【数学】2019届一轮复习北师大版 三角函数的图象与性质 学案

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第22练　三角函数的图象与性质 ‎[明考情]‎ 三角函数的图象和性质是高考的热点，在解答题中和解三角形综合考查或单独命题，难度一般为中低档.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.三角函数的最值问题.‎ ‎2.三角函数的图象及应用.‎ ‎3.三角函数图象与性质的综合应用.‎ 考点一　三角函数的最值问题 方法技巧　求解三角函数最值的常用方法 ‎(1)有界性法：将y＝asinx＋bcosx＋c化为y＝sin (x＋φ)＋c.然后利用正弦函数的有界性求解.‎ ‎(2)换元法：对于y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c)型的函数最值，可设t＝sinx(或t＝sinx±cosx).‎ ‎(3)利用数形结合或单调性.‎ ‎1.(2017·东胜区月考)已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a，b的值；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值及相应的x的值.‎ 解　(1)∵当x∈时，≤2x＋≤，‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ 又∵a＞0，－5≤f(x)≤1，‎ ‎∴解得 ‎(2)由a＝2，b＝－5知，f(x)＝－4sin－1，‎ ‎∴当x∈时，≤2x＋≤，‎ 令2x＋＝，得当x＝时，f(x)取得最小值－5；‎ 令2x＋＝，得当x＝0时，f(x)取得最大值－3.‎ ‎2.已知函数f(x)＝sinsinx－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值；‎ ‎(2)讨论f(x)在上的单调性.‎ 解　(1)f(x)＝sinsinx－cos2x ‎＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－，‎ 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.‎ ‎(2)当x∈时，0≤2x－≤π，‎ 从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；‎ 当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减.‎ 综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎3.已知函数f(x)＝4cosωxsin(ω＞0)的最小正周期是π.‎ ‎(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值.‎ 解　(1)函数f(x)＝4cosωxsin＝4cosωx ‎＝2sinωxcosωx－2cos2ωx＋1－1＝sin2ωx－cos2ωx－1＝2sin－1，‎ 且f(x)的最小正周期是＝π，所以ω＝1.‎ 从而f(x)＝2sin－1；‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈ ，‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈ ，‎ 所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为和.‎ ‎(2)当x∈时，2x∈，‎ 所以2x－∈，‎ ‎2sin∈，‎ 所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1；当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1；‎ 所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－1.‎ ‎4.是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间上的最大值是1？若存在，则求出对应的a的值；若不存在，请说明理由.‎ 解　y＝－2＋＋a－.‎ 当0≤x≤时，0≤cosx≤1，令t＝cosx，则0≤t≤1，‎ y＝－2＋＋a－，0≤t≤1.‎ ‎①当0≤≤1，即0≤a≤2时，则当t＝，即cosx＝时，‎ ymax＝＋a－＝1，‎ 解得a＝或a＝－4(舍去)，故a＝；‎ ‎②当＜0，即a＜0时，则当t＝0，即cosx＝0时，ymax＝a－＝1，‎ 解得a＝，由于a＜0，故这种情况不存在满足条件的a值；‎ ‎③当>1，即a>2时，则当t＝1，即cosx＝1时，ymax＝a＋a－＝1，‎ 解得a＝，由于＜2，故这种情况下不存在满足条件的a值.‎ 综上可知，存在a＝符合题意.‎ 考点二　三角函数的图象及应用 要点重组　三角函数图象的对称问题 ‎(1)y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝(k∈ )，对称中心为(k∈ ).‎ ‎(2)y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝(k∈ )，对称中心为(k∈ ).‎ ‎(3)y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为(k∈ ).‎ 方法技巧　(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).‎ ‎(2)五点法：确定φ值时，往往寻找“五点法”中的某一个点作为突破口.‎ ‎5.(2017·长安区校级月考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)当x∈时，求函数y＝f－f的最值.‎ 解　(1)由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象知，T＝－＝，‎ ‎∴T＝2π，∴ω＝＝1.‎ 又f＝Asin＝A，且0＜φ＜，‎ ‎∴φ＝；‎ ‎∴f(0)＝Asin＝2，‎ ‎∴A＝4，‎ ‎∴f(x)＝4sin.‎ ‎(2)函数y＝f－f ‎＝4sin－4sin ‎＝4sin－4sin ‎＝4×sinx＋4×cosx－4cosx ‎＝2sinx－2cosx＝4sin，‎ 当x∈时，x－∈，‎ ‎∴当x－＝－，即x＝－时，函数y取得最小值－4；‎ 当x－＝－，即x＝时，函数y取得最大值－2.‎ ‎6.已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin－cos2x＋.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和其图象的对称轴方程；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值.‎ 解　(1)依题意，得f(x)＝(－sinx)(－cosx)－cos2x＋＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－(cos2x＋1)＋＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ 令2x－＝kπ＋(k∈ )，得x＝＋(k∈ )，‎ 故所求对称轴方程为x＝＋(k∈ ).