北京市十一学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

北京市十一学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年北京市十一学校高二（上）期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）‎ ‎1.下列叙述中，错误的一项为（ ）‎ A. 棱柱的面中，至少有两个面相互平行 B. 棱柱的各个侧面都是平行四边形 C. 棱柱的两底面是全等的多边形 D. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据棱柱的定义，判断出命题错误的选项.‎ ‎【详解】定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱.‎ 定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱；‎ 正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D错；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查棱柱的定义，考查棱柱的几何特征，属于基础题.‎ ‎2.下列函数中，在定义域内为奇函数，且在上为减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性和单调性对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】A. 的定义域为，函数为非奇非偶函数；‎ B. ，则是偶函数，不满足条件；‎ C. 为指数函数，单调递减，为非奇非偶函数；‎ D. ，则是奇函数，当时，函数为减函数，满足条件.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数奇偶性和单调性，属于基础题.‎ ‎3.圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得圆锥原来的体积，再求得变换后圆锥的体积，由此求得新圆锥体积和原来体积的关系，从而得出正确选项.‎ ‎【详解】设一个圆锥的底面半径为，高为，则其体积；‎ 圆锥高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为，高为，‎ 体积为.∴.∴它的体积是原来体积的.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆锥体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和 的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．‎ 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.‎ ‎5.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由双曲线的定义，借助直角三角形和半通径通，易知 ‎，，‎ 注意到倾斜角．‎ 故选B.‎ ‎6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解的为( )‎ A. a＝8 B. a＝‎9 ‎C. a＝10 D. a＝11‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理得到，分情况讨论，得到正确的结果.‎ ‎【详解】由正弦定理知，‎ 由题意知，若，则，只有一解；若，则A＞B，只有一解；‎ 从而要使的值解三角形有两解，‎ 则必有，且，即，‎ 解得，即，因此只有B选项符合条件，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关根据三角形的解的个数选择边长的可取值的问题，涉及到的知识点有正弦定理，属于简单题目.‎ ‎7.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图，‎ 可得该几何体是三棱锥，‎ 由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC所示：‎ 顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，‎ 故该锥体的正视图是：A 考点：三视图 ‎8.如图：正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是（ ）．‎ A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，过做，垂足为，连接.因为 平面 ， 平面，故.又因 ，故平面，而平面， 所以. 因为 ，故 平面 ，则为直角三角形且，而，故，故，故为的角平分线，故为定点，又，故的轨迹为过且垂直于的线段.选A.‎ 点睛：题设中给出了，我们需要把这种垂直关系转化为平面中的的某种几何性质，故在平面中作，通过空间中垂直关系的转化得到为定点，从而在一条定线段上.‎ 二、填空题（共7小题，其中，第9-14题，每小题3分，共18分；第15题，每空2分，共4分）‎ ‎9.圆上的点到直线的最大距离是______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆心和半径，利用圆心到直线的距离加上半径，求得圆上的点到直线的最大距离.‎ ‎【详解】由题意可得，圆的标准方程为，‎ 圆心的坐标为，半径，∴圆心到直线的距离,，所以所求最大距离是.‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆的一般方程化为标准方程，考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.‎ ‎10.若将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得向左平移个单位后的表达式，根据变换后函数图像关于轴对称列方程，由此求得的表达式，进而求得的最小正值.‎ ‎【详解】将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，再根据所得图象关于轴对称，可得，，，则的最小正值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎11.如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：‎ ‎①与平行；‎ ‎②与是异面直线；‎ ‎③与成角；‎ ‎④与垂直.‎ 以上四个结论中，正确的是______.‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将展开图还原为正方体，根据图像对四个结论逐一分析，由此确定结论正确的序号.