2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程课时作业

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2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程课时作业

第2讲 基本初等函数、函数与方程 限时40分钟 满分80分 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.(2019·云南检测)设a=60.7,b=log70.6,c=log0.60.7,则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.c>b>a         B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b 解析:D [因为a=60.7>1,b=log70.6<0,0<c=log0.60.7<1,所以a>c>b.]‎ ‎2.(北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(  )‎ ‎(参考数据:lg 3≈0.48)‎ A.1033 B.1053‎ C.1073 D.1093‎ 解析:D [设=x=,两边取对数,lg x=lg=lg3361-lg1080=361×lg 3-80=93.28,所以x=1093.28,即最接近1093,故选D.]‎ ‎3.(2020·安徽皖中名校联考)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(  )‎ A.(a,b)和(b,c) B.(-∞,a)和(a,b)‎ C.(b,c)和(c,+∞) D.(-∞,a)和(c,+∞)‎ 解析:A [由题意可得f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,则由零点存在性定理可知,选A.]‎ ‎4.(2019·铁人中学期中)函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当-1≤x≤1时,f(x)=|x|.若y=f(x)的图象与g(x)=logax(a>0且a≠1)的图象有且仅有四个交点,则a的取值集合为(  )‎ A.{4,5} B.{4,6}‎ C.{5} D.{6}‎ 解析:C [函数f(x+2)=f(x),则函数f(x)是周期为2的周期函数,画出函数f(x)的图象(图略),数形结合可知,当g(x)的图象过点(5,1)时,f(x)的图象与g(x)=logax的图象仅有四个交点,则g(5)=loga5=1,得a=5.故选C.]‎ ‎5.(2020·广西三校)函数f(x)=x2lg的图象(  )‎ A.关于x轴对称 B.关于原点对称 - 6 -‎ - 6 -‎ C.关于直线y=x对称 D.关于y轴对称 解析:B [因为f(x)=x2lg,所以其定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),所以f(-x)=x2lg=-x2lg=-f(x),所以函数为奇函数,所以函数的图象关于原点对称.]‎ ‎6.某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售完,定价每次提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件(  )‎ A.100元 B.110元 C.150元 D.190元 解析:D [设售价提高x元,利润为y元,则依题意得y=(1 000-5x)×(20+x)=-5x2+900x+20 000=-5(x-90)2+60 500.故当x=90时,ymax=60 500,此时售价为每件190元.]‎ ‎7.(2020·深圳模拟)已知函数f(x)=ln x-2[x]+3,其中[x]表示不大于x的最大整数(如[1.6]=1,[-2.1]=-3),则函数f(x)的零点个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:B [设g(x)=ln x,h(x)=2[x]-3,当0<x<1时,h(x)=-3,作出图象,‎ 两个函数图象有一个交点,即f(x)有一个零点;‎ 当2≤x<3时,h(x)=1,ln 2≤g(x)<ln 3.‎ 此时两函数图象有一个交点,即f(x)有一个零点,‎ 当x≥3以后,两函数图象无交点,‎ 综上,共有两个零点.]‎ ‎8.(2020·贵阳模拟)某地方政府为鼓励全民创业,拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励,奖励方案遵循以下原则:奖金y(单位:万元)随年产值x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于7万元,同时奖金不超过年产值的15%.若采用函数f(x)=作为奖励函数模型,则最小的正整数a的值为(  )‎ A.310 B.315‎ C.320 D.325‎ - 6 -‎ - 6 -‎ 解析:B [对于函数模型f(x)==15-,a为正整数,函数在[50,500]上单调递增,f(x)min=f(50)≥7,得a≤344,要使f(x)≤0.15x对x∈[50,500]恒成立,即a≥-0.15x2+13.8x对x∈[50,500]恒成立,所以a≥315.综上,最小的正整数a的值为315.]‎ ‎9.(山东卷)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2 的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是(  )‎ A.(0,1]∪[2,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)‎ C.(0,]∪[2,+∞) D.(0,]∪[3,+∞)‎ 解析:B [当0<m≤1时,≥1,y=(mx-1)2单调递减,且y=(mx-1)2∈[(m-1)2,1],y=+m单调递增,且y=+m∈[m,1+m],此时有且仅有一个交点;当m>1时,0<<1,y=(mx-1)2在上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需(m-1)2≥1+m⇒m≥3,选B.]