2018届二轮复习函数与导数函数的应用专题突破讲义学案文(全国通用)

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文档介绍

2018届二轮复习函数与导数函数的应用专题突破讲义学案文(全国通用)

第2讲 函数的应用 ‎1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以选择题、填空题的形式出现.‎ ‎2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数的最值问题.‎ 热点一 函数的零点 ‎1.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.‎ ‎2.函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.‎ 例1 (1)(2017届陕西黄陵中学月考)已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,函数f(x)存在零点的是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2)‎ C.(2,4) D.(4,+∞)‎ 答案 C 解析 由于f(2)=3-1>0,f(4)=-2<0,‎ 故零点所在区间为(2,4).‎ ‎(2)(2017届河北沧州一中月考)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程f(x)=log3|x|的解的个数是(  )‎ A.0 B.2‎ C.4 D.6‎ 答案 C 解析 运用函数的奇偶性、周期性在同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x),y=log3|x|的图象,结合图象可以看出:两个函数y=f(x),y=log3|x|有四个不同的交点,即方程f(x)=log3|x|有四个解,故选C.‎ 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有 ‎(1)函数零点大致存在区间的确定.‎ ‎(2)零点个数的确定.‎ ‎(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.‎ 跟踪演练1 (1)(2017届河北磁县一中月考)函数f(x)=-|x|-+3的零点所在的区间为(  )‎ A.(0,1) B.(1,2)‎ C.(2,3) D.(3,4)‎ 答案 B 解析 ∵f(x)=-|x|-+3=-x-+3,‎ ‎∴函数f(x)=-|x|-+3单调递减.‎ ‎∵f(1)=1>0,f(2)=1-<0,‎ ‎∴函数f(x)=-|x|-+3的零点所在区间为(1,2),故选B.‎ ‎(2)(2017届甘肃高台县一中检测)已知函数f(x)满足:①定义域为R;②∀x∈R,都有f(x+2)=f(x);③当x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1,则方程f(x)=log2|x|在区间[-3,5]内解的个数是(  )‎ A.5 B.‎6 C.7 D.8‎ 答案 A 解析 画出函数图象如图所示,由图可知,共有5个解.‎ 热点二 函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.‎ 例2 (1)(2017届临沂期中)已知函数f(x)= 若对函数y=f(x)-b,当b ‎∈(0,1)时总有三个零点,则a的取值范围为________.‎ 答案 (-∞,-2]‎ 解析 由分段函数可知,当x<0,b∈(0,1)时,ex=b必有一个交点;当b∈(0,1)时,与x2+ax+1=0(x>0)有两个交点,只需满足当x=-时,y=-+1≤0且->0,解得a≤-2.‎ ‎(2)(2017届河南中原名校质检)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=|4x(1-x)|,若关于x的方程f2(x)+(t-3)f(x)+t-2=0有且只有3个不同的实数根,则实数t的取值集合是__________.‎ 答案 {2,5-2}‎ 解析 设g(y)=y2+(t-3)y+t-2,当t=2时,y=0,y=1显然符合题意.当t<2时,一正根一负根,g(0)<0,g(1)<0,方程的根大于1,f2(x)+(t-3)f(x)+t-2=0只有一根;当t>2时,两根同号,只能有一个正根在区间(0,1)上,而g(0)=t-2,g(1)=2t-4>0,对称轴y=∈(0,1),12时符合题设.‎ ‎(2)(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a等于(  )‎ A.- B. C. D.1‎ 答案 C 解析 方法一 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)‎ ‎=(x-1)2+a[ex-1+e-(x-1)]-1,‎ 令t=x-1,则g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1.‎ ‎∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t),‎ ‎∴函数g(t)为偶函数.‎ ‎∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点.‎ 又g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)=0,‎ ‎∴‎2a-1=0,解得a=.‎ 故选C.‎ 方法二 f(x)=0⇔a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x.‎ ex-1+e-x+1≥2=2,‎ 当且仅当x=1时取“=”.‎ ‎-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,当且仅当x=1时取“=”.‎ 若a>0,则a(ex-1+e-x+1)≥‎2a,‎ 要使f(x)有唯一零点,则必有‎2a=1,即a=.‎ 若a≤0,则f(x)的零点不唯一.‎ 故选C.‎ 热点三 函数的实际应用问题 解决函数模型的实际应用问题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是:(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.(2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式.(3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果.(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.‎ 例3 (2017届湖北孝感市统考)经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/小时)(50≤x≤120)的关系可近似表示为:‎ y= ‎(1)该型号汽车速度为多少时,可使得每小时耗油量最低?