‎ ‎【详解】展开图复原的正方体如图，不难看出：‎ ‎①与平行；错误的，是异面直线；‎ ‎②与是异面直线，错误；是平行线；‎ ‎③从图中连接，，由于几何体是正方体，故三角形是等边三角形，所以与的夹角是，又，故与成；正确；‎ ‎④由于，所以平面，所以与垂直.正确 判断正确的答案为③④.‎ 故答案为：③④.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间异面直线所成的角，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎12.已知点是抛物线上的一个动点，则到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得，再求出的值即可.‎ 详解：依题设P在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为F，则，‎ 依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为，‎ 则点P到点的距离与P到该抛物线准线的距离之和，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想.‎ ‎13.在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过平行关系可确定所求角为，根据垂直关系，利用勾股定理可求得的三边长，利用余弦定理求得，从而得到结果.‎ ‎【详解】连接 ‎ 异面直线与所成角即为与所成角，即 ‎， ‎ ‎，，‎ 在中，由余弦定理得：‎ 即异面直线与所成角的余弦值为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中的异面直线所成角的求解，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线成角的问题，从而将所求角放入三角形中来进行求解.‎ ‎14.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义求a，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出．‎ ‎【详解】由题意知，则，，故，，故 ，.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题 ‎15.如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.‎ ‎【答案】(或写成)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为 考点：函数最值，函数单调区间 三、解答题（共5小题，共54分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）‎ ‎16.已知函数的相邻两条对称轴之间的距离为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用降幂公式和辅助角公式可把转化为，根据周期可求的值.‎ ‎（2）结合（1），可先求出的取值范围，再利用三角函数的性质可求函数的值域 ‎【详解】（1）‎ ‎= .‎ ‎ ∵函数的最小正周期为且，‎ 解得. ‎ ‎（2），根据正弦函数的图像可得：‎ 当即时，取最大值1；‎ 当即，最小值.‎ ‎,即的值域为.‎ ‎【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，满足，，.‎ ‎（1）求数列，通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得数列，通项公式.‎ ‎（2）利用分组求和法求得数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设公差为等差数列的前项和为，公比为的等比数列的前项和为，满足，，.‎ 所以：，解得，所以，.‎ ‎（2）由于，‎ 所以 ‎【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查分组求和法，属于基础题.‎ ‎18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．‎ ‎（1）证明：EF∥平面PAC；‎ ‎（2）证明：AF⊥PC．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角形中位线可证得，由线面平行判定定理可证得结论；（2）利用线面垂直性质可证得，又，可证得线面垂直，进而得到；利用等腰三角形三线合一证得，得到平面；通过线面垂直的性质可证得结论.‎ ‎【详解】（1）分别为中点 ‎ 平面，平面 平面 ‎（2）平面，平面 ‎ 又四边形为正方形 ‎ ‎，平面 平面 平面 ‎ ‎，为中点 ‎ 又，平面 平面 平面 ‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系、线线垂直关系的证明；证明线线垂直的常用方法是利用线面垂直的性质，通过证明线面垂直得到结论.‎ ‎19.已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线过点，且与椭圆交于，两点，过原点作直线的垂线，垂足为，如果△的面积为（为实数），求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）定值为-1．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）由题意知：．‎ 根据椭圆的定义得：，‎ 即．‎ 所以．‎ 所以椭圆的标准方程为． ‎ ‎（2）由题意知，△ABC的面积，‎ 整理得．‎ ‎① 当直线的斜率不存在时，的方程是．‎ 此时，，所以．‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 设，．‎ 由可得．‎ 显然，则 因为，，‎ 所以 ‎．‎ 所以，‎ 此时，．‎ 综上所述，为定值.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域以及导函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，，，，可求得的单调性 ‎（2）由（1）求得在，，，时，函数的单调区间，讨论出零点的个数，从而求得实数的取值范围。‎ ‎【详解】解析：（1）‎ ‎①，，，，单调递增；，，单调递减 ‎②，或，当，，单调递减；，，单调递增；，，单调递减 ‎③，，在单调递减 ‎④，或，当，，单调递减；‎ ‎，，单调递增；‎ ‎，，单调递减 ‎（2）由（1）得当时，定义域上只有一个零点 ‎，由（1）可得，要使有两个零点，则 ‎∴‎ 下证有两个零点 取，，满足，故在有且只有一个零点 ‎，满足，故在有且只有一个零点 当时，由（1）可得，，故在无零点，‎ 又因为在单调递减，‎ ‎∴在至多一个零点，不满足条件 当时，，故在上无零点，‎ 又因为在单调递减，∴在至多一个零点，不满足条件 ‎∴满足条件的取值范围 ‎【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查学生的计算能力，属于难题。‎ ‎ ‎