高考数学复习之挑战压轴题（解答题）：函数与导数综合题（35题）

高考数学复习之挑战压轴题（解答题）：函数与导数综合题（35题）

‎2020年高考数学复习之挑战压轴题（解答题）：函数与导数综合题（35题）‎ 一、解答题（共35小题）‎ ‎1．（2018•怀化二模）已知函数，‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎2．（2019•钟祥市一模）已知函数，，其中，，设，‎ ‎（1）若在处取得极值，且（1）．求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时，函数有两个不同的零点，‎ ‎①求的取值范围；‎ ‎②求证：．‎ ‎3．（2017•潮南区模拟）设函数为常数）‎ ‎（Ⅰ）若函数在区间，上是单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且，求证：．‎ ‎4．（2016•广元三模）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，试判断在定义域内的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若在，上的最小值为，求实数的值；‎ ‎（Ⅲ）若在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎5．（2015•衡水三模）已知函数，，．‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若在，上存在一点，使得成立，求的取值范围．‎ 第81页（共81页）‎ ‎6．（2016•离石区二模）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，，求的极小值；‎ ‎（Ⅲ）设，若函数存在两个零点，，且．问：函数在点，处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．‎ ‎7．（2017•衡阳三模）已知函数．为常数，‎ ‎（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎8．（2016•太原校级模拟）设函数 ‎（1）若函数在定义域上为增函数，求范围；‎ ‎（2）在（1）条件下，若函数，，，使得成立，求的范围．‎ ‎9．（2015•西宁校级模拟）已知函数 ‎（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）若且关于的方程在，上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎10．（2016•衡阳校级模拟）已知函数 ，．‎ 求函数 的单调区间；‎ ‎（Ⅱ），使不等式 成立，求的取值范围．‎ ‎11．（2015•安徽模拟）已知函数为实常数）．‎ 第81页（共81页）‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上无极值，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）已知且，求证：．‎ ‎12．（2016•鹰潭校级模拟）已知函数，为常数），其图象是曲线．‎ ‎（1）当时，求函数的单调减区间；‎ ‎（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线，的斜率分别为，．问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎13．（2016•江门模拟）已知函数，．‎ ‎ 当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数的图象在点，（2）处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，，函数在区间上总存在极值？‎ ‎14．（2018•黑龙江模拟）设函数，，，且为的极值点．‎ ‎（Ⅰ）若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；‎ ‎（Ⅱ）若恰有两解，求实数的取值范围．‎ ‎15．（2016•包头一模）已知函数为实常数）．‎ ‎（1）若，求证：函数在上是增函数；‎ ‎（2）求函数在，上的最小值及相应的值；‎ ‎（3）若存在，，使得成立，求实数的取值范围．‎ 第81页（共81页）‎ ‎16．（2019•新课标Ⅲ）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，记在区间，的最大值为，最小值为，求的取值范围．‎ ‎17．（2019•新课标Ⅱ）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；‎ ‎（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．‎ ‎18．（2019•浙江）已知实数，设函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．‎ 注：为自然对数的底数．‎ ‎19．（2019•江苏）设函数，，，，为的导函数．‎ ‎（1）若，（4），求的值；‎ ‎（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；‎ ‎（3）若，，，且的极大值为，求证：．‎ ‎20．（2019•北京）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当，时，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，记在区间，上的最大值为（a）．当（a）最小时，求的值．‎ ‎21．（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．证明：‎ 第81页（共81页）‎ ‎（1）在区间存在唯一极大值点；‎ ‎（2）有且仅有2个零点．‎ ‎22．已知函数，，其中．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若曲线在点，处的切线与曲线在点，处的切线平行，证明；‎ ‎（Ⅲ）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．‎ ‎23．（2018•新课标Ⅲ）已知函数．‎ ‎（1）若，证明：当时，；当时，；‎ ‎（2）若是的极大值点，求．‎ ‎24．（2018•新课标Ⅰ）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，，证明：．‎ ‎25．（2018•新课标Ⅱ）已知函数．‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ ‎（2）若在只有一个零点，求．‎ ‎26．（2017•天津）设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，，，函数，求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，，且，，‎ 第81页（共81页）‎ ‎，满足．‎ ‎27．（2017•山东）已知函数，，其中是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．‎ ‎28．（2017•新课标Ⅱ）已知函数，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且．‎ ‎29．（2017•新课标Ⅰ）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围．‎ ‎30．（2017•江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．‎ ‎（Ⅰ）求关于的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求实数的取值范围．‎ ‎31．（2017•新课标Ⅲ）已知函数．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．‎ ‎32．（2016•上海）已知，函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围．‎ 第81页（共81页）‎ ‎（3）设，若对任意，，函数在区间，上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．‎ ‎33．（2016•新课标Ⅲ）设函数，其中，记的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求；‎ ‎（Ⅲ）证明：．‎ ‎34．（2016•天津）设函数，，其中，．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若存在极值点，且，其中，求证：；‎ ‎（3）设，函数，求证：在区间，上的最大值不小于．‎ ‎35．（2016•山东）已知，．‎ 讨论的单调性；‎ 当时，证明对于任意的，成立．‎ 第81页（共81页）‎ ‎2020年高考数学复习之挑战压轴题（解答题）：函数与导数综合题（35题）‎ 参考答案与试题解析 一、解答题（共35小题）‎ ‎1．（2018•怀化二模）已知函数，‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【考点】：函数恒成立问题；：利用导数研究函数的单调性 ‎【专题】15：综合题；16：压轴题；53：导数的综合应用 ‎【分析】（Ⅰ）的定义域为，，若，在上单调递增；若时，在上单调递增，在，上单调递减．‎ ‎（Ⅱ），令，，，令，，由此进行分类讨论，能求出实数的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）的定义域为，，‎ 若，则，在上单调递增，‎ 若，则由，得，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 在上单调递增，在，上单调递减．‎ 所以当时，在上单调递增，‎ 当时，在上单调递增，在，上单调递减．‎ 第81页（共81页）‎ ‎（Ⅱ），‎ 令，，‎ ‎，令，‎ ‎，‎ ‎①若，，在，上递增，‎ ‎（1），‎ 在，上递增，（1），‎ 从而不符合题意．‎ ‎②若，当，，‎ 在上递增，‎ 从而（1），‎ 在，上递增，（1），‎ 从而不符合题意．‎ ‎③若，在，上恒成立，‎ 在，上递减，（1），‎ 从而在，上递减，‎ ‎（1），，‎ 综上所述，的取值范围是．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意导数性质的合理运用．‎ ‎2．（2019•钟祥市一模）已知函数，，其中，，设，‎ 第81页（共81页）‎ ‎（1）若在处取得极值，且（1）．求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时，函数有两个不同的零点，‎ ‎①求的取值范围；‎ ‎②求证：．