‎ ‎(2)已知A,B两地相距120千米,假定该型号汽车匀速从A地驶向B地,则汽车速度为多少时总耗油量最少?‎ 解 (1)当x∈[50,80)时,‎ y=(x2-130x+4 900)=[(x-65)2+675]‎ 当x=65时,y有最小值×675=9.‎ 当x∈[80,120]时,函数单调递减,故当x=120时,y有最小值10.‎ 因为9<10,故当x=65时每小时耗油量最低.‎ ‎(2)设总耗油量为l,由题意可知l=y·.‎ ‎①当x∈[50,80)时,‎ l=y·= ‎≥=16,‎ 当且仅当x=,即x=70时,l取得最小值16.‎ ‎②当x∈[80,120]时,l=y·=-2为减函数.‎ 当x=120时,l取得最小值10.‎ 因为10<16,所以当速度为‎120千米/小时时,总耗油量最少.‎ 思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题,首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去.‎ ‎(2)对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法及导数法.‎ 跟踪演练3 (2017届运城期中)为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y=x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.‎ ‎(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?‎ ‎(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?‎ 解 (1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为 =x+-200‎ ‎≥2-200=200,‎ 当且仅当x=,即x=400时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.‎ ‎(2)设该单位每月获利为S,‎ 则S=100x-y=100x- ‎=-x2+300x-80 000‎ ‎=-(x-300)2-35 000,‎ 因为400≤x≤600,‎ 所以当x=400时,S有最大值-40 000.‎ 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40 000元,才能不亏损.‎ 真题体验 ‎1.(2016·天津改编)已知函数f(x)=sin2+sin ωx- (ω>0,x∈R).若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是______________.‎ 答案 ∪ 解析 f(x)=+sin ωx- ‎=(sin ωx-cos ωx)=sin.‎ 因为函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,‎ 所以>2π-π,所以>π,所以0<ω<1.‎ 当x∈(π,2π)时,ωx-∈,若函数f(x)在区间(π,2π)内有零点,则ωπ-g,g(4)=3>2,g(-1)=-2,所以两个函数图象的交点一共有5个,所以f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为5.‎ ‎2.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[-1,1) B.[0,2]‎ C.(-2,2] D.[-1,2)‎ 押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数,进而确定参数范围,较好地体现了数形结合思想.‎ 答案 D 解析 g(x)=f(x)-2x=要使函数g(x)恰有三个不同的零点,只需g(x)=0恰有三个不同的实数根,‎ 所以或 所以g(x)=0的三个不同的实数根为x=2(x>a),x=-1(x≤a),x=-2(x≤a).‎ 再借助数轴,可得-1≤a<2.‎ 所以实数a的取值范围是[-1,2),故选D.‎ ‎3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m.‎ 押题依据 函数的实际应用是高考的必考点,函数的最值问题是应用问题考查的热点.‎ 答案 20‎ 解析 如图,过A作AH⊥BC交BC于点H,交DE于点F,易知===⇒AF=x⇒FH=40-x,则S=x(40-x)≤2,当且仅当40-x=x,即x=20时取等号,所以满足题意的边长x为‎20 m.‎ A组 专题通关 ‎1.(2017届枣庄期末)函数的零点个数为(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 答案 B 解析 在同一直角坐标系下作出函数与y=x的图象,如图所示,由图知,两个函数只有一个交点,‎ 所以函数f(x)的零点只有1个,故选B.‎ ‎2.(2017届遵义期中)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元,该设备每年生产的收入均为21万元,设该设备使用了n(n∈N*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于(  )‎ A.6 B.7‎ C.8 D.7或8‎ 答案 B 解析 盈利总额为21n-9- ‎=-n2+n-9,‎ 由于对称轴为n=,所以当n=7时,取最大值,故选B.‎ ‎3.(2017届陕西西安铁一中三模)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是(  )‎ A. B. C.(1,2) D.(2,3)‎ 答案 B 解析 由函数图象可知即 函数g(x)=ln x+2x+a=ln x+2x-1-b,‎ g=ln +1-1-b=-ln 2-b<0,‎ g(1)=ln 1+2-1-b=1-b>0,‎ 所以零点所在的一个区间为,故选B.‎ ‎4.已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,如果g(x)=f(x)-log5|x-1|,则方程g(x)=0的所有根之和为(  )‎ A.2 B.‎4 C.6 D.8‎ 答案 D 解析 在平面直角坐标系中画出函数y=f(x)及y=log5|x-1|的图象,结合函数的图象可以看出函数共有8个零点,且关于x=1对称,故所有零点的和为2×4=8,故选D.‎ ‎5.(2017届湖南长沙一中月考)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有升,则m的值为(  )‎ A.5 B.‎6 C.8 D.10‎ 答案 A 解析 根据题知,因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等,所以函数y=aent,满足f(5)=ae5n=a,可得n=ln ,因此当k min后甲桶中的水只有升,即f(k)=,即ln ·k=ln ,所以ln ·k=2ln ,‎ 解得k=10,k-5=5,即m=5,故选A.