‎ ‎10.(2020·长春模拟)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[-1,1) B.[0,2]‎ C.[-2,2) D.[-1,2)‎ 解析:D [∵f(x)= ‎∴g(x)=f(x)-2x= 而方程-x+2=0的解为2,方程x2+3x+2=0的解为-1,-2;若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则解得-1≤a<2,实数a的取值范围是[-1,2).故选D.]‎ ‎11.(2019·长春质量监测)已知函数f(x)=与g(x)=1-sin πx,则函数F(x)=f(x)-g(x)在区间[-2,6]上的所有零点的和为(  )‎ A.4 B.8‎ C.12 D.16‎ 解析:D [令F(x)=f(x)-g(x)=0,得f(x)=g(x),在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)=1+与g(x)=1-sin πx的图象,如图所示.f(x),g(x)的图象都关于点(2,1)对称,结合图象可知f(x)与g(x)的图象在[-2,6]上共有8个交点,交点的横坐标即F(x)=f(x)-g(x)的零点,且这些交点关于直线x=2成对出现,由对称性可得所有零点之和为4×2×2=16,故选D.]‎ - 6 -‎ - 6 -‎ ‎12.(2020·烟台模拟)已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),若a=30.3·f(30.3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=·f,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b 解析:B [因为当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,即[xf(x)]′<0,‎ 所以g(x)=xf(x)在(-∞,0)上是减函数.‎ 又因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,‎ 所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,‎ 所以函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,‎ 所以g(x)=xf(x)是定义在R上的偶函数,‎ 所以g(x)=xf(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ 又因为30.3>1>logπ3>0>log3=-2,‎ ‎2=-log3>30.3>1>logπ3>0,‎ 所以f>30.3·f(30.3)>(logπ3)·f(logπ3),即f>30.3·f(30.3)>(logπ3)·f(logπ3),即c>a>b,故选B.]‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.(2020·福建三明模拟)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t(单位:分)后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·,其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要________分钟.‎ 解析:由已知可得Ta=24,T0=88,T=40,则40-24=(88-24)×,解得h=10.当咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,可得32-24=(40-24)×,解得t=10.故还需要10分钟.‎ - 6 -‎ - 6 -‎ 答案:10‎ ‎14.(2020·湖南省四校联考)已知函数f(x)=lg x+x-9在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n=________.‎ 解析:易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在其定义域内单调递增,由零点存在性定理知,若函数f(x)在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则有又f(4)=lg 4+6-9=lg 4-3<0,f(5)=lg 5+-9=lg 5-<0,f(6)=lg 6+9-9=lg 6>0,所以函数f(x)在(5,6)上存在零点,所以n=5.‎ 答案:5‎ ‎15.(2018·浙江卷)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是________.‎ 解析:∵λ=2,‎ ‎∴f(x)= 当x≥2时,x-4<0得2≤x<4.‎ 当x<2时,x2-4x+3<0,解得1<x<2.‎ 综上不等式的解集为1<x<4.‎ 当y=x2-4x+3有2个零点时,λ>4.‎ 当y=x2-4x+3有1个零点时,y=x-4有1个零点,1<λ≤3.‎ ‎∴1<λ≤3或λ>4.‎ 答案:(1,4);(1,3]∪(4,+∞)‎ ‎16.(2019·合肥调研)已知f(x)=(其中a<0,e为自然对数的底数),若g(x)=f[f(x)]在R上有三个不同的零点,则a的取值范围是____________.‎ 解析:‎ - 6 -‎ - 6 -‎ 令t=f(x),所以g(x)=f(t),g(x)=f[f(x)]在R上要有三个不同的零点,则f(t)=0必有两解,所以-2≤a<0,所以f(x)的大致图象如图所示,又f(x)的零点为x1=0,x2=-2,所以y=f(t)必有两个零点,t1=-2和t2=0,而x≤a时,f(x)min=a2-4,所以要使y=f(t)的两个零点都存在,则a2-4≤-2,否则t1=-2这个零点就不存在,故a2≤2,所以-≤a<0.‎ 答案:[-,0)‎ - 6 -‎ - 6 -‎
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