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究函数的最值；：利用导数研究函数的单调性 ‎【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用；16：压轴题 ‎【分析】（1）根据极值点处的导数为零，结合（1）列出关于，的方程组，求出，，然后再利用导数研究导数研究单调区间；‎ ‎（2）①将代入，研究极值的符号，即可求出求的取值范围，‎ ‎②结合①的结论，通过适当的变形，利用通过适当的变形，利用导数即可证明．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得，‎ ‎，．‎ 由（1），得，．‎ ‎，．‎ 则，‎ 由，得，，．‎ 的减区间为，增区间为．‎ ‎（2）①由已知，，，‎ 当时，显然恒成立，此时函数在定义域内递增，至多有一个零点，不合题意．‎ 当时，令，得，‎ 令，得；令，得．‎ 第81页（共81页）‎ ‎，解得．‎ 时，，当时，，‎ 当时，有两个零点．‎ ‎②由题意得，‎ ‎，，‎ ‎，不妨设 要证，只需要证，‎ 即证，‎ 设，，则，‎ ‎，‎ 函数在上单调递增，而（1），‎ ‎，即，‎ ‎，．‎ ‎【点评】本题考查了导数和函数的单调性和极值的关系，以及函数的零点存在定理和不等式的证明，培养了学生的运算能力，化归能力，分类讨论的能力，属于难题．‎ ‎3．（2017•潮南区模拟）设函数为常数）‎ ‎（Ⅰ）若函数在区间，上是单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且，求证：．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值 ‎【专题】35：转化思想 ‎【分析】（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；‎ ‎（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．‎ 第81页（共81页）‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意知：在，上恒成立．‎ 即在区间，上恒成立．‎ 在区间，上的最大值为，‎ ‎；‎ 经检验：当时，，，．‎ 的取值范围是，．‎ ‎（Ⅱ）在区间上有两个不相等的实数根，‎ 即方程在区间上有两个不相等的实数根．‎ 记，则有，解得．‎ ‎，．‎ 令．‎ ‎，‎ 记．‎ ‎，‎ ‎．‎ 在使得．‎ 当，；当，时，．‎ 而在单调递减，在，单调递增，‎ ‎，‎ 第81页（共81页）‎ 当，‎ 在单调递减，‎ 即．‎ ‎【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．‎ ‎4．（2016•广元三模）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，试判断在定义域内的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若在，上的最小值为，求实数的值；‎ ‎（Ⅲ）若在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值 ‎【专题】53：导数的综合应用 ‎【分析】（Ⅰ）先求出的定义域，再求出，从而得出函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）分别讨论①若，②若，③若的情况，结合函数的单调性，得出函数的单调区间，从而求出的值；‎ ‎（Ⅲ）由题意得，令，得到，，得出在递减，从而在递减，问题解决．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得的定义域是，且，‎ ‎，，‎ 故在单调递增；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，‎ ‎①若，则，即在，上恒成立，‎ 此时在，上递增，‎ ‎（1），（舍，‎ ‎②若，则，即在，上恒成立，‎ 第81页（共81页）‎ 此时在，上递减，‎ ‎（e），（舍，‎ ‎③若，令，得，‎ 当时，，在递减，‎ 当时，，在递增，‎ ‎，，‎ 综上；‎ ‎（Ⅲ），，又，，‎ 令，，，‎ 时，，在递减，‎ ‎（1），即，在递减，‎ ‎（1），时，在恒成立．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了分类讨论思想，是一道综合题．‎ ‎5．（2015•衡水三模）已知函数，，．‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若在，上存在一点，使得成立，求的取值范围．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究函数的最值 ‎【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想 ‎【分析】（Ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）先求出函数的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0‎ 第81页（共81页）‎ 求出减区间即可得到函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）先把成立转化为，即函数在，上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）的定义域为，（1分）‎ 当时，，，（2分）‎ ‎1‎ ‎0‎ 极小 ‎（3分）‎ 所以在处取得极小值1．（4分）‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎（6分）‎ ‎①当时，即时，在上，在上，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；（7分）‎ ‎②当，即时，在上，‎ 所以，函数在上单调递增．（8分）‎ 在，上存在一点，使得成立，即 在，上存在一点，使得，‎ 即函数在，上的最大值小于零．（9分）‎ 由（Ⅱ）可知 ‎①即，即时，在，上单调递减，‎ 所以的最小值为（e），‎ 由可得，‎ 第81页（共81页）‎ 因为，‎ 所以；（10分）‎ ‎②当，即时，在，上单调递增，‎ 所以最小值为（1），由（1）可得；（11分）‎ ‎③当，即时，可得最小值为，‎ 因为，‎ 所以，‎ 故 此时，不成立．（12分）‎ 综上讨论可得所求的范围是：或．（13分）‎ ‎【点评】本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．‎ ‎6．（2016•离石区二模）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，，求的极小值；‎ ‎（Ⅲ）设，若函数存在两个零点，，且．问：函数在点，处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【专题】11：计算题；16：压轴题；52：导数的概念及应用 ‎【分析】（Ⅰ）先根据题意写出：再求导数，由题意知，，恒成立，即由此即可求得实数的取值范围；‎ 第81页（共81页）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用换元法令，则，，则，接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出的极小值；‎ ‎（Ⅲ）对于能否问题，可先假设能，即设在，的切线平行于轴，其中结合题意，列出方程组，证得函数在上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于轴．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ），‎ 由题意知，，对任意的恒成立，即 又，，当且仅当时等号成立 ‎，可得 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，则，，则 ‎，‎ 由，得或（舍去），‎ ‎，‎ 若，则，单调递减；若，则，单调递增 当时，取得极小值，极小值为 ‎（Ⅲ）设在，的切线平行于轴，其中 结合题意，有 ‎①②得 所以，由④得 第81页（共81页）‎ 所以 设，⑤式变为 设，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 因此，，即，也就是此式与⑤矛盾 所以在，的切线不能平行于轴 ‎【点评】此题是个难题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，根据解题要求选择是否分离变量，体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法，同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．‎ ‎7．（2017•衡阳三模）已知函数．为常数，‎ ‎（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究函数的最值 ‎【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想 ‎【分析】（Ⅰ）先求出其导函数：，利用是函数的一个极值点对应的结论即可求的值；‎ ‎（Ⅱ）利用：，在 第81页（共81页）‎ 时，分析出因式中的每一项都大于等于0即可证明结论；‎ ‎（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，在上的最大值为，把问题转化为对任意的，不等式恒成立；然后再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求即可求实数的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题得：．‎ ‎（Ⅰ）由已知，得且，，，‎ 经检验：符合题意．（2分）‎ ‎（Ⅱ）当时，，，‎ 当时，．又，‎ ‎，故在上是增函数．（5分）‎ ‎（Ⅲ）时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为，‎ 于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立．‎ 记，‎ 则，‎ 当时，，（a）在区间上递减，此时，（a）（1），‎ 由于，时不可能使（a）恒成立，‎ 故必有，．‎ 若，可知（a）在区间上递减，在此区间上，有（a）（1），与（a）恒成立矛盾，故，‎ 这时，（a），（a）在上递增，恒有（a）（1），满足题设要求，‎ 第81页（共81页）‎ ‎，即，‎ 所以，实数的取值范围为．（14分）‎ ‎【点评】本题第一问主要考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．‎ ‎8．（2016•太原校级模拟）设函数 ‎（1）若函数在定义域上为增函数，求范围；‎ ‎（2）在（1）条件下，若函数，，，使得成立，求的范围．