‎ ‎(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，‎ 由函数图象可知－≤sin≤1，‎ 即0≤sin＋≤.‎ 于是f(x)的最小值为0，最大值为.‎ ‎7.设函数f(x)＝sinx＋sin.‎ ‎(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值时的x的集合；‎ ‎(2)说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变化得到(不用画图).‎ 解　(1)因为f(x)＝sinx＋sinxcos＋cosxsin＝sinx＋sinx＋cosx＝sinx＋cosx，‎ 所以由辅助角公式，得f(x)＝sin.‎ 当sin＝－1时，f(x)min＝－，此时x＋＝＋2kπ(k∈ )，所以x＝＋2kπ(k∈ ).‎ 所以f(x)的最小值为－，‎ 此时x的集合为.‎ ‎(2)将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到y＝sinx的图象；再将y＝sinx的图象向左平移个单位长度，得到f(x)＝sin的图象.‎ ‎8.某同 用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.‎ 解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝5sin，‎ 得g(x)＝5sin.‎ 因为函数y＝sinx的图象的对称中心为(kπ，0)，k∈ .‎ 令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈ .‎ 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，‎ 令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈ ，‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ 考点三　三角函数图象与性质的综合应用 方法技巧　求解三角函数问题的两个思想 ‎(1)整体思想：对于y＝Asin(ωx＋φ)的性质，可将ωx＋φ视为一个整体，设t＝ωx＋φ，解y＝Asint，通过研究复合函数的性质达到求解目标.‎ ‎(2)数形结合思想：结合函数的图象研究三角函数性质.‎ ‎9.(2017·山东)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值.‎ 解　(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx＝sinωx－cosωx ‎＝＝sin.‎ 由题设知，f＝0，‎ 所以－＝kπ，k∈ ，‎ 故ω＝6k＋2，k∈ .‎ 又0＜ω＜3，‎ 所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，‎ 所以x－∈，‎ 当x－＝－，‎ 即x＝－时，g(x)取得最小值－.‎ ‎10.已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间.‎ 解　(1)由题意知，f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.‎ 因为y＝f(x)的图象过点和点，‎ 所以 即解得 ‎(2)由(1)知，f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin.‎ 由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.‎ 设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，‎ 由题意知，x＋1＝1，所以x0＝0，‎ 即y＝g(x)图象上到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).‎ 将其代入y＝g(x)，得sin＝1，‎ 因为0<φ<π，所以φ＝，所以g(x)＝2sin＝2cos2x.‎ 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈ ，得kπ－≤x≤kπ，k∈ ，‎ 所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈ .‎ ‎11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点.若OQ＝4，OP＝，PQ＝.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的解析式；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，3]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的值域.‎ 解　(1)在△OPQ中，cos∠POQ＝＝＝，‎ ‎∴sin∠POQ＝＝，∴P(1，2)，‎ 所以A＝2，周期T＝4×(4－1)＝12，‎ 又＝12，则ω＝.‎ 将点P(1，2)代入f(x)＝2sin，得sin＝1，‎ 因为0＜φ＜，所以φ＝，‎ 所以f(x)＝2sin.‎ ‎(2)由题意，可得g(x)＝2sinx.‎ 所以h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin·sinx＝2sin2x＋2sinx·cosx＝1－cosx＋sinx＝1＋2sin.‎ 当x∈[0，3]时，x－∈，‎ 所以sin∈，‎ 所以函数h(x)的值域为[0，3].‎ ‎12.已知向量a＝(2cosx，sinx)，b＝(cosx，2cosx)，函数f(x)＝a·b＋m(m∈R)，且当x∈时，f(x)的最小值为2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)先将函数y＝f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，‎ 再把所得的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝4在区间上的所有根之和.‎ 解　f(x)＝2cos2x＋2sin x·cos x＋m＝cos 2x＋sin 2x＋m＋1＝2＋m＋1＝2sin＋m＋1.‎ 因为当x∈时，2x＋∈，所以当x＝时，f(x)取得最小值－1＋m＋1＝2，所以m＝2，所以f(x)＝2sin＋3.‎ ‎(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈ )，得f(x)的单调递增区间为(k∈ ).‎ ‎(2)将f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数图象对应的解析式为y＝2sin＋3，再把所得的图象向右平移个单位长度得函数图象对应的解析式为g(x)＝2sin＋3.‎ 由g(x)＝4，得sin＝，解得4x－＝2kπ＋或2kπ＋，即x＝＋或＋(k∈ ).‎ 因为x∈，所以x＝或，‎ 故所求所有根之和为＋＝.‎ 例　(12分)已知m＝(cosωx，cos(ωx＋π))，n＝(sinωx，cosωx)，其中ω>0，f(x)＝m·n，且f(x)相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎(1)若f＝－，α∈，求cosα的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递增区间.