‎ ‎6.(2017届陕西黄陵中学月考)函数f(x)的定义域为[-1,1],图象如图1所示,函数g(x)的定义域为[-2,2],图象如图2所示,方程f(g(x))=0有m个实数根,方程g(f(x))=0有n个实数根,则m+n等于(  )‎ ‎ ‎ A.6 B.8‎ C.10 D.12‎ 答案 C 解析 注意到f(-1)=f(0)=f(1)=0,g(x)=-1有2个根,g(x)=0有3个根,g(x)=1有2个根,故m=7.注意到g=g(0)=g=0,-1≤f(x)≤1,f(x)=0有3个根,故n=3,所以m+n=10.‎ ‎7.(2017届江苏无锡市普通高中期中)若函数y=在区间(-2,2)上有两个零点,则实数a的取值范围为________.‎ 答案 [0,2+ln 2)‎ 解析 由题设可知函数y=x2-a与函数y=x-a+ln x在给定的区间(-2,0]和区间(0,2)内分别有一个根,结合图象可得即 所以0≤a<2+ln 2.‎ ‎8.(2017届江苏泰州中学期中)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在区间[0,2 016]上的零点个数是________.‎ 答案 605‎ 解析 因为f(x)+f(x+5)=16,则f(x+5)+f(x+10)=16,所以f(x)=f(x+10),所以该函数的周期是T=10.由于函数y=f(x)在(-1,4]上有三个零点,因此在区间(-1,9)上只有三个零点,而2 016÷5=403+1,故在区间[0,2 016]上共有(403×3+1)÷2=(1 209+1)÷2=605(个)交点.‎ ‎9.(2017届河南省郑州市第一中学质量检测)对于函数f(x)与g(x),若存在λ∈{x∈R|f(x)=0},μ∈{x∈R|g(x)=0},使得|λ-μ|≤1,则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”,现已知函数f(x)=ex-2+x-3与g(x)=x2-ax-x+4互为“零点密切函数”,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 [3,4]‎ 解析 由题意知,函数f(x)的零点为x=2,设g(x)满足|2-μ|≤1的零点为μ,因为|2-μ|≤1,解得1≤μ≤3.‎ 因为函数g(x)的图象开口向上,所以要使g(x)的一个零点落在区间[1,3]上,‎ 则需满足g(1)g(3)≤0或 解得≤a≤4或3≤a<,取并集得3≤a≤4.‎ 故实数a的取值范围为[3,4].‎ ‎10.(2017届江西抚州市七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120.设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元)‎ ‎(1)求f(50)的值;‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?‎ 解 (1)因为甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,‎ 所以f(50)=80+4+×150+120=277.5.‎ ‎(2)f(x)=80+4+(200-x)+120‎ ‎=-x+4+250,‎ 依题意得⇒20≤x≤180,‎ 故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).‎ 令t=∈[2,6],‎ 则f(x)=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,‎ 当t=8,即x=128时,f(x)max=282,‎ 所以当甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元.‎ B组 能力提高 ‎11.(2017届湖南长沙一中月考)定义域为R的函数f(x)=若关于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5,则f(x1+x2+x3+x4+x5)的值等于(  )‎ A.4lg 2 B.3lg 2‎ C.2lg 2 D.lg 2‎ 答案 B 解析 当x=2时,f(x)=1,则有f 2(x)+bf(x)+c=0,所以x1=2,c=-b-1;当x>2时,f(x)=lg(x-2),由f 2(x)+bf(x)+c=0,得[lg(x-2)]2+blg(x-2)+c=0,解得lg(x-2)=1⇒x2=12或lg(x-2)=c⇒x3=2+‎10c;当x<2时,f(x)=lg(2-x),由f 2(x)+bf(x)+c=0,得[lg(2-x)]2+blg(2-x)+c=0,解得lg(2-x)=1⇒x4=-8或lg(2-x)=c⇒x5=2-‎10c,‎ 所以f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(10)=lg|10-2|=3lg 2,故选B.‎ ‎12.(2017届杭州地区四校联考)已知函数f(x)=则方程f=a的实根个数不可能为(  )‎ A.8 B.7‎ C.6 D.5‎ 答案 D 解析 如图所示,画出函数f(x)以及g(x)=x+-2的图象,从而可知,当a<0时,方程f(x)=a有一正根,∴方程f =a有两个根;当a=0时,方程f(x)=a有一个正根,一个根0,∴f =a有三个根;当02时,方程f(x)=a有一个正根,一个小于-4的负根,∴f =a有四个根,‎ ‎∴f =a根的个数可能为2,3,4,6,7,8,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎13.(2017届重庆市第八中学二调)已知函数f(x)=|x|(2-x),关于x的方程f(x)=m(m∈R)有三个不同的实数解x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围为____________.‎ 答案 (1-,0)‎ 解析 f(x)=|x|(2-x)= 如图所示,关于x的方程f(x)=m恰有三个互不相等的实根x1,x2,x3,即函数y=f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,则00时,由对称性知,x2+x3=2,00且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是________.‎ 答案 ∪ 解析 画出函数y=|f(x)|的图象如图,结合图象可知当直线y=2-x与函数y=x2+‎‎3a 相切时,由Δ=1-4(‎3a-2)=0,解得a=,此时满足题设;由函数y=f(x)是单调递减函数可知,0+‎3a≥loga(0+1)+1,即a≥,所以当2≥‎3a时,即≤a≤时,函数y=|f(x)|与函数y=2-x恰有两个不同的交点,即方程|f(x)|=2-x恰好有两个不相等的实数解,综上所求实数a的取值范围是≤a≤或a=.‎
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