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值 ‎【专题】52：导数的概念及应用；53：导数的综合应用 ‎【分析】（1），转化为，在时恒成立，根据对钩函数求解即可．‎ ‎（2）根据导数判断单调性得出的最大值（e），单调递增，的最小值为（1），‎ 把问题转化为的最大值的最小值，求解即可．‎ ‎【解答】解：函数 ‎（1）定义域上为，‎ ‎，‎ 函数在定义域上为增函数，‎ ‎，在时恒成立．‎ 即在时恒成立，‎ 根据对钩函数得出，‎ 故的范围为：．‎ 第81页（共81页）‎ ‎（2）函数，，，使得成，‎ 即的最大值的最小值，‎ 的最大值（e），‎ ‎，，，‎ 单调递增，的最小值为（1），‎ 可以转化为，‎ 即，‎ 的范围为：．‎ ‎【点评】本题考查导数在求解函数的问题中的应用，存在性问题转化为函数最值的应用，关键是求解导数，判断单调性，属于难题．‎ ‎9．（2015•西宁校级模拟）已知函数 ‎（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）若且关于的方程在，上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值 ‎【专题】11：计算题 ‎【分析】（1）对函数进行求导，令导数大于等于0在上恒成立即可．‎ ‎（2）将的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与轴的交点的问题．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 依题意 在时恒成立，即在恒成立．‎ 则在恒成立，‎ 即 ‎ 当时，取最小值 的取值范围是，‎ 第81页（共81页）‎ ‎（2），‎ 设则列表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 极小值（2），极大值（1），‎ 又（4）‎ 方程在，上恰有两个不相等的实数根．‎ 则，得．‎ ‎【点评】本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．‎ ‎10．（2016•衡阳校级模拟）已知函数 ，．‎ 求函数 的单调区间；‎ ‎（Ⅱ），使不等式 成立，求的取值范围．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值 ‎【专题】53：导数的综合应用 ‎【分析】（Ⅰ），．对分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；‎ ‎（Ⅱ）由，使不等式，即．设，则问题转化为，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ），．‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，令得．‎ 由得的单调递增区间为；‎ 第81页（共81页）‎ 由得的单调递减区间为．‎ ‎（Ⅱ），使不等式，则，即．‎ 设，则问题转化为，‎ 由，令，则．‎ 当在区间 内变化时，、变化情况如下表：‎ ‎0‎ 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知，当时，函数有极大值，即最大值为．‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎11．（2015•安徽模拟）已知函数为实常数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上无极值，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）已知且，求证：．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：函数在某点取得极值的条件；：数列与不等式的综合 ‎【专题】15：综合题；16：压轴题；53：导数的综合应用 ‎【分析】（Ⅰ）求出函数定义域，当时求出，只需解不等式，即可．‎ ‎（Ⅱ）函数在区间上无极值，则或，由此即可求出 第81页（共81页）‎ 的取值范围．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上的最大值为（1），得，即，令适当变形即可证明．‎ ‎【解答】解：当时，，其定义域为，，‎ 令，并结合定义域知； 令，并结合定义域知；‎ 故的单调增区间为；单调减区间为．‎ ‎，‎ ‎（1）当即在上恒成立时，，此时在上单调递减，无极值；‎ ‎（2）当即在上恒成立时，，此时在上单调递增，无极值．‎ 综上所述，的取值范围为，，．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 在处取得最大值0．‎ 即，‎ ‎，令，则，即，‎ ‎．‎ 故．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数最值问题，考查了运用知识解决问题的能力．‎ 第81页（共81页）‎ ‎12．（2016•鹰潭校级模拟）已知函数，为常数），其图象是曲线．‎ ‎（1）当时，求函数的单调减区间；‎ ‎（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线，的斜率分别为，．问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用 ‎【分析】（1）先求原函数的导数，根据求得的区间是单调减区间，即可；‎ ‎（2）由于存在唯一的实数，使得与同时成立，则存在唯一的实数根，即存在唯一的实数根，就把问题转化为求函数最值问题；‎ ‎（3）假设存在常数，依据曲线在点处的切线与曲线交于另一点，曲线在点处的切线，得到关于的方程，有解则存在，无解则不存在．‎ ‎【解答】解：（1）当时，函数 则 令，解得，‎ 所以的单调递减区间为；‎ ‎（2）函数的导函数为由于存在唯一的实数，使得与同时成立，‎ 则即存在唯一的实数根，‎ 第81页（共81页）‎ 故存在唯一的实数根，‎ 令，则，故或，‎ 则函数在，，上是增函数，在，上是减函数，‎ 由于时，；时，；‎ 故实数的取值范围为：，，；‎ ‎（3）设点，，则在点处的切线的切线方程为，‎ 与曲线联立得到，‎ 即，‎ 整理得到，‎ 故点的横坐标为 由题意知，切线的斜率为，‎ 的斜率为，‎ 若存在常数，使得恒成立，则，‎ 即存在常数，使得，‎ 故，解得，，‎ 故时，存在常数，使得；时，不存在常数，使得．‎ ‎【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．‎ ‎13．（2016•江门模拟）已知函数，．‎ ‎ 当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数的图象在点，（2）处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，，函数在区间上总存在极值？‎ 第81页（共81页）‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值 ‎【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题；31：数形结合；32：分类讨论 ‎【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数；②解（或；③得到函数的增区间（或减区间），‎ 对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数的讨论情况；‎ ‎（2）点，（2）处的切线的倾斜角为，即切线斜率为1，即（2），可求值，代入得的解析式，由，，且在区间上总不是单调函数可知：，于是可求的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ），‎ 当时，‎ 令导数大于0，可解得，令导数小于0，可解得（舍或 故函数的单调增区间为，单调减区间是 ‎（Ⅱ）得，‎ ‎，‎ 在区间上总不是单调函数，且 ‎，‎ 由题意知：对于任意的，，恒成立，‎ 所以有：，‎ ‎．‎ ‎【点评】‎ 第81页（共81页）‎ 此题是个难题．本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．‎ ‎14．（2018•黑龙江模拟）设函数，，，且为的极值点．‎ ‎（Ⅰ）若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；‎ ‎（Ⅱ）若恰有两解，求实数的取值范围．‎ ‎【考点】51：函数的零点；：利用导数研究函数的单调性；：函数在某点取得极值的条件 ‎【专题】53：导数的综合应用 ‎【分析】Ⅰ利用为的极大值点，得到（1），然后利用导数研究的单调区间（用表示）；‎ ‎（Ⅱ）分别讨论的取值，讨论极大值和极小值之间的关系，从而确定的取值范围．‎ ‎【解答】解：，‎ 为的极值点，‎ ‎（1），‎ 且，．‎ 若为的极大值点，‎ ‎，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 的递增区间为，；递减区间为．‎ ‎①若，则在上递减，在上递增，‎ 恰有两解，则（1），即，；‎ 第81页（共81页）‎ ‎②若，则的极大值为（c），‎ ‎，‎ ‎，‎ 则，‎ ‎，从而只有一解；‎ ‎③若，则，‎ ‎，则只有一解．‎ 综上，使恰有两解的的范围为：．‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性，考查学生的计算能力，以及分类讨论思想．‎ ‎15．（2016•包头一模）已知函数为实常数）．‎ ‎（1）若，求证：函数在上是增函数；‎ ‎（2）求函数在，上的最小值及相应的值；‎ ‎（3）若存在，，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值 ‎【专题】16：压轴题；4：解题方法 ‎【分析】（1）当时故函数 在上是增函数．‎ ‎（2），当，，，．若，在，上非负，故函数在，上是增函数．‎ 若，当时，当时，，此时是减函数； 当时，，此时是增函数．‎ 所以此时有最值．若，在，上非正，所以（e）．‎ ‎（3）由题意可化简得，令 第81页（共81页）‎ ‎，利用导数判断其单调性求出最小值为（1）．‎ ‎【解答】解：（1）当时，，当，，‎ ‎（2），当，，，．‎ 若，在，上非负（仅当，时，，故函数在，上是增函数，此时（1）．‎ 若，当时，；‎ 当时，，此时是减函数；‎ ‎ 当时，，此时是增函数．‎ 故．‎ 若，在，上非正（仅当，时，，‎ 故函数在，上是减函数，此时（e）．‎ 综上可知，当时，的最小值为1，相应的值为1；当时，‎ 的最小值为，相应的值为；当时，的最小值为，‎ 相应的值为．‎ ‎（3）不等式，可化为．‎ ‎，，且等号不能同时取，所以，即，‎ 因而 令，又，‎ 当，时，，，，‎ 从而（仅当时取等号），所以在，上为增函数，‎ 故的最小值为（1），所以的取值范围是，．‎ ‎【点评】‎ 第81页（共81页）‎ 本题主要考查利用导数研究函数的性质及研究单调性与函数的最值，还考查求参数的范围，解决此类问题的关键是分离参数后转化为恒成立问题，即求新函数的最值问题，是近年高考考查的热点．