‎ 审题路线图 ‎(1) ‎(2) 规范解答·评分标准 解　f(x)＝m·n＝cosωxsinωx＋cos(ωx＋π)cosωx＝cosωxsinωx－cosωxcosωx ‎＝－＝sin－.‎ ‎……………………………………………………………………………………………3分 ‎∵f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，‎ ‎∴T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin－.……………………………………………4分 ‎(1)f＝sin－＝－，‎ ‎∴sin＝，‎ ‎∵α∈，sin＝，∴α－∈，∴cos＝.…………6分 ‎∴cosα＝cos＝coscos－sinsin ‎＝×－×＝.…………………………………………………………8分 ‎(2)f(x)经过变换可得g(x)＝sin－，‎ ‎……………………………………………………………………………………………10分 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈ ，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈ ，‎ ‎∴g(x)的单调递增区间是，k∈ .‎ ‎……………………………………………………………………………………………12分 构建答题模板 ‎[第一步]　化简变形：利用辅助角公式将三角函数化成y＝Asin(ωx＋φ)形式.‎ ‎[第二步]　整体代换：将“ωx＋φ”看作一个整体，研究三角函数性质.‎ ‎[第三步]　回顾反思：查看角的范围对函数影响，评价结果的合理性，检查步骤的规范化.‎ ‎1.(2017·河西区一模)已知函数f(x)＝2sin·cos＋sin2x－1.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值.‎ 解　(1)函数f(x)＝2sincos＋sin2x－1＝sin＋sin2x－1＝cos2x＋sin2x－1＝2sin－1，‎ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，求得kπ－≤x≤kπ＋，可得函数的单调递增区间为，k∈ .‎ ‎(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin－1＝2cos－1的图象，‎ 在区间上，2x＋∈，故当2x＋＝π时，即x＝时，函数取得最小值－2－1＝－3；‎ 当2x＋＝，即x＝0时，函数取得最大值－1.‎ ‎2.已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解　(1)由已知，有f(x)＝－ ‎＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈ ，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈ ，‎ 可知函数f(x)在(k∈ )上单调递增；令－＋2kπ≤2x－≤－＋2kπ，k∈ ，得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈ ，可知函数f(x)在(k∈ )上单调递减.‎ 所以f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，‎ f＝－，f＝，‎ 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.‎ ‎3.(2016·天津)已知函数f(x)＝4tanxsin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性.‎ 解　(1)f(x)的定义域为.‎ f(x)＝4tanxcosxcos－＝4sinxcos－ ‎＝4sinx－＝2sinxcosx＋2sin2x－ ‎＝sin2x＋(1－cos2x)－＝sin2x－cos2x＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)令 ＝2x－，则函数y＝2sin 的单调递增区间是，k∈ .‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈ ，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈ .‎ 设A＝，B＝，易知A∩B＝.‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ ‎4.(2017·宣城二模)已知向量m＝(2acosx，sinx)，n＝(cosx，bcosx)，函数f(x)＝m·n－，函数f(x)在y轴上的截距为，函数f(x)与y轴最近的最高点的坐标是.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sinx的图象，求φ的最小值.‎ 解　(1)f(x)＝m·n－＝2acos2x＋bsinxcosx－，‎ 由f(0)＝2a－＝，得a＝，此时，f(x)＝cos2x＋sin2x，‎ 由f(x)≤＝1，得b＝1或b＝－1，‎ 当b＝1时，f(x)＝sin，经检验为最高点；‎ 当b＝－1时，f(x)＝sin，经检验不是最高点，故舍去.‎ 故函数的解析式为f(x)＝sin.‎ ‎(2)函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y＝sin的图象；横坐标伸长到原长的2倍后，得到函数y＝sin的图象，‎ 所以2φ＋＝2kπ(k∈ )，φ＝－＋kπ(k∈ )，‎ 因为φ＞0，所以φ的最小值为.‎ ‎5.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；‎ ‎(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0，2π)内有两个不同的解α，β.‎ ‎①求实数m的取值范围.‎ ‎②证明：cos(α－β)＝－1.‎ ‎(1)解　将g(x)＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cosx的图象，再将y＝2cosx的图象向右平移个单位长度得到y＝2cos的图象，‎ 故f(x)＝2cos＝2sinx.‎ 从而函数f(x)＝2sinx图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈ ).‎ ‎(2)①解　f(x)＋g(x)＝2sinx＋cosx＝＝sin(x＋φ)‎ .‎ 依题意，sin(x＋φ)＝在[0，2π)内有两个不同的解α，β当且仅当＜1，故m 的取值范围是(－，).‎ ‎②证明　因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解，‎ 所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.‎ 当0≤m＜时，α＋β＝2，即α－β＝π－2(β＋φ)；‎ 当－＜m＜0时，α＋β＝2，即α－β＝3π－2(β＋φ)，‎ 所以cos(α－β)＝－cos2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝22－1＝－1.‎