【数学】2019届一轮复习北师大版坐标系与参数方程学案(1)

【数学】2019届一轮复习北师大版坐标系与参数方程学案(1)

‎ ‎ 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 直角坐标与极坐标方程的互化 从近三年高考情况来看，选考系列由原来的三选一变为二选一，且主要以解答题的形式中出现，考查与参数方程、极坐标方程相关的互化与计算，特别要注意：（1）极坐标系中直线和圆的方程；（2）已知直线和圆的参数方程，判断直线和圆的位置关系等.求解时，熟练应用互化公式或理解参数的几何意义即可顺利解决 ‎2017新课标全国Ⅱ 22 ‎ ‎2015新课标全国Ⅰ 23‎ ‎★★★★★ ‎ 普通方程与参数方程的互化 ‎2017新课标全国Ⅰ 22‎ ‎★★★★★‎ 坐标系与参数方程的综合 ‎2017新课标全国Ⅲ 22‎ ‎2016新课标全国Ⅰ 23‎ ‎2016新课标全国Ⅱ 23‎ ‎2016新课标全国Ⅲ 23‎ ‎★★★★★‎ ‎2015新课标全国Ⅱ 23‎ 考点1 两种互化及其应用 调研1 在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点在曲线上，在曲线上，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.‎ ‎【解析】（1）由消去得，‎ 因为，由直角坐标与极坐标的转化公式可得.‎ 所以曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）知的圆心为，半径为2，，‎ 的最小值即为到直线的距离减去圆的半径， ‎ 因为到直线的距离为，‎ 所以的最小值为.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.‎ ‎2．普通方程化为参数方程 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.‎ ‎3．极坐标方程与直角坐标方程互化 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)．‎ ‎4．参数方程与极坐标方程互化 进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）.‎ 考点2 利用参数几何意义解题 调研1 在平面直角坐标系中，已知直线为参数),曲线为参数)．‎ ‎（1）设与相交于两点,求;‎ ‎（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线距离的最小值．‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【解析】（1）的普通方程为的普通方程为,‎ 联立方程得，解得与的交点坐标为,‎ 则. ‎ ‎（2）易知的参数方程为为参数),故可设点的坐标为,‎ 从而点到直线的距离是,‎ 由此可知当时,取得最小值,且最小值为. ‎ 调研2 以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程； ‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由，即，得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将的参数方程代入，整理得，‎ ‎∴，， ‎ ‎∴.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数).‎ 考点3 利用的几何意义解题 调研1 平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求出曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为,曲线与的公共点都在上,求的值.‎ ‎【答案】（1）的极坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）.‎ ‎【解析】（1）消去参数得到的普通方程为,将代入的普通方程,得到的极坐标方程为.‎ 由得,‎ 把代入上式得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）曲线与的公共点的极坐标满足方程组,‎ 因为曲线与的公共点都在上,所以把代入方程组得,‎ 消去得. ‎ ‎1．（上海市金山区2018届高三下 期质量监控（二模））若椭圆的参数方程为 (θ为参数)，则它的两个焦点坐标是 A．(±4, 0) B．(0, ±4) ‎ C．(±5, 0) D．(0, ±3)‎ ‎【答案】A ‎【解析】消去参数可得椭圆的标准方程为，所以椭圆的半焦距，两个焦点坐标为，故选A. ‎ ‎2．（北京市丰台区2018年高三年级一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 A．=sin B．=2sin C．=cos D．=2cos ‎【答案】D ‎3．（河南省名校2018届高三压轴第二次考试）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆是以极坐标系中的点为圆心，为半径的圆，直线的参数方程为.‎ ‎（1）求与的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与圆交于，两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎4．（福建省龙岩市2018届高三下 期教 质量检查(4月)）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设，直线的参数方程是（为参数），已知与圆交于两点，且，求的普通方程.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【思路点拨】（1）利用代入，即可得圆的直角坐标方程； ‎ ‎（2）将直线的参数方程（为参数）代入圆的直角坐标方程中，化简得，利用根与系数的关系以及直线参数的几何意义可得，从而可得结果.‎ ‎【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如 等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． ‎ ‎5．（百校联盟2018届高三TOP20四月联考）已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数），直线，直线，以原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）写出曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【名师点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可；‎ ‎（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.‎ ‎1．（2017新课标全国卷Ⅰ文 ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ ‎【答案】（1），；（2）或.‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以.‎ 综上，或.‎ ‎【思路点拨】（1）先将曲线和直线l的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线的普通方程为，设上的点为，易求得该点到的距离为.对a再进行讨论，即当和时，求出a的值.‎ ‎【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.‎ ‎2．（2017新课标全国卷II文 ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 所以面积的最大值为．‎ ‎【思路点拨】（1）设出P的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程；‎ ‎（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值．‎ ‎【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．‎ ‎3．（2017新课标全国卷Ⅲ文 ）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当 变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【思路点拨】（1）由题意得直线l1，l2的普通方程，然后消去参数即可得到曲线的普通方程；‎ ‎（2）联立两个极坐标方程可得，代入极坐标方程进行计算可得极径为.‎ ‎【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎4．（2016新课标全国卷Ⅰ文 ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.‎ ‎（1）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎【答案】（1）圆，；（2）1.‎ ‎5．（2016新课标全国卷II文 ）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25. ‎ ‎（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，∣AB∣=，求l的斜率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【思路点拨】（1）利用，可得C的极坐标方程；（2）先将直线的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可得的斜率．‎ ‎【名师点睛】极坐标方程与直角坐标方程互化时注意：在将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；在将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.‎ ‎6．（2016新课标全国卷Ⅲ文 ）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为 ‎，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）的最小值为，此时的直角坐标为．‎ ‎【思路点拨】（1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程为普通方程，利用公式与将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）利用参数方程表示出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立的三角函数表达式，最后求出最值与相应点的坐标即可．‎ ‎【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为，将其转化为三角问题进行求解．‎ ‎7．（2015新课标全国卷Ⅰ文 ）在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求的极坐标方程.‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积.‎ ‎【答案】（1）的极坐标方程分别为，；（2）.‎ ‎【解析】（1）因为，所以的极坐标方程为，‎ 的极坐标方程为. ‎ ‎（2）将代入，得，解得.故，即，‎ 由于的半径为1，所以的面积为. ‎ ‎8．（2015新课标全国卷II文 ）在直角坐标系中,曲线 （t为参数,）,其中. 在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎ ‎（1）求与交点的直角坐标；‎ ‎（2）若与相交于点A,与相交于点B,求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