‎ ‎16．（2019•新课标Ⅲ）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，记在区间，的最大值为，最小值为，求的取值范围．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的最值 ‎【专题】49：综合法；33：函数思想；53：导数的综合应用 ‎【分析】（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，对分类求解原函数的单调性；‎ ‎（2）当时，由（1）知，在上单调递减，在，上单调递增，求得在区间，的最小值为，最大值为或（1）．得到，分类求得函数值域，可得的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1），‎ 令，得或．‎ 若，则当，时，；当时，．‎ 故在，上单调递增，在上单调递减；‎ 若，在上单调递增；‎ 若，则当，，时，；当，时，．‎ 故在，上单调递增，在，上单调递减；‎ ‎（2）当时，由（1）知，在上单调递减，在，上单调递增，‎ 在区间，的最小值为，最大值为或（1）．‎ 于是，，．‎ 第81页（共81页）‎ ‎．‎ 当时，可知单调递减，的取值范围是；‎ 当时，单调递增，的取值范围是，．‎ 综上，的取值范围，．‎ ‎【点评】本题主要考查导数的运算，运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查分类讨论的数学思想方法，属难题．‎ ‎17．（2019•新课标Ⅱ）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；‎ ‎（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性 ‎【专题】11：计算题；53：导数的综合应用；51：函数的性质及应用；65：数学运算 ‎【分析】（1）讨论的单调性，求函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求零点个数，‎ ‎（2）运用曲线的切线方程定义可证明．‎ ‎【解答】解析：（1）函数．定义域为：，，；‎ ‎，且，‎ 在和上单调递增，‎ ‎①在区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，‎ ‎，，，‎ 在有且仅有一个零点，‎ ‎②在区间，区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，‎ 又（e），，（e），‎ 第81页（共81页）‎ 在上有且仅有一个零点，‎ 故在定义域内有且仅有两个零点；‎ ‎（2）是的一个零点，则有，‎ 曲线，则有；‎ 由直线的点斜式可得曲线的切线方程，‎ 曲线在点，处的切线方程为：，‎ 即：，将代入，‎ 即有：，‎ 而曲线的切线中，在点，处的切线方程为：，‎ 将代入化简，即：，‎ 故曲线在点，处的切线也是曲线的切线．‎ 故得证．‎ ‎【点评】本题考查的单调性，函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求零点个数，以及利用曲线的切线方程定义证明．‎ ‎18．（2019•浙江）已知实数，设函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．‎ 注：为自然对数的底数．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性 ‎【专题】35：转化思想；11：计算题；49：综合法；53：导数的综合应用；62：逻辑推理 ‎【分析】（1）当时，，利用导数性质能求出函数的单调区间．‎ 第81页（共81页）‎ ‎（2）由（1），得，当时，，等价于，令，则，设，，则，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当时，，，‎ ‎，‎ 函数的单调递减区间为，单调递增区间为．‎ ‎（2）由（1），得，‎ 当时，，等价于，‎ 令，则，‎ 设，，‎ 则，‎ 当，时，，‎ 则，‎ 记，，‎ 则 ‎，‎ 列表讨论：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ 第81页（共81页）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递减 ‎ 极小值（1）‎ 单调递增 ‎（1），‎ ‎．‎ 当时，，‎ 令，，，‎ 则，‎ 故在，上单调递增，，‎ 由得（1），‎ ‎，，‎ 由知对任意，，，，，‎ 即对任意，，均有，‎ 综上所述，所求的的取值范围是，．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力．‎ ‎19．（2019•江苏）设函数，，，，为的导函数．‎ ‎（1）若，（4），求的值；‎ ‎（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；‎ ‎（3）若，，，且的极大值为，求证：．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的极值 ‎【专题】59：不等式的解法及应用；32：分类讨论；34：方程思想；53：导数的综合应用 ‎【分析】（1）由，可得，根据（4），可得，解得 第81页（共81页）‎ ‎．‎ ‎（2），，设．令，解得，或．．令，解得，或．根据和的零点均在集合，1，中，通过分类讨论可得：只有，，可得，可得：．利用导数研究其单调性可得时，函数取得极小值．‎ ‎（3），，，．．△．令．解得：，．，可得时，取得极大值为，，令，可得：．，利用导数研究函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1），，‎ ‎（4），，‎ ‎，解得．‎ ‎（2），，设．‎ 令，解得，或．‎ ‎．‎ 令，解得，或．‎ 和的零点均在集合，1，中，‎ 若：，，则，舍去．‎ ‎，，则，舍去．‎ 第81页（共81页）‎ ‎，，则，舍去．．‎ ‎，，则，舍去．‎ ‎，，则，舍去．‎ ‎，，则，．‎ 因此，，，‎ 可得：．‎ ‎．‎ 可得时，函数取得极小值，（1）．‎ ‎（3）证明：，，，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎△．‎ 令．‎ 解得：，．，‎ ‎，，‎ 可得时，取得极大值为，‎ ‎，令，‎ 可得：．‎ ‎，‎ ‎．‎ 令，‎ ‎，‎ 第81页（共81页）‎ 函数在上单调递减，．‎ ‎．．‎ 函数在上单调递增，‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎20．（2019•北京）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当，时，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，记在区间，上的最大值为（a）．当（a）最小时，求的值．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的最值；：利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【专题】31：数形结合；33：函数思想；53：导数的综合应用；15：综合题；：转化法 ‎【分析】（Ⅰ）求导数，由求得切点，即可得点斜式方程；‎ ‎（Ⅱ）把所证不等式转化为，再令，利用导数研究在，的单调性和极值点即可得证；‎ ‎（Ⅲ）先把化为，再利用（Ⅱ）的结论，引进函数，结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴与的关系分析即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ），‎ 由得，‎ 得．‎ 又，，‎ 和，‎ 第81页（共81页）‎ 即和；‎ ‎（Ⅱ）证明：欲证，‎ 只需证，‎ 令，，，‎ 则，‎ 可知在，为正，在为负，在为正，‎ 在，递增，在，递减，在递增，‎ 又，，，（4），‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，‎ 在，上，，‎ 令，，‎ 则问题转化为当，时，的最大值（a）的问题了，‎ ‎①当时，（a），‎ 第81页（共81页）‎ 此时，当时，（a）取得最小值3；‎ ‎②当时，（a），‎ ‎，（a），‎ 也是时，（a）最小为3．‎ 综上，当（a）取最小值时的值为．‎ ‎【点评】此题考查了导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难度较大．‎ ‎21．（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．证明：‎ ‎（1）在区间存在唯一极大值点；‎ ‎（2）有且仅有2个零点．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的极值 ‎【专题】49：综合法；53：导数的综合应用；33：函数思想 ‎【分析】（1）的定义域为，求出原函数的导函数，进一步求导，得到在上为减函数，结合，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一得零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；‎ ‎（2）由（1）知，当时，，单调递减；当时，，单调递增；由于在，上单调递减，且，，可得函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递增；当时，单调递减．当，时，单调递减，再由，．然后列，与的变化情况表得答案．‎ ‎【解答】证明：（1）的定义域为，‎ ‎，，‎ 令，则在恒成立，‎ 第81页（共81页）‎ 在上为减函数，‎ 又，，由零点存在定理可知，‎ 函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，‎ 在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；‎ ‎（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；‎ 当时，单调递增，，单调递增；‎ 由于在，上单调递减，且，，‎ 由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，‎ 当，时，单调递减，，单调递增；‎ 当时，单调递减，，单调递减．‎ 当，时，，，于是，单调递减，‎ 其中，‎ ‎．‎ 于是可得下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎0‎ ‎ ‎ 单调递减 ‎ 0‎ 单调递增 ‎ 大于0‎ 单调递减 ‎ 大于0‎ 单调递减 ‎ 小于0‎ 结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，‎ 由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，‎ 当，时，，因此函数在，上无零点．