解析：以 为 轴建立坐标系，设 ，则 ， ，由 可得： ，若 存在最大值，则 存在极值点 在 有零点 令 ，因为 ，解得： 6 、解析：取 的中点 ，连结 ， ，则 ， 所以 ， ＝ ， 于 是 ＝ ＝  1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 2 6MN MC CN AC CB AC AB AC AB AC                  1 1,2 6x y   1 3 4 4AC AB AD    1 4 3 3AD AB AC     OB x 0, 3COB              cos ,sin , 1,0C B  1 3,2 2A      OC xOA yOB    21 sincos 2 3 sin3 cossin 32 xx y yy               2 sin cos , 0, 33 u x y                u  u  ' 2 cos sin 3 u      0, 3      2 2cos sin 0 tan 3 3            0, 3       tan 0, 3  20 3 3     1 ,22     AB G DG CG DG BC 1 2BC GD AD AG AD AB          2 2 1( )3 3 2AE AB BE AB BC AB AD AB              2 2 3 3AB AD  BF AF AB    1 2 AE AB  A B C D F D A B C E 7、答案：C 解 析 ： 由 直 角 梯 形 可 知 依 直 角 建 立 坐 标 系 ， 则 ， 直 线 圆 的半径 设 ，由 可得： 在圆 内 设 ，则 ，其中 由 可知 ，且 所以 8、答案： 解析：可依直角建立坐标系，则 设 ，则有 ，由图可得 所在的区域为不等式组： 所求 ，利用线性规划可得： 的最大值为 ，最优解在 处取得 1 2 2 2 1( )2 3 3 3 3AB AD AB AB AD              0,1 , 1,1 , 2,0D C B : 1 2 2 02 xBD y x y       C 1 2 2 5 55C BDr d         2 2 1: 1 1 5C x y      ,P x y AP AD AB     2x y      P C    2 2 12 1 1 5       2 1 cos 5, 0,2 , 0,1 sin 5 r rr                cos 1 2 sin 1 r r          1 3 5 3cos sin sin2 2 2 2r r r             1tan 2    50,2 , 0, 5r         5 3 5 5 3 22 2 2 5 2r        5 3 5 5 3 12 2 2 5 2r           1,2   4 3        0,1 , 1,0 , 3,0 , 1,1C A D B : 3 3 0, : 2 3 0, : 1CD x y BD x y BC y         ,P x y 3x y      P 3 3 0 2 3 0 1 x y x y y          1 3 x y      4 3 D 9、答案： 解析：由 可得： 由 是 的外心可得： ，所以 10、答案： 解析： ，由 可得： ，所以 即 另一方面，由 三点共线可得： ，所以解得： ，所以 11、答案：A 解析：以圆 为单位圆建系，可得 由图可知 ，所以 ，由 可得： 13 6 1 2AO x AB x AC    2 1 2 2 1 2 AO AB x AB x AB AC AO AC x AB AC x AC                     O ABC 2 21 12, 12 2AO AB AB AO AC AC           1 2 1 1 2 2 52 4 61 4 2 3 x x x x x x             1 2 13 6x x  10 49 2 2 AP AB AB AC ABAP AB AC AP AC AB AC AC                               21, 2, 3AC AB A    22 1 cos 13AB AC        4AP AB AP AC                 AP BC  0 0AP BC AP AC AB              4 0 2 5            , ,P B C 1   2 7 5 7       10 49  O    1,0 , 1,0A B 90 , 60BOD BOC              1 3cos90 ,sin90 0,1 , cos 60 ,sin 60 ,2 2D C              1 3 1 3,1 , ,2 2 2 2CD BC                  CD xOA yBC    1 1 2 2 3 31 2 2 x y y         从而 12、答案：D 解析：可如图以 所在直线为轴建立坐标系，以 为单位长度，则只需求出 点坐 标即可，由已知可得： ，联立方程可解得 ，所以可得： 13、答案：D 解析：连结 ，由“爪字型”图的模型可知 ，因为 ，代入 可 得 ： ① ， 在 中 ， 由 三 点 共 线 以 及 ① 可 得 ： ， 所 以 ， 设 ， 则 ，因为 ，所以可得 的最小值在 处取得，即 14、答案： 解析：设 15、答案：A 解析： 3 3x y   ,DA DC DA B        0,1 , 1,0 , 1 45 , 3 2 75BC BC AB ABC A k k         : 1, : 3 2 1BC y x AB y x       : 3, 3 1B  3 3 1 x y     AM 2 1 3 3AM AB AC    AP mAB AQ nAC        2 1 3 3AM AP AQm n    APQ , ,P Q M 2 1 13 3 3 2 mnm n m     2 3 2 mmn m mm     2 3 2 mf m mm         ' 2 3 1 14 3 2 m mf m m     0 2 303 2 m mmn m        f m 1m   1 2f  1,03      , 0,1CO CD     3 3CO CD BC AC AB            13 3 3AO AC CO AC AC AB AB AC                       1,03 3x          2 2 2 1cos 2 2 AB AC BCAB AC AB AC A           为 的外心 由 可得： 解得： ，所以 为 O ABC 2 21 1 1, 22 2 2AO AB AB AO AC AC            AO sAB t AC    2 2 1 1 2 2 12 42 s tAO AB sAB tAC AB AO AC sAB AC tAC s t                            4 5 3 5 s t      ,s t 4 3,5 5     