【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十六章数系的扩充与复数的引入

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十六章数系的扩充与复数的引入

第十六章数系的扩充与复数的引入 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.[2018全国卷Ⅰ,1,5分][理]设z=‎1-i‎1+i+2i,则|z|=(　　)‎ A.0 B.‎1‎‎2‎ C.1 D.‎‎2‎ ‎2.[2020四川五校联考]已知a∈R,若(1 - ai)(3+2i)为纯虚数,则a的值为(　　)‎ A. - ‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C. - ‎2‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎3.[2020湖北高三模拟]x,y互为共轭复数,且(x+y)2 - 3xyi=4 - 6i,则|x|+|y|=(　　)‎ A.2 B.2‎2‎ C.1 D.4‎ ‎4.[2017全国卷Ⅱ,1,5分]‎[理]‎‎3+i‎1+i=(　　)‎ A.1+2i B.1 - 2i C.2+i D.2 - i ‎5.若|zi - 2|≥3,则复数z可以是(　　)‎ A.1+2i B.3 - 2i C.1 D. - 1‎ ‎6.[2020大同高三调研]设x,y∈R,i为虚数单位,且‎3+4iz=1+2i,则z=x+yi的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限　‎ C.第三象限 D.第四象限 ‎7.[2020江西抚州高三第一次联考]若复数z满足|z+3 - 4i|=2,则z·z的最大值为(　　)‎ A.9 B. 81 C. 7 D. 49‎ ‎8.[2017浙江,12,6分]已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　,ab=　　　　. ‎ ‎　　　　‎ 考法1复数的概念 ‎1(1)[2019全国卷Ⅱ,2,5分]设z=i(2+i),则z=‎ A.1+2i B. - 1+2i ‎ C.1 - 2i D. - 1 - 2i ‎(2)[2017天津,9,5分][理]已知a∈R,i为虚数单位,若a-i‎2+i为实数,则a的值为　　　　. ‎ ‎(1)利用复数的四则运算及共轭复数的定义即可得出结果.(2)根据复数的除法法则,先把a-i‎2+i化简成x+yi(x,y∈R)的形式,然后令y=0即可求解.也可以引进参数,利用复数相等的定义列方程组求解.‎ ‎(1)依题意得z=i2+2i= - 1+2i,z= - 1 - 2i,故选D.‎ ‎(2)解法一　因为a-i‎2+i‎=‎(a-i)(2-i)‎‎(2+i)(2-i)‎=‎(2a-1)-(a+2)i‎5‎=‎2a-1‎‎5‎-‎a+2‎‎5‎i为实数,所以a+2‎‎5‎=0,解得a= - 2.‎ 解法二　令a-i‎2+i=t(t∈R),则a - i=t(2+i)=2t+ti,‎ 所以a=2t,‎t=-1,‎解得a= - 2.‎ ‎2若i(x+yi)=3+4i(x,y∈R),则复数x+yi的模是 A.2 B.3 C.4 D.5‎ 根据复数的运算法则和模的计算公式求解.‎ 解法一　因为i(x+yi)=3+4i,所以x+yi=‎3+4ii‎=‎‎(3+4i)(-i)‎i(-i)‎=4 - 3i,故|x+yi|=|4 - 3i|=‎4‎‎2‎‎+(-3‎‎)‎‎2‎=5.‎ 解法二　因为i(x+yi)=3+4i,所以|i(x+yi)|=|3+4i|,所以|i|·|x+yi|=5,所以|x+yi|=5.‎ 解法三　因为i(x+yi)=3+4i,所以 - y+xi=3+4i,‎ 所以x=4,y= - 3,故|x+yi|=|4 - 3i|=‎4‎‎2‎‎+(-3‎‎)‎‎2‎=5.‎ D ‎1.(1)[2019全国卷Ⅰ,1,5分]设z=‎3-i‎1+2i,则|z|=(　　)‎ A.2 B.‎3‎ C.‎2‎ D.1‎ ‎(2)[2019江苏,2,5分]已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是　　　　. ‎ 考法2复数的运算 ‎3(1)[2018全国卷Ⅱ,1,5分]‎[理]‎‎1+2i‎1-2i=‎ A. - ‎4‎‎5‎‎- - ‎‎3‎‎5‎i B. - ‎4‎‎5‎‎+‎‎3‎‎5‎ C. - ‎3‎‎5‎‎- - ‎‎4‎‎5‎i D. - ‎3‎‎5‎‎+‎‎4‎‎5‎i ‎(2)已知复数z=1+‎2i‎1-i,则1+z+z2+…+z2 020=‎ A.1+i　　　B.1 - i　　　C.1　　　D.0‎ ‎(1)利用复数的除法法则求解;(2)先对复数z进行化简,再根据等比数列的求和公式或借助in(n∈N)的周期性求解.‎ ‎(1)由题意得‎1+2i‎1-2i‎=‎‎(1+2i)(1+2i)‎‎(1-2i)(1+2i)‎= - ‎3‎‎5‎‎+‎‎4‎‎5‎i.‎ ‎(2)解法一　(根据等比数列的前n项和公式求解)因为z=1+‎2i‎1-i=1+‎2i(1+i)‎‎2‎=i,所以1+z+z2+…+z2020=‎1×(1-z‎2021‎)‎‎1-z‎=‎1-‎i‎2021‎‎1-i=‎‎1-i‎4×505‎·i‎1-i=1.‎ 解法二　(利用周期性求解)因为z=1+‎2i‎1-i=1+‎2i(1+i)‎‎2‎=i,所以1+z+z2+…+z2020=1+i+i2+…+i2020=505×(1+i - 1 - i)+1=1.‎ ‎(1)D　(2)C ‎(1)要学会区分(a+bi)2=a2+2abi - b2(a,b∈R)与(a+b)2=a2+2ab+b2(a,b∈R);‎ ‎(2)要学会区分(a+bi)(a - bi)=a2+b2(a,b∈R)与(a+b)(a - b)=a2 - b2(a,b∈R).‎ ‎2.(1)[2019全国卷Ⅲ,2,5分][理]若z(1+i)=2i,则z=(　　)‎ A. - 1 - i B. - 1+I C.1 - I D.1+i ‎(2)[2019北京,1,5分][理]已知复数z=2+i,则z·z=(　　)‎ A.‎3‎ B.‎5‎ C.3 D.5‎ 考法3复数的几何意义 ‎4(1)[2019全国卷Ⅰ,2,5分][理]设复数z满足|z - i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则 A.(x+1)2+y2=1 B.(x - 1)2+y2=1‎ C.x2+(y - 1)2=1 D.x2+(y+1)2=1‎ ‎(2)[2016全国卷Ⅱ,1,5分][理]已知z=(m+3)+(m - 1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 A.( - 3,1)　 B.( - 1,3)　 C.(1,+∞)　 D.( - ∞, - 3)‎ ‎(1)解法一　∵ z在复平面内对应的点为(x,y),∴z=x+yi(x,y∈R).∵ |z - i|=1,∴|x+(y - 1)i|=1,∴x2+(y - 1)2=1.‎ 解法二　∵ |z - i|=1表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到点(0,1)的距离为1,∴x2+(y - 1)2=1.‎ 解法三　在复平面内,点(1,1)所对应的复数z=1+i满足|z - i|=1,但点(1,1)不在选项A,D的圆上,∴排除A,D;在复平面内,点(0,2)所对应的复数z=2i满足|z - i|=1,但点(0,2)不在选项B的圆上,∴排除B.选C.‎ ‎(2)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m+3,m - 1),因为点在第四象限,所以m+3>0,‎m-1<0,‎解得 - 3

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