‎ 第81页（共81页）‎ 综上，有且仅有2个零点．‎ ‎【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．‎ ‎22．已知函数，，其中．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若曲线在点，处的切线与曲线在点，处的切线平行，证明；‎ ‎（Ⅲ）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【专题】15：综合题；33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用 ‎【分析】（Ⅰ）把的解析式代入函数，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）分别求出函数在点，处与在点，处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；‎ ‎（Ⅲ）分别求出曲线在点处的切线与曲线在点，处的切线方程，把问题转化为证明当时，存在，使得与重合，进一步转化为证明当时，方程存在实数解．然后利用导数证明即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由已知，，有，‎ 令，解得．‎ 由，可知当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ 第81页（共81页）‎ ‎ ‎ ‎ 极小值 函数的单调减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（Ⅱ）证明：由，可得曲线在点，处的切线的斜率为．‎ 由，可得曲线在点，处的切线的斜率为．‎ 这两条切线平行，故有，即，‎ 两边取以为底数的对数，得，‎ ‎；‎ ‎（Ⅲ）证明：曲线在点处的切线，‎ 曲线在点，处的切线．‎ 要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，‎ 只需证明当时，存在，使得与重合，‎ 即只需证明当时，方程组 由①得，代入②得：‎ ‎，③‎ 因此，只需证明当时，关于 的方程③存在实数解．‎ 设函数，既要证明当时，函数存在零点．‎ ‎，可知时，；时，单调递减，‎ 又，，‎ 故存在唯一的，且，使得，即．‎ 由此可得，在上单调递增，在，上单调递减，‎ 第81页（共81页）‎ 在处取得极大值．‎ ‎，故．‎ ‎．‎ 下面证明存在实数，使得，‎ 由（Ⅰ）可得，当时，有 ‎．‎ 存在实数，使得．‎ 因此，当时，存在，使得．‎ 当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．‎ ‎【点评】本题考查导数的运算，导数的几何意义，运用导数研究指数函数与对数公式的性质等基础知识和方法，考查函数与方程思想，化归思想，考查抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，是难题．‎ ‎23．（2018•新课标Ⅲ）已知函数．‎ ‎（1）若，证明：当时，；当时，；‎ ‎（2）若是的极大值点，求．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的极值 ‎【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；35：转化思想；48：分析法 ‎【分析】（1）对函数两次求导数，分别判断和的单调性，结合即可得出结论；‎ ‎（2）令为的分子，令计算，讨论的范围，得出的单调性，从而得出的值．‎ ‎【解答】（1）证明：当时，，．‎ ‎，，‎ 可得时，，时，‎ 第81页（共81页）‎ 在递减，在递增，‎ ‎，‎ 在上单调递增，又．‎ 当时，；当时，．‎ ‎（2）解：由，得 ‎，‎ 令，‎ ‎．‎ 当，时，，单调递增，‎ ‎，即，‎ 在上单调递增，故不是的极大值点，不符合题意．‎ 当时，，‎ 显然单调递减，‎ ‎①令，解得．‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，‎ 单调递减，又，‎ 当时，，即，‎ 当时，，即，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 是的极大值点，符合题意；‎ 第81页（共81页）‎ ‎②若，则，，‎ 在上有唯一一个零点，设为，‎ 当时，，单调递增，‎ ‎，即，‎ 在上单调递增，不符合题意；‎ ‎③若，则，，‎ 在上有唯一一个零点，设为，‎ 当时，，单调递减，‎ ‎，单调递增，‎ ‎，即，‎ 在，上单调递减，不符合题意．‎ 综上，．‎ ‎【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，属于难题．‎ ‎24．（2018•新课标Ⅰ）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，，证明：．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究函数的单调性 ‎【专题】：转化法；32：分类讨论；53：导数的综合应用 ‎【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．‎ ‎（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）函数的定义域为，‎ 函数的导数，‎ 第81页（共81页）‎ 设，‎ 当时，恒成立，即恒成立，此时函数在上是减函数，‎ 当时，判别式△，‎ ‎①当时，△，即，即恒成立，此时函数在上是减函数，‎ ‎②当时，，，的变化如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 0‎ ‎ ‎ ‎ 递减 ‎ 递增 递减 综上当时，在上是减函数，‎ 当时，在，和，上是减函数，‎ 则，上是增函数．‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ 则，‎ 则，‎ 则问题转为证明即可，‎ 即证明，‎ 则，‎ 即，‎ 即证在上恒成立，‎ 第81页（共81页）‎ 设，，其中（1），‎ 求导得，‎ 则在上单调递减，‎ ‎（1），即，‎ 故，‎ 则成立．‎ ‎（2）另解：注意到，‎ 即，‎ 由韦达定理得，，得，，‎ 可得，即，‎ 要证，只要证，‎ 即证，，‎ 构造函数，，，‎ 在上单调递减，‎ ‎（1），‎ 成立，即，成立．‎ 即成立．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．‎ ‎25．（2018•新课标Ⅱ）已知函数．‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ ‎（2）若在只有一个零点，求．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的极值 第81页（共81页）‎ ‎【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用 ‎【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，‎ ‎（2）方法一、分离参数可得在只有一个根，即函数与的图象在只有一个交点．结合图象即可求得．‎ 方法二、：①当时，，在没有零点．．‎ ‎②当时，设函数．在只有一个零点在只有一个零点．‎ 利用，可得在递减，在递增，结合函数图象即可求得．‎ ‎【解答】证明：（1）当时，函数．‎ 则，‎ 令，则，‎ 令，得．‎ 当时，，当时，，‎ ‎，‎ 在，单调递增，，‎ 解：（2）方法一、，在只有一个零点方程在只有一个根，‎ 在只有一个根，‎ 即函数与的图象在只有一个交点．‎ ‎，‎ 当时，，当时，，‎ 在递减，在递增，‎ 当时，，当时，，‎ 第81页（共81页）‎ 在只有一个零点时，（2）．‎ 方法二：①当时，，在没有零点．．‎ ‎②当时，设函数．在只有一个零点在只有一个零点．‎ ‎ ，当时，，当时，，‎ 在递减，在递增，，．‎ ‎ 当（2）时，即，由于，当时，，可得．在有2个零点 ‎ 当（2）时，即，在没有零点，‎ ‎ 当（2）时，即，在只有一个零点，‎ 综上，在只有一个零点时，．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．‎ ‎26．（2017•天津）设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，，，函数，求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，，且，，，满足．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用；49：综合法；32：分类讨论；53：导数的综合应用 ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．‎ 第81页（共81页）‎ ‎（Ⅱ）由，推出，‎ 令函数，求出导函数利用（Ⅰ）知，推出．‎ ‎（Ⅲ）对于任意的正整数，，且，令，函数．‎ 由（Ⅱ）知，当，时，当，时，通过的零点．转化推出．推出．然后推出结果．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由，可得，‎ 进而可得．令，解得，或．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎，‎ 所以，的单调递增区间是，，，单调递减区间是．‎ ‎（Ⅱ）证明：由，得，‎ ‎．‎ 令函数，则．‎ 由（Ⅰ）知，当，时，，‎ 故当，时，，单调递减；‎ 当，时，，单调递增．‎ 因此，当，，时，，可得即，‎ 第81页（共81页）‎ 令函数，则．‎ 由（Ⅰ）知，在，上单调递增，‎ 故当，时，，单调递增；‎ 当，时，，单调递减．‎ 因此，当，，时，，‎ 可得得，即，．‎ 所以，．‎ ‎（Ⅲ）对于任意的正整数，，且，‎ 令，函数．‎ 由（Ⅱ）知，当，时，在区间内有零点；‎ 当，时，在区间，内有零点．‎ 所以在内至少有一个零点，不妨设为，则．‎ 由（Ⅰ）知在，上单调递增，故（1）（2），‎ 于是．‎ 因为当，时，，故在，上单调递增，‎ 所以在区间，上除外没有其他的零点，而，故．‎ 又因为，，均为整数，所以是正整数，‎ 从而．‎ 所以．所以，只要取（2），就有．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．‎ ‎27．（2017•山东）已知函数，，其中 第81页（共81页）‎ 是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【专题】34：方程思想；35：转化思想；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值 ‎【分析】．，可得即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．‎ ‎，可得．令，则，可得函数在上单调递增．