【数学】安徽省宣城市2019-2020学年高一下学期期末调研考试（理）试题（解析版）

【数学】安徽省宣城市2019-2020学年高一下学期期末调研考试（理）试题（解析版）

安徽省宣城市2019-2020学年高一下学期 期末调研考试（理）试题 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．第Ⅰ卷毎小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ ‎4．本卷命题范围：人教版必修2第一、二章，必修4第三章和必修5（除线性规划）．‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．关于x的不等式的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在正三棱柱中，M为侧面的中心，N为侧面的中心，P为BC的中点，则直线MN与直线AP所成的角为（ ）‎ A．0° B．45° C．60° D．90°‎ ‎4．数列的前n项和为，若，则实数k等于（ ）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎5．人体满足黄金分割比的人体是最美人体，0.618是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示为，则（ ）‎ A．4 B． C．2 D．‎ ‎6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C．10 D．‎ ‎7．已知中，角A，BC的对边分别为a，b，c，，．则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，，，则的最小值为（ ）‎ A． B．7 C．8 D．4‎ ‎9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，时，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知数列满足：，．正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前几项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且，若AC边上的中线，则的周长为（ ）‎ A．15 B．14 C．16 D．12‎ ‎12．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，．若三棱锥外接球表面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若圆台的母线与高的夹角为，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为________．‎ ‎14．设是等比数列的前n项和，，且，则________．‎ ‎15．已知，若数列中最小项为第3项，则 ‎________．‎ ‎16．在中，，．当取最大值时，的外接圆半径为________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，为正三角形，，的面积为．‎ ‎（1）求CD的长；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数在区间上的最值．‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且．‎ ‎（1）求证：平面DEF ‎（2）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．‎ ‎（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；‎ ‎（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，M为AD上一点，，N为PC中点．‎ ‎（1）证明：平面PAB；‎ ‎（2）求点A到平面PMN的距离；‎ ‎（3）求直线AN与平面PMN所成角的正切值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足，，数列的前n项和为，满足．‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）若任意，恒成立，求实数t的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．A ‎ 由，得，故选A．‎ ‎2．B ‎ 由，得，化简得 ‎，故选B．‎ ‎3．D ‎ ‎∵，，∴，故选D．‎ ‎4．C ‎ ‎∵，数列是首项为1公差为4的等差数列，‎ ‎∴，∴，得，故选C．‎ ‎5．C ‎，故选C ‎6．D ‎ 由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得C到的几何体．‎ ‎．故选D．‎ ‎7．B ‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴，∴．故选B．‎ ‎8．A ‎ 由知 当且仅当，时等号成立，故选A．‎ ‎9．B ‎ 因为，且，解得，，‎ 又，所以，故，‎ 因为，，故，‎ 故，故选B．‎ ‎10．C ‎ 由和累乘法可以知道，所以，‎ 又，，成等比数列，所以，‎ 所以，‎ 所以．‎ 故选C．‎ ‎11．A ‎ 由a，b，c成等差数列知，又，所以，所以，所以，．若AC边上的中线为，‎ 所以（也可以用余弦定理列方程），所以，，，所以的周长为15．故选A．‎ ‎12．D ‎ 设，，由三棱锥外接球的表面积为，得外接球的半径，又平面ABC，A，所以，所以，所以．因为平面ABC，，所以，，过D作，垂足为E，则平面ABC，所以，所以，所以，‎ ‎∴‎ ‎，当且仅当，即，‎ 时，等号成立，三棱锥体积的最大值为2，故选D．‎ ‎13． ‎ 设上、下底面半径分别为R、r，圆台高为h，根据轴截面可知，即，所以．‎ ‎14．0或4 ‎ 设等比数列的公比为q，由，得，即，所以，若，则，此时；若，则，此时，所以或者．‎ ‎15． ‎ 由题意和数列图象可以知道，所以．‎ ‎16． 2 ‎ 设，‎ 所以 所以，所以当时，，，‎ 此时的外接圆半径为．‎ ‎17．解：（1）设，则，‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴或（舍），即； 2分 在中，，‎ ‎∴ 5分 ‎（2）∵，，∴．‎ 在中，由正弦定理得 ‎， 7分 ‎∵ 8分 ‎∴． 10分 ‎18．解：‎ ‎ 3分 因为，所以，‎ ‎ 4分 所以，‎ 故函数在区间的最大值为，‎ 最小值为． 6分 ‎（2）因为，，所以，‎ 所以． 8分 所以 ‎ 12分 ‎19．解：（1）取AC的中点H，∵，∴．‎ ‎∵，∴F为CH的中点 ‎∵E为BC的中点，∴．则 ‎∵是正三角形，∴．‎ ‎∵平面BCD，∴．‎ ‎∵，∴平面ABC．‎ ‎∴． 4分 ‎∵，∴平面DEF． 6分 ‎（2）存在这样的点N，当时，平面DEF．‎ 连CM，设，连OF．‎ 由条件知，O为的重心，．‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴． 12分 ‎20．解：（1）当时，‎ ‎；‎ 当时， 3分 ‎∴ 5分 ‎（2）当时，，‎ ‎∴当时，y取最大值，最大值为1600万元； 8分 当时，，‎ 当且仅当，即时，y取得最大值，最大值为1800万元． 11分 综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元． 12分 ‎21．证明：（1）取PB中点G，连接AG，NG，‎ ‎∵N为PC的中点，∴，且， 1分 又∵，，且．‎ ‎∴，且，则且， 2分 ‎∴四边形AMNG为平行四边形，∴，‎ 又平面PAB，平面PAB，‎ ‎∴平面PAB． 4分 ‎22. 解：（2）取BC的中点H，连接AH，‎ ‎∵，∴且，∴四边形AHCM是矩形，∴，‎ ‎∵，PA，平面PAM，，‎ ‎∴平面PAM，且，过点A作平面PMN于F，则AF即为点A到平面PMN的距离． 6分 ‎∴，∴，‎ ‎∴点A到平面PMN的距离． 9分 ‎（3）连接AN，NF，由（2）知即为直线AN与平面PMN所成的角，‎ 在中，，，，‎ 又N是PC的中点，，，‎ ‎∴直线AN与平面PMN所成角的正切值为． 12分 ‎22．解：（1）设数列的公差为d，则解得．‎ 所以． 2分 对于数列，当时，，所以．‎ 当时，由，①可知，②‎ ‎①-②得，即，故是以1为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以．‎ ‎（2）设，‎ 由（1）知，当时，， 5分 当时，，③‎ ‎，④‎ ‎③-④得 6分 ‎∴，∴，‎ 当时也符合该式，所以， 7分 故题中不等式可化为， 8分 当时，不等式可化为，， 9分 当时，不等式可化为，此时， 10分 当时，不等式可化为，因为数列是递增数列，‎ 所以． 11分 综上，实数t的取值范围是 12分