‎ 由，可得时，；时，．‎ 对分类讨论：时，时，当时，时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．‎ ‎【解答】解：．，．‎ 曲线在点，处的切线方程为：．‎ 化为：．‎ ‎．‎ 令，则，函数在上单调递增．‎ ‎，时，；时，．‎ ‎（1）时，，时，，函数在单调递增；‎ 时，，函数在单调递减．‎ 第81页（共81页）‎ 时，函数取得极小值，．‎ ‎（2）时，令．‎ 解得，．‎ ‎①时，时，，，函数单调递增；‎ 时，，，函数单调递减；‎ 时，，，函数单调递增．‎ 当时，函数取得极小值，．‎ 当时，函数取得极大值，．‎ ‎②当时，，时，，函数在上单调递增．‎ ‎③时，，时，，，函数单调递增；‎ 时，，，函数单调递减；‎ 时，，，函数单调递增．‎ 当时，函数取得极大值，．‎ 当时，函数取得极小值，．‎ 综上所述：时，函数在单调递增；时，函数在单调递减．‎ 时，函数取得极小值，．‎ 时，函数在，是单调递增；函数在上单调递减．当时，函数取得极小值，．当时，函数取得极大值，．‎ 当时，，函数在上单调递增．‎ 时，函数在，上单调递增；函数在上单调递减．当 第81页（共81页）‎ 时，函数取得极大值，．当时，函数取得极小值，．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法、不等式的解法、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎28．（2017•新课标Ⅱ）已知函数，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的极值 ‎【专题】49：综合法；11：计算题；35：转化思想；53：导数的综合应用 ‎【分析】（1）通过分析可知等价于，进而利用可得，从而可得结论；‎ ‎（2）通过（1）可知，记，解不等式可知，从而可知存在两根，，利用必存在唯一极大值点及可知，另一方面可知．‎ ‎【解答】解：（1）因为，‎ 则等价于，求导可知．‎ 则当时，即在上单调递减，‎ 所以当时，（1），矛盾，故．‎ 因为当时、当时，‎ 所以，‎ 又因为（1），‎ 所以，解得；‎ 另解：因为（1），所以等价于在时的最小值为（1），‎ 所以等价于在处是极小值，‎ 第81页（共81页）‎ 所以解得；‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 令，可得，记，则，‎ 令，解得，‎ 所以在区间上单调递减，在，上单调递增，‎ 所以，又，所以在上存在唯一零点，‎ 所以有解，即存在两根，，‎ 且不妨设在上为正、在，上为负、在，上为正，‎ 所以必存在唯一极大值点，且，‎ 所以，‎ 由可知；‎ 由可知，‎ 所以在上单调递增，在，上单调递减，‎ 所以；‎ 综上所述，存在唯一的极大值点，且．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．‎ ‎29．（2017•新课标Ⅰ）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围．‎ ‎【考点】52：函数零点的判定定理；：利用导数研究函数的单调性 ‎【专题】：转化法；53：导数的综合应用；32：分类讨论；35：转化思想 ‎【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性；‎ 第81页（共81页）‎ ‎（2）由（1）可知：当时才有两个零点，根据函数的单调性求得最小值，由，（a），，求导，由（a），（1），即可求得的取值范围．‎ ‎（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性；‎ ‎（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由，求导，‎ 当时，，‎ 当，单调递减，‎ 当时，，‎ 令，解得：，‎ 当，解得：，‎ 当，解得：，‎ 时，单调递减，，单调递增；‎ 当时，，恒成立，‎ 当，单调递减，‎ 综上可知：当时，在单调减函数，‎ 当时，在是减函数，在，是增函数；‎ ‎（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，‎ 当时，，‎ 当时，，，‎ 当时，，‎ 当，，且远远大于和，‎ 第81页（共81页）‎ 当，，‎ 函数有两个零点，的最小值小于0即可，‎ 由在是减函数，在，是增函数，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 设，则，，‎ 求导，由（1），‎ ‎，解得：，‎ 的取值范围．‎ 方法二：（1）由，求导，‎ 当时，，‎ 当，单调递减，‎ 当时，，‎ 令，解得：，‎ 当，解得：，‎ 当，解得：，‎ 时，单调递减，单调递增；‎ 当时，，恒成立，‎ 当，单调递减，‎ 综上可知：当时，在单调减函数，‎ 当时，在是减函数，在是增函数；‎ ‎（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，‎ 第81页（共81页）‎ ‎②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，‎ 当，时，，故只有一个零点，‎ 当时，由，即，‎ 故没有零点，‎ 当时，，，‎ 由，‎ 故在有一个零点，‎ 假设存在正整数，满足，则，‎ 由，‎ 因此在有一个零点．‎ 的取值范围．‎ ‎【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中档题．‎ ‎30．（2017•江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．‎ ‎（Ⅰ）求关于的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求实数的取值范围．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的极值 ‎【专题】35：转化思想；11：计算题；53：导数的综合应用；49：综合法 ‎【分析】（Ⅰ）通过对求导可知，进而再求导可知，通过令进而可知的极小值点为，从而，整理可知，结合有极值可知有两个不等的实根，进而可知．‎ 第81页（共81页）‎ ‎（Ⅱ）通过（1）构造函数（a），结合可知（a），从而可得结论；‎ ‎（Ⅲ）通过（1）可知的极小值为，利用韦达定理及完全平方关系可知的两个极值之和为，进而问题转化为解不等式，因式分解即得结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：因为，‎ 所以，，‎ 令，解得．‎ 由于当时，单调递增；当时，单调递减；‎ 所以的极小值点为，‎ 由于导函数的极值点是原函数的零点，‎ 所以，即，‎ 所以．‎ 因为有极值，‎ 所以有实根，‎ 所以，即，解得，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）证明：由（1）可知（a），‎ 由于，所以（a），即；‎ ‎（Ⅲ）解：由（1）可知的极小值为，‎ 设，是的两个极值点，则，，‎ 所以 第81页（共81页）‎ ‎，‎ 又因为，这两个函数的所有极值之和不小于，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由于时，‎ 所以，解得，‎ 所以的取值范围是，．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．‎ ‎31．（2017•新课标Ⅲ）已知函数．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的最值；：利用导数研究函数的单调性 ‎【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；53：导数的综合应用 ‎【分析】（1）通过对函数求导，分、两种情况考虑导函数与0的大小关系可得结论；‎ ‎（2）通过（1）可知，进而取特殊值可知，．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知，另一方面可知，从而当时，，，比较可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）因为函数，，‎ 第81页（共81页）‎ 所以，且（1）．‎ 所以当时恒成立，此时在上单调递增，这与矛盾；‎ 当时令，解得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，即（a），‎ 若，则（a）（1），从而与矛盾；‎ 所以；‎ ‎（2）由（1）可知当时，即，‎ 所以当且仅当时取等号，‎ 所以，．‎ ‎，‎ 即；‎ 因为为整数，且对于任意正整数，成立，‎ 当时，不等式左边大于2，‎ 所以的最小值为3．‎ ‎【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．‎ ‎32．（2016•上海）已知，函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围．‎ ‎（3）设，若对任意，，函数在区间，上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的最值；：函数恒成立问题 ‎【专题】：换元法；35：转化思想；51：函数的性质及应用 第81页（共81页）‎ ‎【分析】（1）当时，解导数不等式即可．‎ ‎（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可．‎ ‎（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）当时，，‎ 由；得，‎ 即，则，则，即或，‎ 即不等式的解集为或．‎ ‎（2）由得．‎ 即，‎ 即，①‎ 则，‎ 即，②，‎ 当时，方程②的解为，代入①，成立 当时，方程②的解为，代入①，成立 当且时，方程②的解为或，‎ 若是方程①的解，则，即，‎ 若是方程①的解，则，即，‎ 则要使方程①有且仅有一个解，则．‎ 综上，若方程的解集中恰好有一个元素，‎ 则的取值范围是，或或．‎ ‎（3）函数在区间，上单调递减，‎ 由题意得，‎ 第81页（共81页）‎ 即，‎ 即，即 设，则，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 在上递减，‎ ‎，‎ ‎，‎ 实数的取值范围是．‎ ‎【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．‎ ‎33．（2016•新课标Ⅲ）设函数，其中，记的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求；‎ ‎（Ⅲ）证明：．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性 ‎【专题】32：分类讨论；35：转化思想；：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值 ‎【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求；‎ ‎（Ⅱ）讨论的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；‎ 第81页（共81页）‎ ‎（Ⅲ）由，结合绝对值不等式的性质即可证明：．‎ ‎【解答】解：．‎ 当时，，因此．‎ 当时，，‎ 令，‎ 则是在，上的最大值，，（1），‎ 且当时，取得极小值，极小值为，（二次函数在对称轴处取得极值）‎ 令，得（舍或．‎ ‎①当时，在内无极值点，，（1），（1），‎ ‎，‎ ‎②当时，由（1），得（1），‎ 又，‎ ‎，‎ 综上，．‎ 证明：由可得：，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 第81页（共81页）‎ ‎，‎ 当时，，‎ 综上：．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．‎ ‎34．（2016•天津）设函数，，其中，．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若存在极值点，且，其中，求证：；‎ ‎（3）设，函数，求证：在区间，上的最大值不小于．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值 ‎【专题】35：转化思想；：分类法；52：导数的概念及应用；53：导数的综合应用 ‎【分析】（1）求出的导数，讨论时，，在上递增；当时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；‎ ‎（2），可得，分别计算，，化简整理即可得证；‎ ‎（3）要证在区间，上的最大值不小于，即证在，上存在，，使得．讨论当时，当时，运用单调性和极值，化简整理即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）函数的导数为 ‎，‎ 当时，，在上递增；‎ 当时，当或时，，‎ 当，，‎ 可得的增区间为，，，减区间为，；‎ ‎（2）证明：，可得，‎ 第81页（共81页）‎ 由，‎ ‎，‎ 即为，‎ 即有，即为；‎ ‎（3）证明：要证在区间，上的最大值不小于，‎ 由于，即在，上的最大值，可以是的最大值或最小值的绝对值，‎ 只需证在，上存在，，使得．‎ 当时，在，递减，（2），，‎ ‎（2），递减，成立；‎ 当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2），，‎ ‎（2），‎ 若时，（2）成立；‎ 若时，成立．‎ 综上可得，在区间，上的最大值不小于．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法的证明，以及化简整理的运算能力，属于难题．‎ ‎35．（2016•山东）已知，．‎ 讨论的单调性；‎ 第81页（共81页）‎ 当时，证明对于任意的，成立．‎ ‎【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的最值 ‎【专题】15：综合题；33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用 ‎【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）构造函数，令，．则，利用导数分别求与的最小值得到恒成立．由此可得对于任意的，成立．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由，‎ 得 ‎．‎ 若，则恒成立，‎ 当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数；‎ 当，若，当和，时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数；‎ 若，恒成立，在上为增函数；‎ 若，当和时，，为增函数，‎ 当，时，，为减函数；‎ ‎（Ⅱ）解：，‎ 令．‎ 令，．‎ 则，‎ 第81页（共81页）‎ 由，可得（1），当且仅当时取等号；‎ 又，‎ 设，则在，上单调递减，‎ 且（1），（2），‎ 在，上存在，使得 时，，时，，‎ 函数在上单调递增；在，上单调递减，‎ 由于（1），（2），因此（2），当且仅当取等号，‎ ‎（1）（2），‎ 恒成立．‎ 即对于任意的，成立．‎ ‎【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．‎ 第81页（共81页）‎ 考点卡片 ‎1．函数恒成立问题 ‎【知识点的认识】‎ ‎ 恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单 ‎【解题方法点拨】‎ ‎ 一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．‎ 例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．‎ ‎ 解：由题意可知：a≤恒成立 ‎ 即a≤x++2‎ ‎⇒a≤2+2‎ ‎【命题方向】‎ ‎ 恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．‎ ‎2．函数的零点 ‎【函数的零点】‎ ‎ 一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．‎ ‎【解法﹣﹣二分法】‎ ‎①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；‎ ‎④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）‎ 第81页（共81页）‎ ‎【总结】‎ ‎ 零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．‎ ‎3．函数零点的判定定理 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、函数零点存在性定理：‎ ‎ 一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．‎ 特别提醒：‎ ‎（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．‎ ‎（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．‎ ‎（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．‎ ‎2、函数零点个数的判断方法：‎ ‎（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．‎ 特别提醒：‎ ‎①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；‎ ‎②函数的零点是实数而不是数轴上的点．‎ ‎（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．‎ ‎4．利用导数研究函数的单调性 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、导数和函数的单调性的关系：‎ 第81页（共81页）‎ ‎（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；‎ ‎（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．‎ ‎2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：‎ ‎（1）确定f（x）的定义域；‎ ‎（2）计算导数f′（x）；‎ ‎（3）求出f′（x）＝0的根；‎ ‎（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．‎ ‎【典型例题分析】‎ 题型一：导数和函数单调性的关系 典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）‎ A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）‎ 解：f（x）＞2x+4，‎ 即f（x）﹣2x﹣4＞0，‎ 设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，‎ 则g′（x）＝f′（x）﹣2，‎ ‎∵对任意x∈R，f′（x）＞2，‎ ‎∴对任意x∈R，g′（x）＞0，‎ 即函数g（x）单调递增，‎ ‎∵f（﹣1）＝2，‎ ‎∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，‎ 则由g（x）＞g（﹣1）＝0得 x＞﹣1，‎ 即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），‎ 故选：B 第81页（共81页）‎ 题型二：导数和函数单调性的综合应用 典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ 解：（Ⅰ）（2分）‎ 当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；‎ 当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；‎ 当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）‎ ‎（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3‎ ‎∴，‎ ‎∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）‎ ‎∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2‎ ‎∴‎ 由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，‎ 所以有：，∴（10分）‎ ‎（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，‎ 由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，‎ ‎∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）‎ ‎∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，‎ ‎∴‎ 第81页（共81页）‎ ‎∴‎ ‎【解题方法点拨】‎ 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．‎ ‎5．函数在某点取得极值的条件 ‎【知识点的知识】‎ ‎ 极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．‎ ‎【典型例题分析】‎ ‎ 例1：求函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的极值点的个数．‎ ‎ 解：∵函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9‎ ‎∴f'（x）＝15x4﹣15x2‎ 令f'（x）＝0‎ 则x＝﹣1，x＝0或x＝1‎ 又∵当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0；‎ 当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＜0；‎ 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；‎ 当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0‎ 故函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的极值点的个数有2个．‎ ‎ 这个例题中首先判断的是其是否连续，然后在求导函数为0的点有几个，即它的极值点有几个．‎ ‎ 例2：已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x﹣x3的极大值点的坐标为（b，c），则ad等于　　．‎ 第81页（共81页）‎ ‎ 解：已知实数a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，‎ ‎∵y′＝3﹣3x2＝0，则x＝±1，‎ 经检验，x＝1是极大值点．极大值为2．‎ ‎∴b＝1，c＝2‎ 由等比数列的性质可得：ad＝bc＝2．‎ ‎ 这个有两个极值点，但要求的是极大值，这个时候我们可以联想到波峰，即在这个点的左边必须要大于0，要是单调递增的，右边必须小于0，既是单调递减的，这样这个点才处于波峰的位置，这个时候就是极大值，这里的验证其实就是做这个工作．‎ ‎【考点动向】‎ ‎ 这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．‎ ‎6．利用导数研究函数的极值 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、极值的定义：‎ ‎（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点； ‎ ‎（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点． ‎ ‎2、极值的性质：‎ ‎（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； ‎ ‎（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； ‎ ‎（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； ‎ ‎（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．‎ 第81页（共81页）‎ ‎3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：‎ 若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值． ‎ ‎4、求函数f（x）的极值的步骤：‎ ‎（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； ‎ ‎（2）求方程f′（x）＝0的根； ‎ ‎（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．‎ ‎【解题方法点拨】‎ 在理解极值概念时要注意以下几点：‎ ‎（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．‎ ‎（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． ‎ ‎（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．‎ ‎（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有 限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，‎ ‎（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．‎ 第81页（共81页）‎ ‎7．利用导数研究函数的最值 ‎【利用导数求函数的最大值与最小值】‎ ‎1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．‎ 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ 说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；‎ ‎（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．‎ ‎（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．‎ ‎（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 ‎ ‎2、用导数求函数的最值步骤：‎ 由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．‎ 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：‎ ‎（1）求f（x）在（a，b）内的极值；‎ ‎（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．‎ ‎【解题方法点拨】‎ 在理解极值概念时要注意以下几点：‎ ‎（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．‎ ‎（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． ‎ 第81页（共81页）‎ ‎（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．‎ ‎（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，‎ ‎（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．‎ ‎8．利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【考点描述】‎ ‎ 利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．‎ ‎【实例解析】‎ ‎ 例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．‎ ‎ 解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1‎ 又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）‎ ‎∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），‎ 即y＝x﹣1．‎ ‎ 我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．‎ ‎9．数列与不等式的综合 ‎【知识点的知识】‎ 证明与数列求和有关的不等式基本方法：‎ ‎（1）直接将数列求和后放缩；‎ ‎（2）先将通项放缩后求和；‎ ‎（3）先将通项放缩后求和再放缩；‎ 第81页（共81页）‎ ‎（4）尝试用数学归纳法证明．‎ 常用的放缩方法有：‎ ‎，，，‎ ‎＝[]‎ ‎﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），‎ ‎＜＝（）（n≥2），‎ ‎，‎ ‎2（）＝＜＝＜＝2（）．‎ ‎…+≥…+＝＝＜．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎ 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：‎ ‎（1）添加或舍去一些项，如：＞|a|；＞n；‎ ‎（2）将分子或分母放大（或缩小）；‎ ‎（3）利用基本不等式；＜；‎ ‎（4）二项式放缩；‎ ‎（5）利用常用结论；‎ ‎（6）利用函数单调性．‎ ‎（7）常见模型：‎ ‎①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．‎ ‎【典型例题分析】‎ 题型一：等比模型 第81页（共81页）‎ 典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足＝n+1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：对于n≥2，．‎ 解答：（Ⅰ）由①，‎ 当n≥2时，得②，‎ ‎①﹣②得．‎ ‎∴． ‎ 又，得a1＝7不适合上式．‎ 综上得；‎ ‎（Ⅱ）证明：当n≥2时，．‎ ‎∴＝．‎ ‎∴当n≥2时，．‎ 题型二：裂项相消模型 典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．‎ 分析：（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．‎ 第81页（共81页）‎ ‎（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．‎ 解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an+an2①成立 ‎∴（n≥2）②‎ ‎①﹣②得2an＝an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）‎ ‎∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列 又n＝1时，2S1＝a1+a12，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）‎ ‎（2）解：由（1）可知∵‎ ‎∴‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎（1）放缩的方向要一致．‎ ‎（2）放与缩要适度．‎ ‎（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．‎ ‎（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2020/4/1 8:26:02；用户：██；邮箱：841911643@qq.com；学号：13340827‎ 第81页（共81页）‎